Claude Shannon Théorie mathématique de la communication


INTRODUCTION

Voilà un des textes les plus essentiels qu’on puisse connaître dans un siècle. Comme la théorie générale de Darwin. Ce texte définit une science de l’information, et une théorie mathématique, qui permet aujourd’hui d’écouter la 5ème symphonie de Mozart sur son i-phone, user de l’ordinateur, de la télévision, du fax. Claude Shannon a dématérialisé tout contenu de communication en suite logique de « bits ». Peu importe le contenu ( visuel, son, ..).

Avant Shannon, on pressentait qu’un message, télégraphique par exemple, pouvait être codifié, transporté, et « redéballé » pour le restituer à l’humain. Les laboratoires Bell travaillaient déjà sur le sujet. Robert Wiener, maître de Shannon, par ses réflexions sur la probabilité des états de transmission d’un signal a influencé cette théorie.

L’apport de Shannon a été de cristalliser des courants de pensée, et les formaliser…

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Points de repère Plus loin

Source Claude Shannon [1916-2001]. 1948, Mathematical Theory of Communications .

Introduction

Voilà un des textes les plus essentiels qu’on puisse connaître dans un siècle. Comme la théorie générale de Darwin. Ce texte définit une science de l’information, et une théorie mathématique, qui permet aujourd’hui d’écouter la 5ème symphonie de Mozart sur son i-phone, user de l’ordinateur, de la télévision, du fax. Claude Shannon a dématérialisé tout contenu de communication en suite logique de « bits ». Peu importe le contenu ( visuel, son, ..).

Avant Shannon, on pressentait qu’un message, télégraphique par exemple, pouvait être codifié, transporté, et « redéballé » pour le restituer à l’humain. Les laboratoires Bell travaillaient déjà sur le sujet. Robert Wiener, maître de Shannon, par ses réflexions sur la probabilité des états de transmission d’un signal a influencé cette théorie.

L’apport de Shannon a été de cristalliser des courants de pensée, et les formaliser…

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Evariste Galois, la théorie des groupes et la théorie de l’ambiguïté partie Mathématique


1) Rappel: 

2011 est l’année du Bicentenaire de la naissance de deux héros romantiques : « Franz Liszt et Évariste Galois. « Tous deux, d’une précocité déconcertante, ont révolutionné leur domaine. Si Liszt est fêté comme un héros national en Hongrie, Galois n’est pas en reste en France — lui qui croyait que la patrie ne retiendrait pas son nom, et qui est finalement devenu l’une des gloires françaises les plus solides ! Le destin tragique de Galois, l’incroyable contraste entre la brièveté de sa vie et l’éternité de l’œuvre qu’il laisse, le fait qu’un garçon si jeune ait pu bouleverser la mathématique tout entière et la physique avec, tout cela fait rêver. » Pour le bicentenaire de Galois, une conférence de Alain Connes a été organisée le 29 novembre 2011 à la mémoire de ce grand mathématicien: Galois et la théorie de l’ambiguïté à l’académie des sciences. Dans cette académie, avait déjà eu lieu une autre séance sur la théorie de l’ambiguïté le13 juin 2006 lors de la Réception des Membres élus en 2005 par Jran-Pierre Ramis, La théorie de l’ambiguïté : de Galois aux systèmes dynamiques.

Je lis cette conférence aujourd’hui alors qu’après avoir étudié l’électro-dynamique quantique je m’intéresse aux théories de jauge et aux théories des cordes (voir tous mes liens en fin d’article où j’ai beaucoup consulté les formations dues à Luc Marleaufeynman.phy.ulaval.ca. Cela me fait me souvenir que Galois est un jalon important dans la conquête de la science mathématisée par des grands génies tels que Galilée (considéré comme l’initiateur de la méthode scientifique, et qui, dans le domaine des mathématiques appelait de ses vœux, ce « langage décrivant la nature »  pour « l’écriture mathématique du livre de l’Univers »), puis par Newton.et EinsteinL’idée galoisienne « Il existe pour ces sortes d’équations un certain ordre de considérations métaphysiques qui planent sur les calculs et qui souvent les rendent inutiles. » « Sauter à pieds joints sur les calculs, grouper les opérations, les classer suivant leur difficulté et non suivant leur forme, telle est selon moi la mission des géomètres futurs. » était une intuition qui a fécondé les idées modernes de symétrie. Dans le chapitre 3-2-2 de ce site, il est écrit: « L’idée galoisienne de correspondance entre symétries d’une structure mathé-matique et treillis de ses sous-structures a essaimé dans d’autres domaines des Mathématiques. L’un des premiers et plus célèbres avatars est le « programme d’Erlangen » de Felix Klein, qui jette un pont entre Géométrie et Théorie des groupes : il s’agit de classifier les géométries de l’espace à n dimensions où le « mouvement d’une figure invariable est possible » Cette notion de symétrie a été sublimée par Emmy Noether, décrite par Albert Einstein comme « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ». Elle a révolutionné les théories des anneaux, des corps et des algèbres. En physique, le théorème de Noether, établi en 1918, explique le lien fondamental entre la symétrie et les lois de conservation. Il exprime l’équivalence qui existe entre les lois de conservation et l’invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines transformations appelées symétries. Ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique ». Il est abondamment utilisé aujourd’hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en termes de symétrie d’espace, de charges, et même de temps. En physique la notion de symétrie, qui est intimement associée à la notion d’invariance, renvoie à la possibilité de considérer un même système physique selon plusieurs points de vues distincts en termes de description mais équivalents quant aux prédictions effectuées sur son évolution. La notion de symétrie et d’invariance en physique associée à la théorie des groupes a abouti aux théories actuelles depuis la théorie de la relativité, les théories de jauge et la théorie quantique des champsau modèle standard de la physique des particules et à la théorie de grande unification qui sera alors la dernière pièce de l’édifice constitué par le modèle standard qui incorpore les trois interactions dans une théorie unifiée basée sur un groupe de jauge .  Mais pour concilier la physique quantique et la Relativité Générale, les physiciens misent maintenant sur les théories des cordes, et d’autres théories comme la gravité quantique, la gravité quantique à boucles, voire « et si le temps n’existait pas?  » ou « vers la physique de demain« …

La fécondité des notions dont Galois avait eu l’intuition est extrême, mais se doutait t-il de l’impact qu’elles auraient sur la Connaissance humaine? A t-elle des limitesPeut-on savoir quelles sont les limites de la connaissance scientifique?

2) Partie mathématique de la conférence de Alain Connes.

Dans le précédent article nous avons examiné la partie historique de la conférence de Alain Connes à propos de Galois et de la théorie de l’ambiguïté. Aujourd’hui, essayons d’examiner la partie mathématique de cette conférence pour voir en Galois le précurseur qui a eu l’intuition mathématique qui a permis avec la théorie des groupes et la féconde notion de symétrie de percer le secret de du monde subatomique. Commenter un discours mathématique est un exercice difficile mais cela me permet de mieux comprendre les subtilités de la théorie des groupes dont je n’avais que des notions scolaires et par trop simplistes. Alors tentons l’exercice! 

Alain Connes:  

Conférence du 29 novembre 2011 sur Évariste Galois et la théorie de l’ambiguïté:

3) La théorie de l’ambiguïté comme la voyait Galois.

Le groupe de Galois (source wikipedia):

Genèse (histoire du théorème d’AbelSi l’histoire de la théorie des équations algébriques remonte à la nuit des temps, en revanche l’introduction du concept de groupe date du xviiie siècleJoseph-Louis Lagrange met en évidence la relation entre les propriétés des permutations des racines et la possibilité de résolution d’une équation cubique ou quartique1Paolo Ruffini est le premier à comprendre que l’équation générale et particulièrement l’équation quintique n’admet pas de solution. Sa démonstration reste lacunaire. Les démonstrations de Niels Henrik Abel, dans deux articles écrits en 1824 et 1826 passent, après des années d’incompréhension, à la postérité. Cependant la notion de groupe abstrait n’apparaît pas encore et le théorème reste incomplet.Évariste Galois résout définitivement la problématique en proposant une condition nécessaire et suffisante juste pour la résolubilité de l’équation par radicaux. Son approche subit la même incompréhension que ses prédécesseurs. Ses premiers écrits, présentés à l’Académie des sciences dès 1829, sont définitivement perdus. Un article de l’auteur écrit en 1830 est découvert par Joseph Liouville qui le présente à la communauté scientifique en 1843 en ces termes: « … J’espère intéresser l’Académie en lui annonçant que dans les papiers d’Évariste Galois j’ai trouvé une solution aussi exacte que profonde de ce beau problème : Étant donnée une équation irréductible décider si elle est ou non résoluble par radicaux. »

L’apport de Galois est majeur, G. Verriest le décrit dans les termes suivants : « le trait de génie de Galois c’est d’avoir découvert que le nœud du problème réside non pas dans la recherche directe des grandeurs à adjoindre, mais dans l’étude de la nature du groupe de l’équation. Ce groupe […] exprime le degré d’indiscernabilité des racines […]). Ce n’est donc plus le degré d’une équation qui mesure la difficulté de la résoudre mais c’est la nature de son groupe. »Galois modifie profondément son axe d’analyse par rapport à ses prédécesseurs. Pour la première fois dans l’histoire des mathématiques, il met en évidence une structure abstraite, qu’il appelle groupe de l’équation. C’est une étude sur la théorie des groupes abstraits qui lui permet de montrer qu’il existe des cas non résolubles. Il met ainsi en évidence que le groupe alterné d’indice cinq ne possède pas les propriétés nécessaires pour être résoluble. Il écrit ainsi « Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un groupe indécomposable quand ce nombre n’est pas premier est 5.4.3. »

Cette démarche, consistant à définir et analyser des structures abstraites et non plus des équations, est des plus fécondes. Elle préfigure ce qu’est devenue l’algèbre. Pour cette raison, Galois est souvent considéré comme un père de l’algèbre moderne.

Quand on parle de théorie de l’ambiguïté, cela paraît absolument absurde parce que si on se donne une équation, par exemple du degré 5 telle que les racines soient réelles, par exemple ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0~  (voir la vidéo avec les coefficients a=1, b=1, c=-4, d=3 ,e=-3, f=1) et si on dit « il y a une ambiguïté entre les racines », on voit bien que bien sur la courbe (voir la courbe sur la vidéo), il qu’il y en a une qui est la plus petite (qui est A), puis que les 4 autres sont en ordre croissants (B,C,D,E). Donc, il n’y a pas d’ambiguïté entre les racines. Maintenant, supposons qu’on pose la question: est-il possible de nommer la plus grande racine, par exemple E, par une relation qui soit un relation rationnelle et qui ne laissera pas d’ambiguïté sur le fait que c’est la plus grande racine. On a écrit cette relation E = 4C(carré) + 2D(carré) parce que quand on fait les calculs avec l’ordinateur, on a l’impression qu’elle est vraie. Alors pourquoi cette relation ne peut pas être vraie? En fait, la théorie de Galois a cette force qui permet de savoir, à partir de rien, simplement à partir d’un raisonnement abstrait (et ça va aller beaucoup plus loin après), que cette relation ne peut pas avoir lieu. Pourquoi? Parce qu’il y a un groupe, qu’on appelle groupe de Galois, qui permute les racines entre elles, qui n’est jamais trivial pour une équation irréductible, et qui a la propriété de préserver toutes les relations algébriques entre les racines. Donc si cette relation avait lieu, comme on peut remplacer E par n’importe quelle autre racine, toutes les racines seraient positives, puisqu’un carré, c’est positif (voir la forme de E = 4C(carré) + 2D(carré), donc ce n’est pas possible. Donc on sait, puisqu’il y a ce groupe d’ambiguïté, ce groupe de symétrie, qui est caché derrière, qu’il est impossible que cette relation ait lieu. En l’occurrence, le groupe est très simple, parce que nous avons pris une équation cyclique. Si on a une racine de cette équation,  et si on prend son (Xcarré – 2), c’est encore une racine de l’équation. Donc on a un groupe d’invariance qui fait que chaque fois qu’on a une racine X, la formule ( X au carré) – 2 nous donne une racine. L’intérêt, c’est que toutes les racines de l’équation sont fonction rationnelle d’une seule des racines. Et si c’est le cas, si nous avons une relation algébrique entre les racines (comme E = 4C(carré) + 2D(carré), on en déduit, que pour une racine quelconque, on a une relation polynomiale. C’est forcément un multiple du polynôme irréductible dont on est partiax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0~Et que dit la théorie de Galois dans ce cas: elle dit qu’il faut indexer convenablement  les racines, pas du tout comme précédemment par A,B,C,D,E, mais il faut les indexer par les entiers modulo 5, soit 0, 1 pour les deux premières 3, 4 pour les deux qui suivent puis 2 pour celle qui est le plus à droite. Et alors, on observe que le groupe de Galois a décelé une structure qui était cachée les racines, la structure des entiers modulo 5. Le groupe de Galois les permute de manière cyclique. La structure est présente mais on ne l’aurait jamais vue en raisonnant comme un expérimentateur, un physicien, qui dirait: « j’ai ses racines et cela me suffit ». Ce qui est extraordinaire dans la théorie de Galois, c’est que derrière cette évidence apparente qui nous donne une équation et qui nous fait voir ses racines, il y a une théorie beaucoup subtile et beaucoup plus intéressante, cachée derrière, et qui permet de comprendre et de saisir que, du fait qu’il y a une équation irréductible et qu’elle n’est pas résoluble directement (qu’elle n’est pas factorisée) il y a un ambiguïté entre les racines. Il y a une définition abstraite qu’a donnée Galois de tout ça, et une subtilité que Galois décrit parfaitement comme nous allons le voir maintenant.

En résumé, comme on vient de le voir, il faut indexer convenablement les racines de l’´équation 1 + 3x − 3x 2 − 4x 3 + x 4 + x 5 = 0 par le corps F5 des entiers modulo 5. Le groupe de Galois est alors celui des translations.  


« Théorème » (Page 35):

 Soit une équation donnée, dont a, b, c, · · · sont les m racines. Il y aura toujours un groupe de permutations des lettres a, b, c, · · · qui jouira de la propriété suivante : 

– 1) que toute fonction des racines, invariable par les substitutions de ce groupe, soit rationnellement connue.

– 2) réciproquement, que toute fonction des racines, déterminable rationnellement, soit invariable par ces substitutions. » 

Dit ainsi, on ne le comprend pas vraiment si on n’ pas l’explication de Galois dont le texte est beaucoup précis et beaucoup intéressant que cet énoncé abstrait. Il dit en substance: 


Texte de Galois: « Nous appelons ici invariable non seulement une fonction dont la forme est invariable par les substitutions des racines entre elles (si on prend la somme des racines, elle est invariable par toutes les substitutions), mais encore celle dont la valeur numérique ne varierait pas par ces substitutions (Et là, il y a une distinction qui est cruciale, Galois dit que si Fx=0; Fx est une fonction des racines, qui ne varie par aucune permutation, mais il est beaucoup précis, il dit: lorsqu’une qu’une fonction des racines ne change pas de valeur numérique par une certains substitution opérée entre les racines, elle est dite invariable par cette substitution). Par exemple si Fx = 0 est une équation, Fx est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation. Lorsqu’une fonction des racines ne change pas de valeur numérique par une certaine substitution opérée entre les racines, elle est dite invariable par cette substitution. On voit qu’une fonction peut très bien être invariable par telle ou telle substitution entre les racines, sans que sa forme l’indique. Ainsi si Fx = 0 est l’équation proposée, la fonction ϕ(F(a), F(b), F(c), . . .) (ϕ étant une fonction quelconque et a, b ,c … les racines) sera une fonction de ces racines invariable par toute substitution entre les racines sans que sa forme l’indique généralement. 

Or c’est une Question dont il ne paraît pas qu’on ait encore la solution, de savoir si, étant donnée une fonction de plusieurs quantités numériques, on peut trouver un groupe qui contienne toutes les substitutions par lesquelles cette fonction est invariable, et qui n’en contienne pas d’autres. (C’est un pas énorme qui est franchi, chez Lagrange par exemple ou dans d’autres textes, on cherchait à trouver pour l’équation générale des fonctions des racines qui ne soient pas trop invariantes, tout en l’étant un petit peu, par exemple, pour une équation du 4ème degré, la fonction AB+CD est une fonction qui n’est pas invariante par toutes les permutations mais qui ne prend que 3 valeurs différentes quand on applique toutes les permutations, ce qui permet de résoudre l’équation du 4éme degré par une équation du 3ème degré). Il est certain que cela a lieu pour des quantités littérales, puisq’une fonction de plusieurs lettres invariable par deux substitutions est invariable par leur produit (c’est évident). Mais rien n’annonce que la même chose ait toujours lieu quand aux lettres on substitue des nombres. 

On ne peut donc point traiter toutes les équations comme des équations littérales. Il faut avoir recours à des considérations fondées sur les propriétés particulières de chaque équation numérique. C’est ce que je vais tâcher de faire. 

Remarquons que tout ce qu’une équation numérique peut avoir de particulier, doit provenir de certaines relations entre les racines. Ces relations seront rationnelles dans le sens que nous l’avons entendu, c’est `a dire qu’elles ne contiendront d’irrationnelles que les coeffi- cients de l’’équation et les quantités adjointes. De plus ces relations ne devront pas être invariables par toute substitution opérée sur les racines, sans quoi on n’aurait rien de plus que dans les équations littérales. 

Ce qu’il importe donc de connaitre c’est par quelles substitutions peuvent être invariables des relations entre les racines, ou ce qui revient au même, des fonctions des racines dont la valeur numérique est déterminable rationnellement. »

(Là il faut donner une explication. Si on veut déterminer toutes les relations rationnelles entre les racines, on peut le faire. Cela nous donnerait un polynôme qu’on appelle polynôme associé à l’extension galoisienne correspondante, qu’il est très difficile de calculer et de manipuler. Ce qui est merveilleux, c’est que ce que Galois a démontré, c’est que ce qui compte, ce n’est pas  les relations d’une certaine fonction comme on l’a vue telle que E = 4C(carré) + 2D(carré)= 0, on a un peu du mal à déterminer « un truc » = 0, ce qui compte, c’est les quantités rationnelles. Donc la fonction doit être invariante dans le groupe de Galois, mais réciproquement, si on prend une expression qui est invariante dans le groupe de Galois, elle ne donnera pas 0, mais un nombre rationnel et comme ce nombre est rationnel, on peut le soustraire de cette expression et on obtient 0. C’est par l’invariance et le groupe d’invariance, qu’on peut déterminer toutes les relations rationnelles, donc toute la spécificité d’une équation. On arrive donc maintenant au groupe de Galois).


Groupe de Galois 

En effet la théorie de Galois donne un groupe de permutations des racines qui est toujours non-trivial (Le groupe n’est jamais réduit à l’identité, sauf si le groupe est entièrement résolu, c’est à dire si on a factorialité de degré 1) et dont l’ordre est multiple du degré de l’équation) et qui laisse invariante toute relation rationnelle entre les racines. Pour montrer l’existence de ce groupe d’ambiguïté, Galois procède en deux étapes : 

(1) (la première étape, c’est du trouver une autre équation (auxiliaire), ce que Lagrange savait déjà dit Galois dans le rapport de Poisson, telle que les racines de l’équation dont on parle soient toutes des fonctions rationnelles d’une seule racine de l’équation auxiliaire): Les racines sont toutes fonctions rationnelles fj(V ) de racines V d’une équation auxiliaire dont les racines se déduisent les unes des autres par des transformations rationnelles. 

(2) Une relation rationnelle entre les racines donne une équation H(V ) = 0 qui est automatiquement vérifiée par toutes les autres racines du polynôme minimal de V  (ce qui termine la démarche, comme il y a une seule racine de l’équation auxiliaire, elle sera forcément multiple du polynôme minimal de V qui est invariant par les transformations rationnelles)


Preuve de Galois « racines de l’équation donnée sont a = f1(V ), b = f2(V ), · · · , z = fm(V ) Le groupe G est formé des permutations 

f1(V ), f2(V ), · · · , fm(V ) 

f1(V ′ )f2(V ′ ), · · · , fm(V ′ ) · · · 

f1(V (d−1)), f2(V (d−1)), · · · , fm(V (d−1))

 où V, V ′ , V ” , · · · sont les racines de Q = 0, où Q est un facteur irréductible du polynôme A(Y ) = ∏ σ (Y − V (σ(a), σ(b), . . . , σ(z))) 

G ne dépend pas du choix de la fonction V (a, b, c, · · · ) que l’on avait choisie arbitrairement ! » 


Difficulté des calculs En pratique les calculs sont très difficiles à faire, et Galois ne dit pas qu’il ne faut pas faire les calculs, il dit: “Sauter à pieds joints sur les calculs, grouper les opérations, les classer suivant leurs difficultés et non suivant leur forme, telle est suivant moi, la mission des géomètres futurs”

Dedekind, Kronecker, Landau:

Nous verrons comment Galois faisait les calculs, mais auparavant, voyons ce qu’on fait maintenant. Pour comprendre le groupe de Galois de manière naturelle et simple, il y a un théorème, le Théorème de Chebotarev qui permet de comprendre dans quel sens il vrai que plus le groupe d’ambiguïté est grand, plus il est difficile de résoudre un équation (l’équation est à coefficients entiers). Le théorème est formulé en disant qu’on va s’intéresser à réduire modulo un nombre premier. Pour chaque nombre premier on va regarder si on peut résoudre l’équation modulo ce nombre premier. Cela veut dire que tous les nombres qui sont multiples d’un nombre premier, on les identifie à 0 et on cherche à résoudre l’équation. On utilise alors le Théorème de Chebotarev qui dit que la probabilité (sur l’ensemble des nombres premiers) pour qu’une équation soit complètement résolue modulo un nombre premier p est l’inverse de l’ordre de son groupe de Galois:

En résumé, Pour calculer le groupe de Galois de manière simple on utilise un résultat dû à Dedekind, Kronecker et Landau (qui est un cas particulier qui dit ) : la probabilité pour qu’une équation soit complètement résolue modulo un nombre premier p est l’inverse de l’ordre de son groupe de Galois. 

Exemple équation (1) : 1 + 3x − 3x(2) − 4x(3) + x(4) + x(5) = 0 

Equation cyclique, groupe de Galois = Z/5Z


Factorisation de l’équation (1) modulo p

p=2  1 + x + x (2) + x (4) + x (5) 

    3  1 + 2x (3) + x (4) + x (5) 

    5  1 + 3x + 2x 2 + x 3 + x 4 + x 5  On met le coefficient de  x entre parenthèses: 2x(2)= 2 x au carré

    7  1 + 3x + 4x 2 + 3x 3 + x 4 + x 5 

  11  (9 + x) 5 

  13  1 + 3x + 10x 2 + 9x 3 + x 4 + x 5 

  17  1 + 3x + 14x 2 + 13x 3 + x 4 + x 5 

  19  1 + 3x + 16x 2 + 15x 3 + x 4 + x 5 

  23  (9 + x)(12 + x)(13 + x)(17 + x)(19 + x) 

  29  1 + 3x + 26x 2 + 25x 3 + x 4 + x 5  

  31  1 + 3x + 28x 2 + 27x 3 + x 4 + x 5 

  37  1 + 3x + 34x 2 + 33x 3 + x 4 + x 5 

  41  1 + 3x + 38x 2 + 37x 3 + x 4 + x 5 

  43  (7 + x)(21 + x)(29 + x)(34 + x)(39 + x) 

  47  1 + 3x + 44x 2 + 43x 3 + x 4 + x 5 

  53  1 + 3x + 50x 2 + 49x 3 + x 4 + x 5 

  59  1 + 3x + 56x 2 + 55x 3 + x 4 + x 5 

  61  1 + 3x + 58x 2 + 57x 3 + x 4 + x 5

  67  (29 + x)(32 + x)(43 + x)(48 + x)(50 + x)

  71  1 + 3x + 68x 2 + 67x 3 + x 4 + x 5 

  73  1 + 3x + 70x 2 + 69x 3 + x 4 + x 5 

  79  1 + 3x + 76x 2 + 75x 3 + x 4 + x 5 

  83  1 + 3x + 80x 2 + 79x 3 + x 4 + x 5 

  89  (3 + x)(18 + x)(34 + x)(42 + x)(82 + x)

« C’est donc extrêmement simple » dit Alain Connes. Si on regarde le polynôme (1) 1 + 3x − 3x(2) − 4x(3) + x(4) + x(5) = 0 et si on le réduit modulo p (voir le tableau précédent), on voit qu’il arrive assez fréquemment que notre polynôme (1) ait toutes ses racines dans les entiers modulo le nombre premier. Pour le nombre 11, qui est très particulier, on n’a pas de racines distinctes. Si on prend des nombres autres que 11, si les racines existent dans les entiers modulo p, elles vont être distinctes. On voit qu’à peu près tous les 5 nombres premiers, l’équation est complètement résolue avec toutes ses racines et dit Alain Connes, cette équation est facile. Facile? Oui, au sens où Alain Connes a mis sur un tableau l’inverse de la proportion de nombres premiers p (qui est bien la densité) pour lesquels l’équation 1 + 3x − 3x(2) − 4x(3) + x(4) + x(5) = 0 est complètement résolue modulo p. On voit qu’on obtient le nombre 5. en prenant les nombre premiers jusqu’à 10 000 sur le tableau présenté dans la vidéo.

Maintenant Alain Connes s’intéresse à des équations un peu plus compliquées, par exemple racine  cinquième de 2 modulo un nombre premier:

p=3:    (1 + x)( 1 + 2x + x (2) + 2x (3) + x (4))     [x (2) = x au carré]

     5     (3 + x) (5) 

     7     (3 + x)( 4 + x + 2x (2 )+ 4x (3) + x (4))

   11      9 + x (5) 

   13     (7 + x)( 9 + 8x + 10x (2) + 6x (3) + x (4) 

   17     (2 + x)( 16 + 9x + 4x (2) + 15x (3) + x (4))

   19     (4 + x)( 16 + 16x + x (2)) (16 + 18x + x (2)) 

   23     (17 + x) ( 8 + 9x + 13x (2) + 6x (3) + x (4 )) 

   29     (8 + x) ( 6 + 10x + x 2 ) (6 + 11x + x 2 ) 

   31     29 + x (5) 

   37    (13 + x) ( 34 + 23x + 21x (2) + 24x (3) + x (4 ) 

   41     39 + x 5 

   43     (35 + x) ( 11 + 39x + 21x (2)+ 8x (3) + x (4) 

   47     (19 + x) ( 37 + 3x + 32x (2) + 28x (3) + x (4) 

   53     (5 + x) ( 42 + 34x + 25x (2) + 48x (3) + x (4) 

   59     (5 + x) ( 25 + 7x + x (2 )) (25 + 47x + x (2) 

   61     59 + x 5 

   67     (26 + x) ( 36 + 45x + 6x (2) + 41x (3) + x (4)

   71     69 + x (5) 

   73     (69 + x) ( 37 + 64x + 16x (2) + 4x (3) + x (4 ) 

   79     (60 + x) ( 45 + 2x + x (2)) (45 + 17x + x (2 )) 

   83     (12 + x) ( 69 + 15x + 61x (2) + 71x (3) + x (4)


On voit que pour les nombres examinés (de 2 à 83), il n’y en pas un où l’équation est résoluble complètement modulo les nombres premiers.

Et si on fait le calcul assez loin, on s’aperçoit que l’inverse de la densité de l’ensemble des nombres premiers p pour lesquels il y a cinq solutions pour racine cinquième de 2 (x puissance 5 = 2 modulo p) dans les entiers modulo p est égal à l’ordre du groupe de Galois qui vaut ici environ 20. Le calcul met du temps à se stabiliser, mais il se stabilise à 20.Cela veut dire que le groupe de Galois de cette équation est d’ordre 20. Ce n’est pas un groupe cyclique, car il aurait fallu adjoindre les racines d’ordre 1, ce qu’on a pas fait ici.  

Lorsqu’on fait le calcul explicite (qu’a fait Galois), on s’aperçoit bien sûr qu’il y a la permutation cyclique, mais qu’il y a aussi d’autres permutations, qui sont impaires (ce qui a fait croire à Abel et Galois qu’ils avaient résolu l’équation du 5ème degré) et en fait, il y a une structure sous-jacente. Ce qu’il faut faire, c’est indexer  les racines (qui sont 0,1,2,3,4) par le corps F5 (à 5 éléments) et le groupe de Galois est alors le groupe affine (ce n’est plus seulement le groupe des translations) des transformations, de la forme x —> ax + b, a, b,x € F5, a ̸= 0. 

(Espace affine: En géométrie, la notion d’espace affine généralise la notion d’espace issue de la géométrie euclidienne en omettant les notions d’angle et de distance. Dans un espace affine, on peut parler d’alignement, de parallélisme, de barycentre. Sous la forme qui utilise des rapports de mesures algébriques, qui est une notion affine, le théorème de Thalès et le théorème de Ceva sont des exemples de théorèmes de géométrie affine plane réelle (c’est-à-dire n’utilisant que la structure d’espace affine du plan réel).)

Regardons maintenant un exemple plus intéressant, avec dont l’équation:  4 + 10x + 5x (2) + x (5) = 0 dont le groupe de Galois est le groupe d’ordre 10, groupe dihedral D5. On peut le ertrouver en regardant le théorème de Chebotarev. Si on fait le calcul explicite de son groupe de Galois, on trouve un sous-groupe du groupe affine. On retrouve les permutations cycliques et des permutations caractéristiques du groupe dihédral. La méthode consiste à nouveau à indexer les racines par le corps F5 et le groupe de Galois est à nouveau un sous-groupe du groupe affine.

Remarque: si on en était resté au degré 4, on n’aurait pas eu d’équations intéressantes, car elles étaient résolubles par radicaux. 

Equation non résoluble par radicaux.

Le choix fait ici par Alain Connes est un peu simplificateur, car il a pris une équation (3 − 2x + x 2 + x 5 = 0) dont le discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré > 0 quelconque et dont les coefficients sont choisis dans des ensembles équipés d’une addition et d’une multiplication. Le discriminant apporte dans ce cadre une information sur l’existence ou l’absence de racine multiple).est un carré (243049 est le carré de 493), de telle sorte que son groupe de Galois ne soit pas un groupe symétrique (si on prend une équation du 5éme degré au hasard, son groupe de Galois est le groupe Symétrique des quintites F5). C’est une espèce d’erzatz de ce qui se passe pour l’équation du second degré. Le groupe de Galois devient le groupe A5, qui est un groupe simple, le groupe alterné. On le voit en calculant la probabilité pour que l’équation soit résoluble complètement modulo p. Si on va assez loin dans les nombres premiers et qu’on inverse cette probabilité, on obtient 60.

(La généralisation du discriminant d’un polynôme de degré quelconque offre un outil permettant de déterminer si ses racines sont simples ou multiples. Dans ce paragraphe A désigne un anneau intègre et P un polynôme de degré n dont les coefficients appartiennent à A et sont notés de la manière suivante : La dérivée formelle de P est notée P’ , elle existe même si A est différent du corps des nombres réels ou complexes. Enfin R désigne le résultant ; c’est une application particulière qui à deux polynômes associe un élément de A.

Le discriminant de P, en général noté Δ(P), est la valeur définie par la formule suivante1 lorsque deg(P’ ) = n – 1 (ce qui est toujours le cas en caractéristique 0) :

\Delta(P) = \frac{(-1)^\frac{n(n-1)}2}{a_n}R(P,P').)Si on fait le calcul explicite, on trouve des permutations comme celle indiquées sur les deux fig. dans la vidéo. L’intérêt des 2 permutations qui sont écrites c’est qu’elles donnent la présentation du groupe. On un groupe d’ordre 60, qui peut être difficile à appréhender. En fait, c’est très simple, car la présentation est très simple. Il y a deux générateurs, celui du haut (u) dont le carré u(2) = 1 et celui du bas dont le cube v(3) =1. Ce dernier groupe permute de manière cyclique les 3 racines. De plus, quand on fait le produit uv de ces deux générateurs, on obtient un élément dont la puissance cinquième = 1. Quand on connaît ces relations u(2) = 1, v(3) = 1, uv (5) =1, on a tout compris sur le groupe dit Alain Connes. Parce qu’ensuite, on écrit des mots avec les lettres u et v et on fait des simplifications qui s’imposent. Par exemple u au carré = 1, on ne peut pas répéter u deux fois, dans v au cube =1, on peut pas répéter v 3 fois et ainsi de suite. Il est immédiat aussi qu’une équation qui a ce groupe là ne peut pas être résolue par radicaux parce qu’on pourrait représenter ses relations de manière abélienne et si on a u(2) = 1, v(3) =1 et si u et v commutent, alors quand on prend uv(5) = 1. On en déduit immédiatement que u = v =1. On a alors une contradiction évidente. C’est comme ça qu’il faut comprendre ces groupes.


Corps de Galois

Ce qui est extraordinaire, c’est que quand Galois avait 18 ans, il a publié « un court article “Sur la théorie des nombres” dans le Bulletin de Férussac, (Tome XIII, p. 428), en juin 1830). »  

On a vu précédemment qu’il faillait indexer les racines sur le corps F5. « Mais ce que fait Galois ici est fantastique. Il définit les corps quelconques Fq: « Galois introduit les corps finis les plus généraux Fq. pour q = p (ℓ), p puissance  . Il démontre que pour construire Fq il suffit d’adjoindre à Fp les racines de l’unité d’ordre premier à p, solutions de Xq − X = 0 et que toute équation polynômiale sur Fp se résout complètement dans un Fq. Il calcule le groupe de Galois de Fq sur Fp : groupe cyclique engendré par le “Frobenius” x → x (p) = x puissance p. »

Ce n’est pas le calcul du groupe de Galois de Fq, (que Galois paramètre par le Frobenius), qui sont remarquables, mais le fait qu’il prolonge le cas général des équations résolues par radicaux ce qu’il avait compris pour les équations de degré premier en utilisant le corps Fq. Si l’équation est résoluble, on pourra indexer les racines, non par F5, mais par un corps fini Fq et que les transformations des racines par le groupe de Galois seront automatiquement contenues pas seulement dans le groupe affine, mais dans le groupe affine produit semi-direct par les puissances du Froebenius. En général, quand on explique la théorie de Galois, on explique surtout la théorie générale, par exemple le théorème suivant:

Réduction du groupe de Galois Théorème Si l’on adjoint à une équation donnée la racine r d’une équation auxiliaire irréductible, 

– 1˚ il arrivera de deux choses l’une : ou bien le groupe de l’équation ne sera pas changé ; ou bien il se partagera en p groupes appartenant chacun `a l’équation proposée respectivement quand on lui adjoint chacune des racines de l’équation auxiliaire ; 

– 2˚ ces groupes jouiront de la propriété remarquable, que l’on passera de l’un à l’autre en opérant dans toutes les permutations du premier une même substitution de lettres

Mais en fait, Galois a été bien plus loin au sens où il avait compris que quand on connaît le groupe de Galois dans le cas où elle est résoluble, ce groupe recèle une structure très particulière et intéressante entre les racines: on peut indexer ces racines par tous les éléments d’un corps fini et ensuite cette structure est automatiquement préservée par l’action du groupe de Galois. Donc c’est une structure intrinsèque à l’ensemble des racines, c’est tout à fait extraordinaire.


Dans la suite de la vidéo Alain connes présente les calculs. 

A l’époque de Galois, les gens ne pouvaient pas faire les calculs que nos puissants ordinateurs permettent aujourd’nui.  Même s’il est trop difficile de les présenter de manière textuelle et non par des mathématiques pures, il est très intéressant de voir comment en parle Alain Connes. Il rappelle que pour l’équation de degré 5 on avait obtenu les résultats suivants en utilisant Chebotarev pour connaître le groupe de Galois des équations:

Pour 3-2x+x(2)+x(5) l’inverse de la densité de l’ensemble des nombres premiers p pour lesquels il y a cinq solutions est 64.1026, le groupe est environ 60.

Pour 1+3x-3x(2)-4x(3)+x(4)+x(5) c’est 4.9975 soit environ 5

Pour 4+10x+5x(2)+x(5), c’est 10.2041 soit environ 10.

Pour -2+x(5), c’est 21.1416, soit environ 20

Ensuite on part d’une équation par exemple 4+10x+5x(2)+x(5)=0.C’est celle qui a 10 comme inverse de la densité, donc le groupe dihédral. Alors que fait-on quand on a une équation, comment calculer son groupe de Galois, comment Galois s’est proposé de le faire? On va d’abord trouver une fonction des racines qui est telle que cette fonction va prendre factorielle 5 (120) valeurs différentes.

On prend toutes les racines comme fonctions rationnelles d’une racine d’une autre équation. On essaye la fonction la plus simple possible. C’est la fonction a+2b+3c+4d. On ne mettra pas e, puisque la somme des racines est connue et que les coefficients doivent être différents (on a pris 1,2,3,4). Voir: Quel que soit le degré n d’un polynôme, et quelle que soit la nature de ses racines (réelles ou complexes), on aura toujours: -b/a = la somme de toutes les racines et (-1)n.k/a= le produit de toutes les racines. On prend ces coefficients (a=1,b=2,c=3,d=4) et on calcule l’équation qui a pour racine a+2b+3c+4d, puis il faut la factoriser. Alain Connes dit « je ne vous la montre pas parce que ça vous ferait peur« … finalement il la montre et c’est bien un monstre. Tous les facteurs irréductibles (il y a 12) sont de degré 10. Maintenant, par un raisonnement d’élimination, on peut exprimer les racines de l’équation de départ en fonction d’une racine quelconque de ce polynôme. On fait ce calcul par élimination et on obtient l’expression (unique) donnant les racines. Dans le résultat on ne va que jusqu’au degré 9 puisque l’équation irréductible est de degré 10. Ensuite on prend les racines du premier facteur irréductible (on a vu qu’il y en avait 12). Maintenant, ce qui est incroyable, c’est que chaque fois qu’on a un couple de racines de l’équation auxiliaire (4+10x+5x(2)+x(5)=0)  :c’est à dire 42875+574750Y(2)-81625Y(4)-4525Y(6)-108Y(8)+Y(10), cela va nous donner une permutation. Cela correspondait au tableau que nous avons vu précédemment qui donnait l’ambiguïté entre les racines. Alain Connes montre alors un petit programme qui va montrer que chaque fois qu’on donne deux nombres, on a une permutation correspondante. Si on fixe la première (par exemple =1), on va varier la deuxième et on alors obtient tout  le groupe diéhdral avec des involutions et des permutations cycliques

On vient donc de voir comment le groupe de Galois se calcule. Et ensuite si on applique la factorisation comme on l’a vue précédemment, on peut vérifier quelque chose qui est relié au théorème de Chebotarev, un des deux  théorème de Dedekind. Il dit que si on regarde comment le polynôme va se factoriser modulo p, par exemple modulo 23 [factorisation = (20+x)(5+9x+x(2)(12+17x+(x)2)], cela va correspondre à des cycles dans le groupe de Galois. Ici la décomposition modulo 23 correspond à une involution qui va fixer une racine, qui va permuter deux autres racines et ainsi de suite. La factorisation modulo 29 [(4+10x+ +5x)+(x5)] correspond à une permutation cyclique et la factorisation modulo 31 [(13+x)(5+8x+x(2))(22+10x+x(2)] correspond à une involution. 

Le polynôme d’ordre 5 est très simple, car quand on factorise le polynôme associé, on ne va retrouver que des tous petits polynômes de degré 5. On peut calculer les racines, on peut calculer le polynôme associé. L’intérêt, c’est qu’on peut maintenant calculer explicitement toutes les permutations ce qui est supérieur au fait de savoir que le groupe de Galois est d’ordre 5. Par exemple, si on prend le polynôme [1+3x-3x(2)-4x(3)+x(4)+x(5)] dont l’équation auxiliaire est -2531-2521Y-503Y(2)-15Y(3)+10Y(4)+Y(5) les permutations ne se comprennent qu’une fois qu’on a indexé toutes les racines dans le corps F5 de telle sorte qu’elles deviennent simplement des translations.

La complexité des calculs qu’on peut faire avec les ordinateurs aujourd’hui est phénoménal. Les exemples montrés par Alain Connes montrent à l’évidence la puissance de l’intuition de Galois. Il avait même compris que quand on adjoint une racine d’une équation auxiliaire, le groupe de Galois, ici le groupe A5 va se casser en sous-groupes, qui ne sont pas des sous-groupes normaux. Le groupe de Galois va diminuer (son ambiguïté va diminuer) mais d’une manière qui dépend du choix de de cette racine auxiliaire, ce qui est extrêmement bizarre. En effet quand on écrit la factorisation du polynôme de degré 6 : 1) [(109+493x-15x(2)+10x(4)+x(6)] et quand on adjoint ω (racine de ce polynôme), aux rationnels, le polynôme (de degré 10) en Y se factorise.en termes de cette racine.ω, mais la factorisation ne dépend pas de ω  puisque c’est une factorisation abstraite. Alors comment se fait-il que le groupe de Galois se réduise d’une manière qui dépend de ω. C’est que ω peut prendre 6 valeurs possibles (6 racines).  Et à chacune de ces 6 valeurs possibles, quand on regarde les racines d’un terme irréductible du polynôme 1), on va obtenir une partition de l’ensemble des 60 racines de l’équation auxiliaire de départ en 6 sous-ensembles de 10 éléments. Chaque fois qu’on rajoute une racine différente, il y a une partition différente des 60 racines de l’équation auxiliaire. Et à chacune de ces partitions va correspondre un groupe de Galois différent qu’on peut calculer pour chaque partition. 


Conclusion: l’intuition de Galois.

Revenons d’abord à la lettre que Galois a écrit à son ami Auguste Chevalier la veille du duel où il dit quelque chose de cryptique,  pratiquement impossible à comprendre à laquelle on pourrait toujours essayer de donner de multiples significations. Voir la lettre dans lettre à Auguste Chevalier 5 -la mort« Tu sais, mon cher Auguste, que ces sujets ne sont pas les seuls que j’ai explorés. Mes principales méditations, depuis quelques temps, étaient dirigées sur l’application à l’analyse transcendante de la théorie de l’ambiguïté. Il s’agissait de voir à priori, dans une relation entre des quantités ou fonctions transcendantes, quels échanges on pouvait faire, quelles quantités on pouvait substituer aux quantités données sans que la relation pût cesser d’avoir lieu. Cela fait reconnaître de suite, l’impossibilité de beaucoup d’expressions que l’on pourrait chercher. Mais je n’ai pas le temps, et mes idées ne sont pas encore bien développées, sur ce terrain qui est immense. Tu feras imprimer cette lettre dans la Revue Encyclopédique. Je me suis souvent hasardé dans ma vie à avancer des propositions dont je n’étais pas sûr. Mais tout ce que j’ai écrit là est depuis bientôt un an dans ma tête, et il est trop de mon intérêt de ne pas me tromper pour qu’on me soupçonne d’avoir énoncé des théorèmes dont je n’aurais pas la démonstration complète. Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l’importance des théorèmes. Après cela, il y aura, j’espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis. Je t’embrasse avec effusion «  E Galois – 29 mai 1832    » 


Ce qu’a présenté Alain Connes dans cette vidéo montre l’incroyable vision de Galois qui était capable sans effectuer les calculs, de savoir ce qu’ils allaient donner et de voir infiniment plus loin. Non seulement il a été capable de voir qu’une équation primitive est résoluble  « si et seulement si on peut indexer se racines par un corps fini » qu’il avait défini, les permutations étant données par le premier du groupe affine et par le Froebenius ». Il s’est aperçu qu’il pouvait appliquer sa théorie aux fonctions elliptiques, et aux divisions des fonctions elliptiques, ce qui pour lui, était un hasard. 


Alain Connes conclut en nous incitant à bien voir que la pensée de Galois n’est certainement pas épuisée et ceci pour la raison suivante: maintenant on a, dans les mathématiques modernes parfaitement maîtrisé cette partie qui est « la théorie Galois », la théorie des équations, qu’on contrôle parfaitement bien. Mais on a un problème analogue, plus difficile que celui de Galois et qui est un problème transcendant. C’est comme sion avait une équation, ce qu’on appelle  les fonction L, on ne sait même pas démontrer (on en est sûr car on peut vérifier avec l’ordinateur) que les racines de cette équation sont toutes réelles. On n’est même pas au même pas qui est le pas des physiciens qui consiste à regarder où sont les racines de l’équation. Mais le pas suivant,  pas qui est évident, tel qu’il est posé par Galois, c’est de regarder la théorie de Galois pour ces équations là. Cela commence un tout petit peu à exister, mais la théorie est bien loin d’être développée et comprise. Il faut bien voir que réduire la théorie de Galois à son application au cadre classique, à la théorie des corps etc, ce serait complètement illusoire. Dans l’idée fondamentale qui est derrière,idée qui est infiniment difficile à expliquer et à saisir, il y a un potentiel qui est beaucoup plus grand que celui qui a été capturé par le formalisme des mathématiques modernes.


Annexes: 

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_L: la fonction L

La théorie des fonctions L est devenue une branche très substantielle, et encore largement conjecturelle, de la théorie analytique des nombres contemporaine. On y construit de larges généralisations de la fonction zêta de Riemann et même des séries L pour un caractère de Dirichlet et on y énonce de manière systématique leurs propriétés générales, qui dans la plupart des cas sont encore hors de portée d’une démonstration.Exemples de fonctions L
la fonction ζ de Riemann, qui est l’exemple le plus classique ;
les fonctions L associées aux formes modulaires via la transformation de Mellin ;
les fonctions L associées aux caractères, qui permettent notamment de démontrer le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques.


les fonctions L des motifs
http://www.alainconnes.org/docs/cours99.pdf (Analyse et géométrie M. Alain CONNES, membre de l Institut (Académie des Sciences), professeur Formules explicites, formules de trace et réalisation spectrale des zéros de la fonction zéta)


http://images.math.cnrs.fr/pdf2006/Julg.pdf (Alain Connes : une autre vision de l’espace)

http://www.astronoo.com/fr/articles/espace-dans-le-temps.html

Liens pour cet article:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques) (un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l’algèbre générale. C’est un ensemble muni d’une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l’ensemble, un élément symétrique)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes (La théorie des groupes est une discipline mathématique. C’est la partie de l’algèbre générale qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_ponctuel_de_sym%C3%A9trie (En géométrie, un groupe ponctuel de symétrie est un sous-groupe d’un groupe orthogonal : il est composé d’isométries, c’est-à-dire d’applications linéaires laissant invariants les distances et les angles. Le groupe ponctuel de symétrie d’une molécule est constitué des isométries qui laissent la molécule, en tant que forme géométrique, invariante)

http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/GALOIS2012/

http://perso-math.univ-mlv.fr/users/cartier.sebastien/documents/ter_maitrise.pdf (Théorie de Galois Effective : détermination explicite des sous-corps d’un corps de nombres)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois (En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, le groupe de Galois d’une extension decorps L sur un corps K est le groupe des automorphismes de corps de L laissant K invariant. Le groupe de Galois est souvent noté Gal(L/K))

http://www.math.u-psud.fr/~laszlo/galois/galois.pdf (INTRODUCTION A LA THEORIE DE GALOIS ´ par Yves Laszlo)

http://blogperso.univ-rennes1.fr/jeremy.le-borgne/public/introgalois.pdf (Théorie des corps, théorie de Galois : une introduction Jérémy Le Borgne)

http://matthieu.gendulphe.com/Niloufer.pdf (Théorie de Galois Séminaire: Groupe de Galois Deluckshon Niloufer)

http://alain.pichereau.pagesperso-orange.fr/equation7.html (0Quelques mots sur la résolubilité par radicaux des équations polynômiales, c’est-à-dire quelques mots sur la théorie de Galois-Introduction 1-Nombres algébriques 2-Extensions de corps3-Corps de décomposition d’un polynôme4-Groupe de Galois d’une extension5-Extension normale6-Théorème de Galois7-Groupe de Galois d’un polynôme8-Extension par radicaux9-Equation P(x)=0 résoluble10-Groupes résolubles11-Et enfin « Le théorème »12-Résolubilité de polynômes et relations rationnelles entre les racines13-Cas irréductible de l’équation du troisième degré

https://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_de_Galois (Les problèmes initiaux Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). La démarche qui débouche sur la notion d’extension de Galois provient de la volonté de résoudre des conjectures, souvent vieilles et provenant de différentes branches des mathématiques : l’algèbre avec l’étude des équations algébriques et particulièrement les équations polynomiales, la géométrie avec initialement les problèmes de la construction à la règle et au compas et particulièrement les trois grands problèmes de l’antiquité comme la duplication du cube et surtout les problèmes d’arithmétique comme le dernier théorème de FermatLa philosophie de l’approche:

Tous les problèmes initiaux cités s’expriment simplement, leurs énoncés ne demandent en effet qu’un niveau mathématique élémentaire. En revanche leurs résolutions ont demandé des siècles de patience. La raison réside dans le fait qu’une approche naïve ne permet pas d’appréhender les finesses qu’impliquent les énoncés. Pour apporter des solutions, il est nécessaire de comprendre les structures sous-jacentes à chacune de ces questions. Une analyse directe impose une démarche calculatoire trop complexe pour aboutir.

Quitte à augmenter le niveau d’abstraction, il apparaît alors nécessaire de définir des structures algébriques pures, bénéficiant de théorèmes puissants qui résolvent ces vieux problèmes.

Cas de l’extension de Galois. Une extension de Galois est une construction algébrique utilisant trois structures, celle des groupes, celle des corps commutatifs et celle des espaces vectoriels.

La structure de groupe permet par exemple l’analyse des permutations des racines d’un polynôme. Or l’analyse des permutations est la clé de la recherche des solutions algébriques d’une équation polynomiale. Dans le cas de l’équation quintique ou équation du cinquième degré, il existe 120 permutations possibles. Trouver quelles permutations utiliser et dans quel ordre, est apparu comme un problème combinatoire d’une complexité trop grande pour les mathématiciens comme Joseph-Louis Lagrange qui se sont penchés sur cette question. L’analyse systématique des groupes finis non plus sous un axe combinatoire, mais avec une approche abstraite permet, en échange d’une montée en abstraction, une résolution calculatoirement relativement simple par exemple pour le cas de l’équation quintique. Ludwig Sylow démontre les trois théorèmes2 qui terminent élégamment l’analyse des équations polynomiales. Un théorème fondamental:

L’extension de Galois est archétypale de cette approche algébrique pure. Et cette structure dispose d’un théorème puissant, à la base de toutes les résolutions modernes des différents problèmes cités. C’est le théorème fondamental de la théorie de Galois. Ce théorème établit une relation entre un corps et un groupe. Il permet d’établir un pont entre la théorie des groupes et les problèmes d’algèbre, de géométrie ou d’arithmétique étudiés. Dans l’énoncé du théorème fondamental, le corps, le groupe et la correspondance entre les deux sont abstraits. En échange de cette abstraction, l’extension de Galois offre un cadre très général à l’étude de nombreux problèmes.

http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/GALOIS/td10.pdf (Calculs de groupes de Galois : Soit P := X5 + 10X3 − 10X2 + 35X − 18. Modulo 3, voici la décomposition en facteurs irréductibles de P : P = X · (X + 2) · (X 3 + X 2 + 2X + 1) mod 3)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_densit%C3%A9_de_Tchebotariov (théorème de Chebotarev2, précise le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur l’infinitude des nombres premiers en progression arithmétique : il affirme que, si a, q ≥ 1 sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l’ensemble des nombres premiers congrus à a modulo q vaut 1/φ(q))

http://mathem-all.fr/bw/chebotarev_resume.pdf (Théorème de chebotarev)

https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/enseignement/2006-07/agreg/factor.pdf (Factorisation des polynômes Préparation à l’agrégation – option Calcul formel)

http://www.normalesup.org/~ramassamy/documents/tipe/algorithme_berlekamp_hensel.pdf (Quelques aspects de la factorisation des polynômes sur Z et sur les corps finis)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Endomorphisme_de_Frobenius (l‘endomorphisme de Frobenius, est un endomorphisme d’anneau commutatif défini de façon naturelle à partir de la caractéristique. Il est particulièrement utilisé dans le contexte de la théorie de Galois, soit dans le cas des corps de caractéristique non nulle et plus spécifiquement dans le cas des corps finis et dans la théorie des corps de classes. Si le corps est fini, il s’agit alors d’un automorphisme.

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_de_Frobenius ( Une décomposition de Frobenius est une décomposition de E en somme directe de sous-espaces cycliques, telle que les polynômes minimaux (ou caractéristiques) respectifs des restrictions de u aux facteurs sont les facteurs invariants de u. La décomposition de Frobenius peut s’effectuer sur un corps quelconque : on ne suppose pas ici que K est algébriquement clos)

https://www.youtube.com/watch?v=dLwi_opxLxs&ebc=ANyPxKruqS3SLXjUgFcvH5YbXyyeHXLnuaJnAmwdHwP7mL7h1OyBYRbl9j2NNaLIbUTTOy6t0BhLAAGxpQl4oJYj59O_rrzzoQ (Les maths ne sont qu’une histoire de groupes — H. Poincaré, 1881 – Étienne Ghys)

http://www.gecif.net/articles/mathematiques/polynome.html (Calcul instantané des racines d’un polynôme de degré quelconque)

Autres liens (article partie historique)

A propos de Galois:

http://johan.mathieu.free.fr/maths/doc_maths/ (biographies/biographies_de_88_mathematiciens_celebres.pdfBiographies de mathématiciens célèbres Compilation de textes tirés de www.bibmath.net fr.wikipedia.org www-history.mcs.st-andrews.ac.uk et sites Internet divers)

http://www.alainconnes.org/docs/slidesgaloisacadfinal.pdf (alain connes evariste galois et la théorie de l ambiguïté)

http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups11-01.pdf (Idées galoisiennes)

http://repmus.ircam.fr/_media/mamux/ecole-mathematique/yves-andre/ch3galois.pdf (Symétries I. Idées galoisiennes)

http://www.academie-sciences.fr/archivage_site/academie/membre/s130606_ramis.pdf (Séance solennelle de l’Académie des sciences / 13 juin 2006 Réception des Membres élus en 2005 La théorie de l’ambiguïté : de Galois aux systèmes dynamiques Jean-Pierre Ramis) https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois (Evariste Galois)


https://www.bibnum.education.fr/mathematiques/algebre/memoire-sur-les-conditions-de-resolubilite-des-equations-par-radicaux (Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux)

http://les.mathematiques.free.fr/pdf/gal9.pdf (Résolubilité par radicaux)

http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups11-01.pdf Idées galoisiennes)

https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Galois_-_Manuscrits,_%C3%A9dition_Tannery,_1908.djvu/76  (Page:Galois – Manuscrits, édition Tannery, 1908.djvu/76)

https://fr.wikisource.org/wiki/Papiers_et_%C3%A9crits_math%C3%A9matiques (Evariste Galois: papiers et écrits mathématiques)

http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1971_num_24_2_3196 (Sur les relations scientifiques d’Augustin Cauchy et d’Evariste Galois)

http://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1968_num_21_2_2554 (Sur la mort de Evariste Galois

http://xavier.hubaut.info/coursmath/bio/galois.htm (dans Mathématiques du secondaire: En 1829 il publia son premier article sur les fractions continues suivi d’une démonstration prouvant l’impossibilité de résoudre l’équation générale du cinquième degré par radicaux. Cela conduisit à la théorie de Galois, une branche des mathématiques traitant de la résolution des équations algébriques. Célèbre pour sa contribution à la théorie des groupes, il découvrit une méthode déterminant quand une équation pouvait être résolue par radicaux. Cette théorie apportait ainsi une réponse à des problèmes fort anciens tels que la trisection de l’angle et la duplication du cube. Il introduisit le mot « groupe » en considérant le groupe de permutations des racines d’une équation. C’est la théorie de groupes qui rendit possible la synthèse de la géométrie et de l’algèbre. En 1830 il résolut f(x)=0f(x)=0 (mod pp), avec f(x)f(x) polynôme irréductible, en introduisant le symbole jj pour une des solutions de l’équation; cela conduisit aux corps de Galois GF(p)GF(p). L’oeuvre de Galois apporta une contribution importante à la transition entre l’algèbre classique et moderne)

http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1971_num_24_2_3196 (Sur les relations scientifiques d’Augustin Cauchy et d’Evariste Galois)

http://www.patrimoine.asso.fr/contenu/galois/EVARISTE_GALOIS.pdf (Bicentenaire de la naissance d’Evariste Galois à Bourg la Reine)

http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/viegalois/biographie/  (Bicentenaire: biographie de galois)

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Galois.html (La théorie de Galois est basée sur l’étude des groupes de substitutions (plutôt appelées aujourd’hui permutations, le terme substitution persiste pour les ensembles finis) entamée parCauchy. Son but était d’apporter une réponse définitive au problème de la résolution des équations algébriques par radicaux sur lequel les plus grands mathématiciens se heurtaient jusqu’alors malgré l’avancée spectaculaire d’Abel sur le sujet. Une équation algébrique dont le degré est premier est résoluble par radicaux si et seulement si chacune de ses racines peut s’écrire comme fonction rationnelle de deux autres. Galois introduisit la notion de sous-groupe distingué : un sous-groupe H d’un groupe (G,*) est ainsi dénommé si pour tout x de G et pour tout h de H, le produit x*h*x-1 est élément de H. Noter que si G est commutatif (groupe abélien), alors tout sous-groupe de G est distingué dans G. Galois prouve alors élégamment l’impossibilité de résoudre par radicaux les équations de degré supérieur ou égal à 5 (hormis bien évidemment les cas triviaux), complétant ainsi les travaux d’Abel)

http://www2.ac-lyon.fr/etab/lycees/lyc-42/fauriel/IMG/pdf/bio-galoispd0397.pdf  (« J’ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans » Évariste Galois (1811-1832)

http://www.archivesdefrance.culture.gouv.fr/action-culturelle/celebrations-nationales/recueil-2011/sciences-et-techniques/evariste-galois

http://images.math.cnrs.fr/Evariste-Galois-enfance-d-un-genie.html#menu evariste galois: enfance d’un génie malheureux

http://www.futura-sciences.com/magazines/mathematiques/infos/actu/d/mathematiques-evariste-galois-genie-mathematiques-mort-20-ans-34217/ Évariste Galois : le génie des mathématiques mort à 20 ans

https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Galois_-_Manuscrits,_%C3%A9dition_Tannery,_1908.djvu/76  (Page:Galois – Manuscrits, édition Tannery, 1908.djvu/76)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois (Théorie de Galois)

http://alain.pichereau.pagesperso-orange.fr/equation7.html (Equations résolubles par radicaux ou théorie de Galois)

https://www.math.univ-paris13.fr/~boyer/enseignement/arith-p13/cours.pdf (De l’arithmétique à la théorie des nombres par Boyer Pascal)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois_%C3%A0_l%27origine (la théorie de Galois à l’origine est fondé sur l’étude des « substitutions » des racines des polynômes appelées aujourd’hui permutations. Les permutations possibles sur une équation algébrique forment des groupes de permutations ; et en fait la notion abstraite de groupe fut introduite par Évariste Galois dans l’intention de décrire les permutations des racines)

https://webusers.imj-prg.fr/~jan.nekovar/co/ln/gal/g.pdf (INTRODUCTION A LA TH EORIE DE GALOIS ET LA GEOMETRIE ALGEBRIQUE, THEORIE DE GALOIS)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois ( la théorie de Galois est l’étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d’une correspondance avec des groupes de transformations sur ces extensions, les groupes de Galois) 

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois (Groupe de galois)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie_(physique) (La symétrie en physique)

http://poesieetautres.unblog.fr/2015/03/02/peut-on-savoir-quelles-sont-les-limites-de-la-connaissance-scientifique/  (Peut on savoir quelles sont les limites de la connaissance scientifique?)

http://www.abelprize.no/nedlastning/verker/abel_festskrift_fransk/abel_memorial_12_kap9_les_etudes_opt.pdf

https://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/GALOIS_MEMOIRE_SUR_LA_RESOLUBIBLITE_EHRHARDT.pdf  (Le mémoire d’ Évariste Galois sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux (1831))

Mathématiciens et scientifiques:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson (siméon denis poisson)

http://www.alainconnes.org/fr/ (Alain Connes, le site)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Pierre_Ramis (Jean-Pierre Ramis, Ses travaux concernent les systèmes dynamiques des fonctions du champ complexe, discrets (équations aux différences et q-différences) et continus (équations différentielles), notamment les notions d’intégrabilité (théorie de Morales-Ramis) et la théorie de Galois différentielle)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel (Niels Henrik Abel, né le 5 août 1802 à Frindoë près de Stavanger et mort le 6 avril 1829 à Froland près d’Arendal, est un mathématicien norvégien. Il est connu pour ses travaux en analyse mathématique sur la semi-convergence des séries numériques, des suites et séries de fonctions, les critères de convergence d’intégrale généralisée, sur la notion d’intégrale elliptique ; et en algèbre, sur la résolution des équations.)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Galil%C3%A9e_(savant) (galilée)

http://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1965_num_18_2_2414 (la méthode scientifique de galilée)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton (Newton)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein (Albert Einstein)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein (Felix Klein)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy (ll fut l’un des mathématiciens les plus prolifiques de tous les temps, quoique devancé par Leonhard EulerPaul Erdős etArthur Cayley avec près de 800 parutions et sept ouvrages ; sa recherche couvre l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque. On lui doit notamment en analyse l’introduction des fonctions holomorphes et des critères de convergence dessuites et des séries entières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques)

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Fourier.html (Jean Baptiste Joseph Fourier est un mathématicien et physicien français né le 21 mars 1768 à Auxerre et mort le16 mai 1830 à Paris. Il est connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriquesconvergentes appelées séries de Fourier et leur application au problème de la propagation de la chaleur )

https://fr.wikipedia.org/wiki/Charles_Gustave_Jacob_Jacobi Charles Gustave Jacob Jacobi)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre (Adrien-Marie Legendre)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Bernt_Michael_Holmboe (Bernt Michael Holmboe, né le 23 mars 1795 à Vang et mort le 28 mars 1850 à Christiania (aujourd’hui Oslo)1, est un mathématicien norvégien)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Louis_Poinsot (Louis Poinsot (3 janvier 1777 à Clermont-en-Beauvaisis1 – 5 décembre 1859 à Paris) est un mathématicien français connu pour ses contributions à la mécanique rationnelle)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Gaspard_de_Prony (Gaspard Clair François Marie Riche, baron de Prony1, né à Chamelet (Rhône) le 22 juillet 1755 et mort à Asnières-sur-Seine le 29 juillet 1839, est un ingénieurhydraulicien et encyclopédiste français)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Navier (Claude Louis Marie Henri Navier: ingénieur, mathématicien, économiste)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson (Siméon Denis Poisson (21 juin 1781 à Pithiviers – 25 avril 1840 à Sceaux) est un mathématiciengéomètre et physicienfrançais)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Taton (René Taton, historien des sciences)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Auguste_Chevalier (Auguste Jean Baptiste Chevalier, un ami très proche de Galois, né le 23 juin 1873 à Domfront et mort dans la nuit du 3 au 4 juin 1956 à Paris, est un biologiste et botaniste français)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Victor_Cousin (Victor Cousin est un philosophe et homme politique français, né à Paris le 28 novembre 1792 et mort à Cannes (Alpes-Maritimes) le 14 janvier 1867Philosophe spiritualiste, chef de l’école éclectique)

https://fr.wikipedia.org/wiki/August_Leopold_Crelle (August_Leopold_Crelle)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville (Joseph Liouville)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind (Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 octobre 183112 février 1916) est un mathématicien allemand et un proche disciple de Ernst Kummer en arithmétique. Pionnier de l’axiomatisation de l’arithmétique, il a proposé une définition axiomatique de l’ensemble des nombres entiers ainsi qu’une construction rigoureuse des nombres réels à partir des nombres rationnels (méthode des « coupures » de Dedekind)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Leopold_Kronecker (Leopold Kronecker (7 décembre 182329 décembre 1891) est un mathématicien et logicien allemand. Persuadé que l’arithmétique et l’analyse doivent être fondées sur les « nombres entiers », il est célèbre pour la citation suivante : « Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l’œuvre de l’homme1. »)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Edmund_Landau (Edmund Georg Hermann Landau (Berlin, 14 février 1877 – Berlin, 19 février 1938) est un mathématicien juif allemand, auteur de 253 publications mathématiques, en grande partie sur la théorie des nombres)

Théorème de Noether symétries et conservations

https://fr.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether (Emmy Noether)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(physique) (Théorème de noether)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(math%C3%A9matiques) (Théorème de Noether -mathématiques)

http://www.entropologie.fr/2014/08/principe-d-incertitude-et-theoreme-de-noether.html (Principe d’incertitude et théorème de Noether L’objet se constitue scientifiquement en s’émancipant de l’Observateur. Il y a une sorte d’effet miroir entre le Sujet et l’Objet)

http://www-cosmosaf.iap.fr/Noether_et_le_Lagrangien.htm (Relation entre le théorème de noether et le lagrangien)

http://webinet.blogspot.fr/2009/09/le-theoreme-de-noether-couteau-suisse.html (Le théorème de noether, couteau suisse de la physique)

http://geometrie-differentielle-par-le-calcul.com/file/19-chap16-th-de-noether.pdf (Le théorème de noether et les champs de jauge)

http://www.fuw.edu.pl/~amt/CdeF63.pdf (Propriétés d’invariance des théories physiques)

http://math.univ-lyon1.fr/~benzoni/expose-Noether.pdf (Symétries et lois de conservation ou le premier théorème de Noether)

Symétries dans la nature:

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10cpt/introduction.html (feymnan.ulaval.ca: les symétries discrètes, les symétries fondamentales C P T, la symétrie CP, la symétrie CPT)

http://lpsc.in2p3.fr/atlas/cours/PCT.pdf (Symétries discrètes P C T Règles de sélection)

http://www.iaea.org/inis/collection/NCLCollectionStore/_Public/30/040/30040928.pdf (Symétrie et brisure de symétrie en mécanique quantique Philippe CHOMAZ)

https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/agreg/theme/exponentielle_culture.pdf (Préparation Agrégation Externe UPMC Un peu de culture mathématique sur les groupes de Lie et l’exponentielle)

http://webusers.imj-prg.fr/~bernhard.keller/lie/CarusoNotesGroupesEtAlgebresDeLie.pdf (Introduction aux groupes et algèbres de Lie)

http://webusers.imj-prg.fr/~jean-francois.dat/enseignement/GroupesLie/GAL.pdf (Université pierre et Marie Curie: Groupes et Algèbres de Lie)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10brisuredesymetrieethiggs/Pages/Notions_de_base.html (feynman.ulaval.ca: théorie des groupes et introduction à la force électrofaible)

Le paradoxe EPR:

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/03epr/index.html (le paradoxe EPR et les variables cachées)

Théorie des groupes:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes (Théorie des groupes)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois (Groupe de galois)

http://www.math.univ-angers.fr/~schaub/algebre.pdf (ELEMENTS DE LA THEORIE DES GROUPES. Licence de Mathématiques Université d’Angers)

http://trucsmaths.free.fr/rubik_groupe.htm (Théorie des groupes et Rubik’s cube)

https://fr.wikiversity.org/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques) Groupe mathématiques)

https://webusers.imj-prg.fr/~odile.lecacheux/poly2.pdf (initiation à la théorie des groupes -licence)

http://www.lpthe.jussieu.fr/~zuber/Cours/gr.pdf (Introduction `a la théorie des groupes et de leurs représentations Jean-Bernard Zuber Service de Physique Théorique de Saclay)

http://theoriedesgroupes.perso.sfr.fr/cours/theoriePDF.pdf (Théorie des groupes)

Groupes de lie 

https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/agreg/theme/exponentielle_culture.pdf (Préparation Agrégation Externe UPMC Un peu de culture mathématique sur les groupes de Lie et l’exponentielle)

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wikipedia.org -Renormalisation

Théories de jauge et force électrofaible:

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/02jauge/jauge_bosons.htm (Les théories de jauges et la découverte des bosons faibles)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Ahiggs/Le%20boson%20de%20Higgs%20page%20web/nouvellepage1.htm feyman.ulaval.ca: théorie quantique des champs, formalisme lagrangien, théorie des groupes et de jauge, exemple pour la QED)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Ahiggs/Le%20boson%20de%20Higgs%20page%20web/nouvellepage3.htm (feymman.ulaval.ca: théorie électro-faible et nécessité d’un mécanisme de brisure de symétrie)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Ahiggs/Le%20boson%20de%20Higgs%20page%20web/nouvellepage3.htm Feymnan.ulaval.ca: le mécanisme de Higgs)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10brisuredesymetrieethiggs/Pages/Notions_de_base.html (feynman.ulaval.ca: théorie des groupes, théorie électro-faible, brisure de symétrie et phénomène de Higgs)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/05jauge/index.htm (feynman.ulaval.ca: les théories de jauge, classique, quantique, yang-mills, QCD)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/04higgs/index.html feynman.ulaval.ca: APPARITION DU BOSON DE HIGGS PAR LE MÉCANISME DE BRISURE DE SYMÉTRIE)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/02electrofaible/electrofaible.htm (feynman.ulaval.ca: initiation à la théorie électro-faible, introduction à la QED, quantification EM, la théorie électro-faible)

physique.coursgratuits.net -théories de jauge

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https://fr.wikipedia.org/wiki/Interaction_%C3%A9lectrofaible (Interaction électro-faible)

http://www.math.unicaen.fr/lmno/semana/documents/longuemare/Invariance.pdf (Essai sur l’invariance de jauge)

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http://www.futura-sciences.com/magazines/matiere/infos/actu/d/physique-non-boson-higgs-nexplique-pas-masse-soleil-39947/ (non le boson de higgs n’explique pas la masse du soleil, champ de higgs)

http://www.theo.phys.ulg.ac.be/oldhtml/PTF/THESES_files/Memoire_Ecker.pdf (Brisures dynamiques de symétrie et mécanisme de Higgs)

http://www.futura-sciences.com/magazines/matiere/infos/dossiers/d/physique-boson-higgs-cle-fondamentale-univers-532/page/5/ (Le boson de Higgs : une clé fondamentale de l’univers ?)

https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canisme_de_Brout-Englert-Higgs-Hagen-Guralnik-Kibble (Mécanisme de HIGGS-Brout-Englert-Hagen-Guralnik-Kibble)

https://sciencetonnante.wordpress.com/2011/11/21/le-boson-de-higgs-explique-a-ma-fille/ (Le boson de Higgs expliqué à ma fille)

Chromodynamique quantique:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Libert%C3%A9_asymptotique (la liberté asymptotique prélude à la QCD)

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http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/03quarks/index2.html (feynman.ulaval.ca: la physique des quarks, la théorie des champs, le modèle des quarks, la couleur, les partons, le modèle du SAC)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/05jauge/jauge4.htm (feyman.ulaval.ca: La chromodynamique quantique)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/04qcd/QCD.html (feynman.ulaval.ca: la QCD,  structure interne du nucléon, le modèle des quarks, notions sur les champs quantiques, théories de jauge, la QCD et ses extensions)

http://www.th.u-psud.fr/page_perso/Pene/Ecole_predoctorale/joliot.pdf (QCD sans peine ECOLE INTERNATIONALE JOLIOT CURIE DE PHYSIQUE NUCLEAIRE)

http://smai.emath.fr/smai2011/slides/pene/Slides.pdf (La chromodynamique quantique, une véritable révolution scientifique O. Pène, LPT-Orsay)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Chromodynamique_quantique (wikipedia: la chromodynamique quantique)

http://www.diffusion.ens.fr/vip/pageE03.html (voyage vers l’infinement petit: la chromodynamique quantique)

http://homepages.ulb.ac.be/~lfavart/phys-f-477/PHYS-F-477.Chap2.pdf (Bases de la chromodynamique quantique à partir du lagrangien)

http://www.larecherche.fr/savoirs/relu-20-ans-apres/chromodynamique-quantique-01-06-2001-81649 (La chromodynamique quantique)

http://ipht.cea.fr/Docspht/articles/t06/108/public/publi.pdf (Thèse Paris 6: Chromodynamique quantique à haute énergie, théorie et phénoménologie appliquée aux collisions de hadrons)

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01065648/document (Recherche de nouveaux bosons légers en astronomie de haute énergie, recherche de particules de type axion)

Unification des forces:

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10preons/p1.htm (feynman.ulaval.ca: unification des forces modèle de Pari-Salam, les 2 modles, quarks et préons…)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10unification/Accueil.html (feynman.ulaval.ca: unufication des forces, le modèle SU(5), le modèle SO(10))

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/07unification/index.htm (feynman.ulaval.ca: l’unification des forces, la théorie électro-faible, le modèle standard, la grande unification, la gravité quantique à boucles, et la théorie des cordes)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/04unification/index.htm (feynman.ulaval.ca: la grande unification)

en.wikipedia.org -Quantum_affine_algebra 

futura-sciences.com -Un test de la gravitation quantique à boucles et des supercordes avec Fermi

blogs  Groupes quantiques.

introduction aux groupes quantiques.

INTRODUCTION AUX GROUPES QUANTIQUES par Julien Bichon

groupe quantique localement compact type III

groupes quantiques techniques galoisiennes et d’intégration

groupes quantiques séminaire bourbaki

Alain connes: une autre vision de l’espace

groupes quantiques forum mathématiques.net

groiupes quantiques localement compacts exemples et coactions.

Théorie_quantique_des_champs

interactions fondamentales et théorie quantique des champs

Mes cours feynman.ulaval.ca

Electro-dynamique quantique:

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/02electrofaible/II.htm ( Introduction à l’électrodynamique quantique)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Aqed/index.htm (feymnan.ulaval.ca: la QED, la symétrie et la transformation de jauge, la dérivation lagrangienne, las diagrammes de feymnan, la renormalisation)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/02electrofaible/III.htm (Quantification du champ électromagnétique)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/11susy/page3.html (feymnan.ulaval.ca: la supersymétrie et la brisure de symétrie)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Asusy/accueil.htm (feynman.ulaval.ca: la supersymétrie, le problème de hiérarchie, l’algèbre SUSY, la rupture SUSY, le modèle standard minimal MSSM)

http://phy3501.wix.com/cordes-supercordes (Marleau sur wix: supersymétrie, théorie des cordes et des supercordes)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/05Cordes/Main_Frameset.htm (feynman.ulaval.ca: supercordes, Notions sur la relativité, phénoménologie univers <3D, cordes classiques, champs classiques, cordes bosoniques et cordes fermioniques, aperçu des théories des supercordes)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10Kaluza-Klein/index.htm (feymnan.ulaval.ca: La relativité générale et l’impact de l’ajout de dimensions dans la physique des particules voir la théorie de kaluza-klein)

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http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/07unification/index.htm (feynman.ulaval.ca: l’unification des forces, la théorie électro-faible, le modèle standard, la grande unification, la gravité quantique à boucles, et la théorie des cordes)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/04unification/index.htm (feynman.ulaval.ca: la grande unification)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/07quarks/index.html (feymnan.ulaval.ca: la nécessité des quarks et le modèle des partons)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/03quarks/index2.html (feynman.ulaval.ca: la physique des quarks, la théorie des champs, le modèle des quarks, la couleur, les partons, le modèle du SAC)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/05jauge/jauge4.htm (feyman.ulaval.ca: La chromodynamique quantique)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/04qcd/QCD.html (feynman.ulaval.ca: la QCD,  structure interne du nucléon, le modèle des quarks, notions sur les champs quantiques, théories de jauge, la QCD et ses extensions

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/02jauge/jauge_bosons.htm (Les théories de jauges et la découverte des bosons faibles)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Ahiggs/Le%20boson%20de%20Higgs%20page%20web/nouvellepage1.htm feyman.ulaval.ca: théorie quantique des champs, formalisme lagrangien, théorie des groupes et de jauge, exemple pour la QED)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Ahiggs/Le%20boson%20de%20Higgs%20page%20web/nouvellepage3.htm (feymman.ulaval.ca: théorie électro-faible et nécessité d’un mécanisme de brisure de symétrie)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/06Ahiggs/Le%20boson%20de%20Higgs%20page%20web/nouvellepage3.htm Feymnan.ulaval.ca: le mécanisme de Higgs)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10brisuredesymetrieethiggs/Pages/Notions_de_base.html (feynman.ulaval.ca: théorie des groupes, théorie électro-faible, brisure de symétrie et phénomène de Higgs)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/05jauge/index.htm (feynman.ulaval.ca: les théories de jauge, classique, quantique, yang-mills, QCD)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/04higgs/index.html feynman.ulaval.ca: APPARITION DU BOSON DE HIGGS PAR LE MÉCANISME DE BRISURE DE SYMÉTRIE)

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/02electrofaible/electrofaible.htm (feynman.ulaval.ca: initiation à la théorie électro-faible, introduction à la QED, quantification

Evariste Galois, la théorie des groupes et la théorie de l’ambiguïté partie historique


Evariste Galois, la théorie des groupes et la théorie de l’ambiguïté partie historique

http://www.geo.fr/fonds-d-ecran/villes-et-villages/l-institut-de-france


2011 est l’année du Bicentenaire de la naissance de deux héros romantiques : « Franz Liszt et Évariste Galois. « Tous deux, d’une précocité déconcertante, ont révolutionné leur domaine. Si Liszt est fêté comme un héros national en Hongrie, Galois n’est pas en reste en France — lui qui croyait que la patrie ne retiendrait pas son nom, et qui est finalement devenu l’une des gloires françaises les plus solides ! Le destin tragique de Galois, l’incroyable contraste entre la brièveté de sa vie et l’éternité de l’œuvre qu’il laisse, le fait qu’un garçon si jeune ait pu bouleverser la mathématique tout entière et la physique avec, tout cela fait rêver. » Pour le bicentenaire de Galois, une conférence de Alain Connes a été organisée le 29 novembre 2011 à la mémoire de ce grand mathématicien: Galois et la théorie de l’ambiguïté à l’académie des sciences. Dans cette académie, avait déjà eu lieu une autre séance sur la théorie de l’ambiguïté le13 juin 2006 lors de la Réception des Membres élus en 2005 par Jran-Pierre Ramis, La théorie de l’ambiguïté : de Galois aux systèmes dynamiques.

Je lis cette conférence aujourd’hui alors qu’après avoir étudié l’électro-dynamique quantique je m’intéresse aux théories de jauge et aux théories des cordes (voir tous mes liens en fin d’article où j’ai beaucoup consulté les formations dues à Luc Marleau: feynman.phy.ulaval.ca. Cela me fait me souvenir que Galois est un jalon important dans la conquête de la science mathématisée par des grands génies tels que Galilée (considéré comme l’initiateur de la méthode scientifique, et qui, dans le domaine des mathématiques appelait de ses vœux, ce « langage décrivant la nature »  pour « l’écriture mathématique du livre de l’Univers »), puis par Newton.et Einstein. L’idée galoisienne « Il existe pour ces sortes d’équations un certain ordre de considérations métaphysiques qui planent sur les calculs et qui souvent les rendent inutiles. » « Sauter à pieds joints sur les calculs, grouper les opérations, les classer suivant leur difficulté et non suivant leur forme, telle est selon moi la mission des géomètres futurs. » était une intuition qui a fécondé les idées modernes de symétrie. Dans le chapitre 3-2-2 de ce site, il est écrit: « L’idée galoisienne de correspondance entre symétries d’une structure mathé-matique et treillis de ses sous-structures a essaimé dans d’autres domaines des Mathématiques. L’un des premiers et plus célèbres avatars est le « programme d’Erlangen » de Felix Klein, qui jette un pont entre Géométrie et Théorie des groupes : il s’agit de classifier les géométries de l’espace à n dimensions où le « mouvement d’une figure invariable est possible » Cette notion de symétrie a été sublimée par Emmy Noether, décrite par Albert Einstein comme « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ». Elle a révolutionné les théories des anneaux, des corps et des algèbres. En physique, le théorème de Noether, établi en 1918, explique le lien fondamental entre la symétrie et les lois de conservation. Il exprime l’équivalence qui existe entre les lois de conservation et l’invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines transformations appelées symétries. Ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique ». Il est abondamment utilisé aujourd’hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en termes de symétrie d’espace, de charges, et même de temps. En physique la notion de symétrie, qui est intimement associée à la notion d’invariance, renvoie à la possibilité de considérer un même système physique selon plusieurs points de vues distincts en termes de description mais équivalents quant aux prédictions effectuées sur son évolution. La notion de symétrie et d’invariance en physique associée à la théorie des groupes a abouti aux théories actuelles depuis la théorie de la relativité, les théories de jauge et la théorie quantique des champsau modèle standard de la physique des particules et à la théorie de grande unification qui sera alors la dernière pièce de l’édifice constitué par le modèle standard qui incorpore les trois interactions dans une théorie unifiée basée sur un groupe de jauge .  Mais pour concilier la physique quantique et la Relativité Générale, les physiciens misent maintenant sur les théories des cordes, et d’autres théories comme la gravité quantique, la gravité quantique à boucles, voire « et si le temps n’existait pas?  » ou « vers la physique de demain« …

La fécondité des notions dont Galois avait eu l’intuition est extrême, mais se doutait t-il de l’impact qu’elles auraient sur la Connaissance humaine? A t-elle des limitesPeut-on savoir quelles sont les limites de la connaissance scientifique?

 Mais voyons maintenant ce que dit Alain Connes de la théorie de l’ambiguïté.

Alain Connes:  

Conférence du 29 novembre 2011 sur Évariste Galois et la théorie de l’ambiguïté:

1) Alain Connes commence par une brève chronologie que nous compléterons grâce aux  données fournies dans le site www2.ac-lyon.fr


Chronologie I – 25 Octobre 1811, naissance de Galois. 

– Avril 1829, mort d’Abel, génial, mais maudit, mort à 26 ans. 

–, A 16 ans, trop brillant sans doute, et peut-être un peu brouillon…, Galois fut incompris par Poisson qui rejeta les travaux qu’il voulait présenter à l’Académie des sciences de Paris (1831). Auparavant son mémoire fut perdu par Cauchy en 1827, et ignoré par Fourier (qui mourut en 1830). 

25 Mai, 1er Juin 1829, Cauchy présente les premiers travaux de Galois à l’académie. 

– Juillet 1829, suicide du père de Galois, échec à polytechnique, mais reçu à l’école préparatoire ENS (appelée École préparatoire de 1826 à août 1830 et d’un niveau bien inférieur à l’École polytechnique) située dans les locaux de Louis-le-grand). 

– 18 janvier 1830. Cauchy, qui devait présenter ce jour le mémoire de Galois devant l’Académie des sciences, est souffrant, et ne vient pas à la séance. Par la suite, il conseille à Galois de réviser son mémoire et de le présenter au Grand prix de mathématiques que l’Académie doit décerner en juin. (La lettre de Cauchy  prouve que Cauchy possédait encore les deux mémoires de Galois et qu’il avait rédigé un rapport à leur sujet. Elle contredit  l’affirmation d’après laquelle il aurait perdu ces écrits) 

– Février 1830, Sur les conseils de Cauchy, Galois rédige et présente à l’Académie des Sciences un nouveau mémoire : Mémoire sur les conditions de résolution des équations par radicaux, destiné à concourir au Grand prix de Mathématiques. Augustin Cauchy remet à Joseph Fourier, qui était secrétaire perpétuel de l’académie, le Mémoire de Galois après avoir demandé à son auteur de le réviser pour qu’il concoure au Grand Prix des Sciences Mathématiques

– Avril 1830. Gallois fait paraître dans le Bulletin de Férussac, un article intitulé : Analyse d’un mémoire sur larésolution algébrique des équations. 

– 16 mai 1830. Mort de Fourier, secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences, qui était chargé d’examiner le mémoire de Galois. Le mémoire s’égare et Galois se trouve donc éliminé du grand prix de mathématiques. Apprenant la perte de son mémoire, Galois écrit : «Mais la perte de ce Mémoire est une chose très simple. Il était chez M. Fourier qui devait le lire, et, à la mort de ce savant, le Mémoire a été perdu.» 

– Juin 1830. Galois fait paraître dans le bulletin de ferrussac du même mois : Notes sur la résolution deséquations numériques, et l’important article : Sur la théorie des nombres. Il songe à une publication générale, rédige un nouveau Mémoire sur le même sujet, écrit le Discours Préliminaire


Chronologie II – Mais, le 28 Juin 1830, Le Grand Prix des sciences matématiques est attribué à Abel et Jacobi

– 27,28, 29 juillet 1830, Les trois glorieuses, Charles X est renversé (La Révolution de Juillet est la deuxième révolution française après la révolution française de 1789, qui met en faveur un nouveau roi, Louis-Philippe, qui prend le pouvoir d’une nouvelle monarchie, la monarchie de Juillet, succédant ainsi à la Seconde Restauration. Cette révolution, qui est en fait une révolte, se déroule sur trois journées, les 2728 et29 juillet 1830, dites « Trois Glorieuses »), Cauchy suit Charles X en exil et part à  Turin où sur invitation du roi de Piémont, Charles-Albert, il occupe, pendant 2 ans, la chaire nouvellement créée de physique sublime à l’université de Turin et en janvier 1832. ll effectue un voyage à Rome où il est reçu par le pape Grégoire XVI

Les élèves de l’École normale ont été consignés par le directeur, Joseph-Daniel Guigniaut, et n’ont pu participer aux combats, à l’inverse des polytechniciens qui prennent une part active aux événements.

– Août-décembre 1830. Galois passe ses examens de licence. Il se lie à des étudiants républicains (Raspail, Blanqui, Napoléon Aimé Lebon, etc.), s’inscrit le 10 novembre à la Société des amis du peuple, et entre dans les artilleurs de la Garde nationale. 

– Décembre 1830. Les Annales de Gergonne font paraître ses Notes sur quelques points d’analyse, c’est sa dernière publication.

– 3 décembre 1830. Galois dénonce dans la Gazette des Écoles l’attitude de Guigniaut pendant les Trois Glorieuses. La rédaction de la Gazette publie la lettre sans signature, mais l’auteur ne fait aucun doute. L’affaire fait scandale et occupe la presse.

– 10 décembre 1830. Les normaliens envoient à la Gazette des Écoles une lettre dans laquelle ils se désolidarisent de Galois.

 – 22 décembre 1830. Verdict du procès des ministres de Charles X. Émeutes républicaines à Paris. Dix-neuf artilleurs de la Garde nationale sont arrêtés pour rébellion. 

– 30 décembre 1830. Réponse de Galois à ses camarades de l’École normale, dans la Gazette des Écoles. 

– 2 janvier 1831. La Gazette des Écoles publie sa Lettre sur l’enseignement des sciences, sous les initiales E. G. 

– 4 janvier 1831. Arrêt du Conseil royal de l’Instruction publique, où siègent Cuvier, Poisson, Thénard, Cousin et Villemain, prononçant que « l’élève Galois quittera immédiatement l’École Normale. Il sera statué ultérieurement sur sa destination. »

– 13 janvier 1831. Galois ouvre un cours public d’algèbre supérieure à la librairie Caillot du 5 rue de la Sorbonne: «Évariste Galois, ancien élève de l’École normale, donnera une série de cours d’algèbre pour les jeunes étudiants. Ce cours aura lieu tous les jeudis à une heure et quart, il est destiné aux jeunes gens qui, sentant combien est incomplète l’étude de l’algèbre dans les collèges, désirent approfondir cette science. Le cours se composera de théories dont quelques-unes sont neuves, et dont aucune n’a jamais été exposée dans les cours publics. Nous nous contenterons de citer une théorie nouvelle des imaginaires, la théorie des équations qui sont solubles par radicaux, la théorie des nombres et les fonctions elliptiques traitées par l’algèbre pure. Les cours commenceront le jeudi 13 janvier, chez Caillot, librairie, rue de la Sorbonne, numéro 5.» Une quarantaine d’élèves assistent au premier cours, une dizaine au second, quatre au troisième. Ce fut le dernier cours de Galois.

– 17 janvier 1831. Sur l’invitation de Poisson, Galois présente à nouveau un Mémoire sur la résolution des équations, remis le 17 janvier à l’Institut. Le 31 mars, il écrit au président de l’Académie des sciences afin de presser le rapport de Poisson sur son mémoire. Agitation au Quartier latin.

–  Avril 1831. Les 19 artilleurs de la Garde nationale arrêtés en décembre 1830 sont acquittés

– 9 mai 1831 Galois arrêté: Banquet au restaurant «Aux Vendanges de Bourgogne». La Société des amis du peuple fête l’acquittement des artilleurs au «Procès des dix-neuf», Galois éméché lève un toast à Louis-Philippe avec un poignard acheté trois jours plus tôt. Alexandre Dumas, qui assiste par hasard à cette scène, s’éclipse aussitôt, et la racontera plus tard. Galois est arrêté le lendemain à Bourg-la-Reine, et déféré à la prison Sainte-Pélagie. 

– 15 juin 1831. Procès en Cour d’assises ; il est acquitté.

 4 juillet 1831. Sur le rapport de Poisson, contresigné par Lacroix, l’Académie refuse d’approuver le Mémoire sur la résolution des équations.

Chronologie III 

– 14 juillet 1831. Au cours d’une manifestation républicaine, interdite par la police, Évariste Galois et son ami Duchâtelet sont arrêtés sur le Pont-Neuf en tête d’un petit groupe d’étudiants, et inculpés de port illégal d’uniforme et de port d’armes prohibées.

– Juillet-octobre 1831. Galois est détenu à Sainte-Pélagie, prison réservée aux politiques, il y côtoya Gérard de Nerval et François-Vincent Raspail et Blanqui. Il prend connaissance du rapport de Poisson sur son mémoire. Les 29 et 30 juillet, insurrection des prisonniers politiques ; Galois est mis provisoirement au cachot. Dans des lettres à une amie, F.-V. Raspail fait une description vivante et chaleureuse de son jeune compagnon.

– 23 octobre 1831. Galois est condamné en Police correctionnelle à 6 mois de prison, Du châtelet à 3 mois. Jugement confirmé en Cours d’appel le 3 décembre 1831. Novembre 1831. Émeutes à Lyon. Décembre 1831-mars 1832. Détention à Sainte-Pélagie. Il reçoit les visites d’Auguste Chevalier, de sa sœur, de sa tante Céleste Marie Guinard.

– Du 22 au 31 janvier, transfert disciplinaire à la prison de la Force. En février 32, Gérard de Nerval est pris dans une rafle, et incarcéré à Sainte-Pélagie pour tapage nocturne dans la rue des Prouvaires. En prison, il rencontre Galois et fraternise avec lui. Il racontera cette singulière rencontre dans un article publié en 1841. Nouveau projet de publication. Galois relit son Mémoire sur la résolution des équations et rédige sa Préface en décembre. Il travaille sur les fonctions elliptiques, et rédige une Note sur Abel.

Du 22 au 31 janvier, transfert disciplinaire à la prison de la Force. En février 1832, Gérard de Nerval est pris dans une rafle, et incarcéré à Sainte-Pélagie pour tapage nocturne dans la rue des Prouvaires. En prison, il rencontre Galois et fraternise avec lui. Il racontera cette singulière rencontre dans un article publié en 1841. Nouveau projet de publication. Galois relit son Mémoire sur la résolution des équations et rédige sa Préface en décembre. Il travaille sur les fonctions elliptiques, et rédige une Note sur Abel.

– 16 mars 1832. En raison de l’épidémie de choléra qui commence à sévir à Paris, Galois est transféré à la maison de santé du docteur Faultrier, rue de Lourcine, n° 84 (actuelle rue Broca), où il va purger le restant de sa peine. Le choléra se déclare dans Paris. 29 avril 1832. Libéré ce jour-là, Galois continue d’habiter chez le sieur Faultrier. Il reprend ses travaux mathématiques, rédige quelques essais, et pense collaborer à la Revue encyclopédique. Il rencontre une jeune fille prénommée Stéphanie (Poterin du Motel ?), dont il tombe amoureux, et qui va l’éconduire. 

– 14 mai 1832. Lettre de rupture de Stéphanie. 25 mai 1832. Évarsite écrit une lettre désespérée à Chevalier, forme des projets pour aller dans le Dauphiné, et se vouer à ses travaux mathématiques. 

– 26, 27 ou 28 mai 1832. Galois est provoqué en duel après la rupture amoureuse et dans des circonstances fort obscures, après avoir épuisé tout moyen de conciliation. On ignore le nom de son adversaire (Duchâtelet, Pescheux d’Herbinville ?). 

– 29 mai 1832. À la veille du duel, Galois écrit (au moins) trois lettres : – une lettre à Napoléon Lebon et Victor Delaunay (« Mes bons amis, J’ai été provoqué par deux patriotes… Il m’a été impossible de refuser (…) ») – une « lettre à tous les républicains » (« Je meurs victime d’une infâme coquette et de deux dupes de cette coquette ».) – enfin une longue lettre à son ami Auguste Chevalier. Cette dernière lettre est son testament mathématique : il récapitule les résultats qu’il a obtenus dans la théorie des équations algébriques et les fonctions elliptiques, et conclut sur ces mots : « Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis non sur la vérité, mais sur l’importance des théorèmes. Après cela il se trouvera, j’espère, des gens qui trouveront profit à déchiffrer tout ce gâchis. Je t’embrasse avec effusion. » 

– 30 mai 1832. Après avoir classé ses papiers, Galois se rend au petit matin près de l’étang de la Glacière, non loin de la pension Faultrier. On l’y trouvera quelques heures plus tard, abandonné par ses témoins, et gravement blessé à l’abdomen. Il est transporté à 9 h et demie du matin à l’hôpital Cochin. 

– 31 mai 1832. À 10 heures du main, Évariste Galois meurt à l’hôpital Cochin dans les bras de son frère Alfred, après avoir refusé les offices d’un prêtre. « Ne pleure pas. J’ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans. » Une autopsie est pratiquée.

– 1833. Mort de Legendre. 1843. Liouville annonce à l’Académie des Sciences, séance du 4 juillet : «À la fin d’une discussion comportant tant d’équations algébriques, j’espère intéresser l’Académie en lui annonçant que dans les papiers d’Évariste Galois j’ai trouvé une solution aussi exacte que profonde de ce beau problème : Étant donnée une équation irréductible de degré premier, décider si elle est ou non soluble par radicaux. » Liouville admet que « le Mémoire de Galois est peut-être rédigé de manière trop concise », et promet « de le compléter par un commentaire qui ne laissera aucun doute concernant la réalité de la belle découverte de notre ingénieux et infortuné compatriote. » 

– Novembre-décembre 1846. Première publication, par Liouville, de l’œuvre mathématique d’Évariste Galois. Liouville réitère son intention de publier des commentaires, mais, trop occupé, ne donne pas suite à ce projet, et semble s’être contenté de faire des exposés sur les travaux de Galois, auxquels assistait Serret. La publication des travaux de Galois attira l’attention des italiens Betti et Brioschi, des français Serret et Jordan, des allemands Dedekind et Weber. En 1893, Weber nomme « théorie de Galois » la théorie des corps commutatifs. 1870. Parution du Traité des substitutions et des équations algébriques de Camille Jordan.


2) Maintenant en route vers la théorie de l’ambiguïté avec Alain Connes avec la partie historique.

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES résume: A 16 ans, trop brillant sans doute, et peut-être un peu brouillon…, il fut incompris par Poisson qui rejeta les travaux qu’il voulait présenter à l’Académie des sciences de Paris (1831). Auparavant son mémoire fut perdu par Cauchy en 1827, et ignoré par Fourier (qui mourut en 1830). Il rédigea, peu de temps avant sa mort, son testament mathématique qu’il confia, avec divers autres manuscrits, à un ami en le priant de le transmettre à Jacobi ou Gauss.

Ce n’est qu’en 1843 que les travaux de Galois sont connus, transmis et complétés par Liouville (1846) à l’Académie des Sciences, mais c’est Jordan, en 1870, qui le fera vraiment connaître à travers son traité d’algèbre.

La théorie de Galois est basée sur l’étude des groupes de substitutions (plutôt appelées aujourd’hui permutations, le terme substitution persiste pour les ensembles finis) entamée parCauchy. Son but était d’apporter une réponse définitive au problème de la résolution des équations algébriques par radicaux sur lequel les plus grands mathématiciens se heurtaient jusqu’alors malgré l’avancée spectaculaire d’Abel sur le sujet

2-1 Le personnage d’Abel et ses relations avec Cauchy.

On voit donc qu’un personnage central est le personnage d’Abel, qui meurt le 5 avril 1829 alors que Galois a 17 ans. Abel avait déjà eu des relations assez compliquées avec Cauchy. Dans http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1971_num_24_2_3196 on trouve: « En effet, le rythme endiablé de sa production, l’orientation polémique de certains de ses travaux, sa sévérité à l’égard de ses concurrents, lui vaut l’hostilité d’une bonne partie des mathématiciens et physico-mathématiciens de l’Académie et en particulier Poinsot, poisson, Fourier, Prony et Navet [… ] Quand aux jeunes chercheurs, s’ils ont moins à se plaindre de son agressivité, beaucoup sont rebutés par la froideur de l’accueil que leur accorde Cauchy et par l’intérêt trop exclusif qu’il semble porter à ses propres travaux. C’est ainsi qu’en 1826 Abel écrit« : “Cauchy est fou et il est impossible d’avoir affaire avec lui. Pourtant c’est lui qui, à présent, est le mathématicien qui sait comment doivent être traitées les mathématiques. Ses travaux sont excellents ; mais il écrit obscurément. D’abord je ne comprenais presque rien à ses oeuvres ; maintenant j’y arrive mieux. Cauchy est infiniment catholique et bigot. Chose bien singulière pour un mathématicien ! D’ailleurs, il est le seul qui travaille les mathématiques pures. Poisson, Fourier, Ampère, etc., s’occupent exclusivement de magnétisme et d’autres parties de la physique” (Lettre d’Abel à 

Holmboe, 24 Octobre 1826).Cauchy a mis du temps pour reconnaître les travaux d’Abel, mais cela a été fait.

2-2 Galois et Abel.

La relation entre Galois et Abel est très intéressante. Galois en 1829 a donné deux manuscrits à l’académie et après la mort d’Abel, il a appris que ses travaux avaient largement anticipés par ceux d’Abel, ce qui lui a donné un coup et voici ce qu’il écrit: “Dans tous les cas, il me serait aisé de prouver que j’ignorais même le nom d’Abel quand j’ai présenté à l’Institut mes premières recherches sur la théorie des équations, et que la solution d’Abel n’aurait pu paraître avant la mienne”. Ecrite à la prison Sainte-Pélagie vers décembre 1831, cette note a pour but essentiel d’affirmer l’indépendance des travaux de Galois par rapport à ceux d’Abel. Galois qui connaissait alors la lettre d’Abel à Legendre du 25 novembre 1828 y écrit en effet : “Mais la mort anticipée de ce géomètre ayant privé la science des recherches promises dans cette lettre, il n’en était pas moins nécessaire de donner la solution d’un problème qu’il m’est bien pénible de posséder, puisque je dois cette possession à une des plus grandes pertes qu’aura faite la science”  (Voir:  « Abel et Galois ont pu souvent être comparés d’une part par la « brièveté de leur vie », d’autre part par « le genre de leur talent et l’orientation de leurs recherches »« . Cependant les travaux de Galois et d’Abel sont indépendants : Galois « n’avait eu qu’en partie connaissance » des travaux d’Abel sur les sujets qui l’intéressaient. Ce sont à travers des fragments publiés dans le Bulletin que Galois a eu connaissance de ces travaux). En fait, il n’y a pas eu concurrence ou rivalité, mais Abel disparaît exactement au moment où Galois apparaît dans le paysage mathématique.

2-3 Galois et Cauchy (21 août 1789 – 23 mai 1857).

Quand Galois naît, il avait 22 ans. C’est un mathématicien extraordinaire. Comme pour Abel, les relations avec Galois sont très intéressantes. On l’a vu dans la chronologie, Cauchy est parti de France en 1830 et il n’y a plus alors de contact avec Galois. Les meilleures informations que l’on ait entre Cauchy et Galois, qui bien souvent sont présentées de manière caricaturale, c’est à travers un article de René Taton, un grand historien des mathématiques, mort en 2004,  qui nous dit la chose suivante: « Parmi les très rares renseignements qu’elles nous apportent à ce sujet, les archives de l’Académie des Sciences révèlent que Galois eut le privilège (alors qu’il n’avait que 17 ans) de voir ses premiers travaux présentés devant l’Académie, au cours des séances des 25 mai et 1er juin 1829, par un juge aussi sévère que compétent, Cauchy. Bien qu’aucune précision ne nous soit parvenue sur ce point, l’acceptation par le grand analyste de cette tâche de présentation prouve que le jeune auteur de ces mémoires avait réussi à le convaincre du sérieux, de l’importance et de l’originalité de ses recherches. » Un peu après en fait, dans le début de l’été 1829,  le mémoire d’Abel sur les équations algébriques est paru de manière posthume et bien sûr, Cauchy a constaté qu’une bonne partie des résultats obtenus par Galois étaient « absorbés » par le mémoire d’Abel donc il était de son devoir d’atténuer la déception de Galois en l’encourageant de sauver la part la plus originale de ses recherches travail. Lorsqu’il se décida en 1830 à rédiger son rapport sur le Mémoire de Galois, Lorsqu’il se décida, au début de 1830, on peut penser que, dans cette circonstance, Cauchy songea beaucoup moins à remplir une obligation académique qu’à apporter d’utiles conseils au jeune mathématicien. Toujours est-il que ce rapport fut rédigé pour être lu à la séance du 18 janvier 1830, et que seule une indisposition empêcha Cauchy de le présenter. Cauchy adressa lors une lettre d’excuses au Président de l’Académie, lettre que l’on retrouve dans les archives de l’Académie:  « Monsieur le Président, Je me proposai de présenter aujourd’hui à l’Académie : 1˚ le rapport sur les travaux du jeune Galois ; 2˚ un mémoire sur la détermination analytique des racines primitives, dans lequel je fais voir comment on peut réduire cette détermination à la résolution d’’équations numériques dont toutes les racines sont entières et positives. Retenu chez moi par une indisposition, je regrette de ne pouvoir assister à la séance de ce jour, et je vous prie de vouloir bien inscrire mon nom sur l’ordre du jour de la séance suivante pour les deux objets que je viens d’indiquer. Agréez, je vous prie, l’hommage de la très parfaite considération avec laquelle j’ai l’honneur d’être, Monsieur le Président votre très humble et très obéissant serviteur. A.-L. Cauchy, Membre de l’Académie. » Cette lettre montre que Cauchy n’ignorait absolument Galois et que même il y y avait des relations très fortes entre les deux hommes. Et René Taton dit à propos de cette lettre: « Du fait du report annoncé de ce rapport à  la séance suivante, celle du 25 janvier 1830, nous (René Taton) avons examiné avec un soin tout particulier les différentes pièces concernant cette séance : dossier, plumitif, registre de procès verbaux. Mais alors que ces divers documents montrent que Cauchy, effectivement présent, y présenta bien son mémoire annoncé ”Sur la détermination des racines primitives dans la théorie des nombres, rien n’y rappelle le premier point évoqué dans sa lettre du 18 janvier, ”Le rapport sur les travaux du jeune Galois”. L’étude des procès-verbaux des séances de l’Académie révèle que non seulement ce rapport, annoncé par écrit au président de l’Académie pour la séance du 25 janvier, n’y a pas été présenté, mais qu’aucune allusion n’y a plus été faite au cours des séances suivantes. Le fait que Galois ne se soit jamais plaint de la négligence de Cauchy en cette circonstance, alors qu’il plaçait tous ses espoirs en un jugement favorable de l’Académie, semble montrer que l’annulation de ce rapport est intervenue avec son accord. Il reste alors à expliquer ce brusque changement d’attitude des deux acteurs de cette mystérieuse affaire. La confrontation attentive des quelques éléments d’information disponibles permet de formuler à ce sujet une hypothèse qui paraît très vraisemblable. Tout d’abord, il est parfaitement établi qu’en février 1830, Galois a déposé au secrétariat de l’Académie un important mémoire…. L’hypothèse de Taton, c’est que Cauchy avait demandé à Galois de réécrire son manuscrit de manière plus détaillée, de telle sorte qu’il soit présenté au Grand Prix de l’Académie (En fait, ça s’appelait un concours à l’époque). Taton écrit: « Nous pensons donc que, entre le 18 et le 25 janvier 1830, Cauchy persuada Galois de rédiger pour le concours du Grand Prix de Mathématiques un mémoire de synthèse réunissant l’ensemble de ses contributions originales à la théorie des équations algébriques et de renoncer, en même temps, à ce que ses mémoires de 1829 soient l’objet d’un rapport officiel. »

2-4) Le concours: 

Le prix sera décerné à celui des ouvrages ou manuscrits ou imprimés, qui présentera l’application la plus importante des théories mathématiques, soit à la physique générale, soit à l’astronomie, ou qui contiendrait une découverte analytique très remarquable”. Le grand prix se distinguait également par le fait que des travaux publiés entre le 1er janvier 1828 et le 1er janvier 1830, “ou séparément, ou dans des recueils scientifiques” pouvaient être pris en considération par le jury, sans que leur auteur ait fait acte de candidature, concurremment avec les ouvrages ou mémoires déposés au secrétariat de l’Institut avant le 1er mars 1830. Cette modalité permit ainsi au jury de rendre à Abel et à Jacobi un hommage pleinement mérité et de répondre ainsi à certaines critiques sur le retard apporté par l’Académie à reconnaître la valeur de leurs travaux, ceux d’Abel en particulier. Les espoirs que Galois plaçait dans le concours du Prix de l’Académie devaient donc se trouver cruellement déçus. Galois ne put raisonnablement ressentir comme une injustice, le fait que, le 28 juin, ce prix ait été attribué à Abel (à titre posthume) et à Jacobi.

Par contre, là où il a commencé à être un peut paranoïaque, si l’on peut dire, et comme le souligne Alain Connes, c’est lorsqu’il a appris que son manuscrit avait été perdu. La raison en est complexe: Cauchy, en fait ne faisait pas partie des examinateurs, le secrétaire perpétuel était Joseph Fourier, qui est mort en mai de cette année-là, avant même que le grand Prix eût été attribué. C’était en fait Fourier qui était chargé de présenter les travaux de Galois et non pas Cauchy. Comme explication, « c’est une chose bien simple, aurait répondu Cuvier à une réclamation de Galois, le mémoire  a été perdu à la mort de M. Fourier, qui était chargé de l’examiner” On conçoit que ce nouveau malheur ait exaspéré le jeune mathématicien, déjà convaincu non seulement d’être poursuivi par la malchance, mais aussi d’être persécuté par les représentants de la science officielle et par la société en général. Cauchy connut-il ce regrettable incident ? La chose n’est pas certaine, car il fut pratiquement absent de l’Académie à partir du 19 juillet 1830 quant il quitta la France pour l’exil au début de septembre pour n’y plus revenir qu’en 1838. Voilà ce que dit Galois dans ses écrits: “II suffira de dire que mon mémoire sur la théorie des équations a été déposé en substance à l’Académie des Sciences en février 1830, (l’année du concours, l’année où Cauchy lui avait demandé de déposer son mémoire), que des extraits en avaient été envoyés en 1829 (les deux articles qu’il avait déposés au printemps 1829 quand il avait 17 ans), qu’aucun rapport ne s’en est suivi et qu’il m’a été impossible de revoir les manuscrits.

Voilà ce que dit Auguste Chevalier, l’ami très proche de Galois: « Le peu d’attention donné par l’Institut au premier travail soumis à son jugement par Galois commença pour lui des douleurs qui, jusqu’à sa mort, devaient se succéder de plus en plus vives. Une telle indifférence aurait suffi pour guérir de toute ardeur scientifique, mais il n’en fut point abattu ; une puissante nature le poussait en avant. »

2-5 Renvoi de Galois de l’Ecole normale.

Le deuxième épisode, c’est à ce moment-là, en 1830. Il y a les trois glorieuses et Galois est enfermé à l’Ecole Normale, car les élèves de l’Ecole normale ont été consignés par le directeur, Joseph-Daniel Guigniaut, et n’ont pu participer aux combats,  alors qu’on laisse sortir les élèves de Polytechnique qui prennent une part active aux événements. Mais les élève font le mur pour aller sur les barricades. Galois éprouve à ce moment une aversion pour le Directeur, et il finit par se faire renvoyer de l’Ecole Normale 4 janvier 1831 comme nous l’avons vu dans les chroniques, par arrêt du Conseil royal de l’Instruction publique, où siègent Cuvier, Poisson, Thénard, Cousin et Villemain, prononçant que « l’élève Galois quittera immédiatement l’École Normale. Il sera statué ultérieurement sur sa destination. »  la personne qui signe le renvoi de Galois de l’Ecole normale est Victor Cousin et la rue Victor Cousin est la rue dans laquelle Galois a donné ses cours après avoir été renvoyé de l’Ecole normale, il a donné son cours devant 35 élèves. Mais il n’y a pas dans Paris de rue Galois et Alain Connes pense que ce serait une bonne idée qu’on ne change pas le nom de la rue, mais qu’il y ait une plaque dans la rue Victor Cousin ou dans la rue de la Sorbonne en expliquant clairement que galois a donné ses cours à cet endroit-là après s’être fait renvoyer de l’Ecole normale.

Le rapport avec Poisson est très intéressant, parce que Poisson, qui faisait partie du comité qui a renvoyé Galois lui a surement parlé en privé et lui a dit qu’il fallait qu’il redonne son manuscrit pour qu’il soit réexaminé par l’Académie. Il faut rappeler que Cauchy était à Turin et Galois n’avait plus de protecteur direct et il n’y avait pas de personne à laquelle il pouvait s’adresser à l’Académie. Selon Alain Connes, il a parlé à Poisson et lui a donné son manuscrit. Poisson et Lacroix ont fait un rapport extrêmement précis et argumenté à la séance du 11 juillet 1831 sur le mémoire de Galois.relatif aux conditions de résolubilté par radicaux.:

« Le but que l’auteur s’est proposé dans ce Mémoire est de démontrer un théorème qu’il énonce ainsi: « Pour démontrer qu’une équation irréductible de degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que, deux de ses racines étant connues, les autres se déduisent rationnellement. » 

L’auteur entend par équation irréductible, une équation dont les coefficients sont rationnels et qui ne peut se décomposer en d’autres équations qui aient aussi leurs coefficients rationnels. D’après sa proposition, l’équation générale du troisième degré, par exemple, serait résoluble, parce que la somme des trois racines étant égale au coefficient du second terme pris avec un signe contraire, chacune s’exprime rationnellement au moyen des deux autres. Des notre trouvées dans les papiers d’Abel et qui ont été imprimées après sa mort dans le journal de M. Crelle, tome V page 345, renferment une proposition analogue de celle de M. Galois dont voici l’énoncé: 

« si trois racines d’une équation quelconque irréductible, dont le degré est un nombre premier , sont liées entre de sorte que l’une des racines puisse être exprimée rationnellement au moyen des deux autres, l’équation dont il s’agit sera toujours résoluble au moyen de radicaux. »

Cet énoncé diffère de celui de M. Galois, en ce que le géomètre norvégien ne dit pas que la condition dont il s’agit soit nécessaire; mais qu’elle suffit pour que l’équation soit résoluble; et il ne semble qu’il la regardât comme indispensable; car on trouve dans les notes citées une autre proposition relative à la résolution d’une classe nombreuse d’équation qui pourraient bien ne pas remplir cette condition. Il ne paraît pas non plus que ce soit à cette proposition qu’il ait fait allusion dans ce passage à une lettre écrite à M. Legendre, et publiée après la mort d’Abel dans le Journal de M. Crelle, tome VI , page 80:

« J’ai été assez heureux » dit-il de trouver une règle sûre à l’aide de laquelle on pourra reconnaître si une équation quelconque proposée es résoluble ou non à l’aide de radicaux. Un corollaire de ma théorie fait voir que que généralement il est impossible de résoudre les équations supérieures au quatrième degré. »

Nous ignorons si Abel a laissé un manuscrit de cette théorie; elle n’a point encore été imprimée non plus que la démonstration du théorème analogue à celui qui fait l’objet de ce rapport.et qui appartiendrait entièrement à M. Galois, s’il parvenait à l’établir d’une manière satisfaisante. Toutefois, on doit remarquer qu’il ne renferme pas, comme le titre du Mémoire le promettait, la condition de résolubilité par radicaux; car en admettant comme vraie la proposition de M. Galois, on n’en serait guère plus avancé pour savoir si une équation donnée dont le degré est un nombre premier est résolue ou non par des radicaux, puisqu’il faudrait d’abord s’assurer si cette équation est irréductible, et ensuite si l’une des racines peut s’exprimer en fonction rationnelle des deux autres.. La condition de résolubilité, si elle existe, devrait être un caractère extérieur que l’on pût vérifier à l’inspection des coefficients d’une équation donnée, ou tout au plus, en résolvant d’autre équations d’un degré moins élevé que la proposée. Quoi qu’’il en soit, nous avons fait tous nos efforts pour comprendre la démonstration de M. Galois. Ses raisonnements ne sont ni assez clairs, ni assez développés pour que nous ayons pu juger de leur exactitude, et nous ne serions pas en état d’en donner une idée dans son Rapport. L’auteur annonce que la proposition qui fait l’objet spécial de son Mémoire est une partie d’une théorie générale susceptible de beaucoup d’autres applications.Souvent il arrive qu’une partie d’une théorie, en s’éclairant mutuellement, sont plus faciles à saisir dans leur ensemble qu’isolément. On peut donc attendre que l’auteur ait publié en entier son travail pour se former une opinion définitive; mais dans l’état où  est la partie qu’il a soumise à l’Académie, nous ne pouvons porposer d’y donner notre approbation. »

Lorsqu’il a reçu ce rapport le 4 juillet 1831, Galois a écrit en-dessous « Oh chérubins« ! c’est à dire « vous n’avez pas bien compris » (il faut admettre que la manière dont Galois écrit est extrêmement elliptique), mais on verra aussi à quel point il va au point le plus profond. Ce qui est vrai, c’est que , si on lit ce que Galois écrit pour démontrer ses théorèmes, c’est très difficile à comprendre. Par contre, il avait la démonstration de manière complète, c’est clair. Ce qui est amusant aussi, c’est que pour démontrer ce théorème, il faut utiliser un résultat de Cauchy, que Galois  connait et utilise: si on prend un groupe fini dont l’ordre est divisible par un nombre premier, il contient sur un ensemble à p éléments une permutation cyclique d’ordre p.

En fait, la situation était très mauvaise et Galois, quelques jours après avoir reçu le rapport de Poisson, Galois devait être très découragé et dans un état assez instable. C’est à ce moment-là qu’il a été arrêté en tête de la manifestation et qu’il s’est retrouvé en prison pour pratiquement tout le reste de sa vie. 

2-6) Le miracle: c’est Joseph Liouville

fermatslasttheorem.blogspot.fr/2009/09/joseph-liouville

Les choses auraient pu en rester là, mais il y a un miracle, c’est Joseph Liouville, qui est aussi un membre de l’Académie et de la même génération que Galois. Il serait en effet trop facile de dire que ce qu’a trouvé Galois aurait été trouvé de toute manière, car, Il y eut plus de 10 ans entre la disparition de Galois et le moment où Liouville a étudié, de manière extrêmement soigneuse et précautionneuse les papiers qui lui avaient remis par le frère de Galois et qui avaient été confiés à Auguste Chevalier, qui était la liasse de papiers que Galois a laissés la veille de sa mort. 

Voilà ce que dit Liouville (Il écrit en note: C‘est surtout à la connaissance de l’expression transcendante des racines des équations à résoudre, (expression que Galois obtient d’abord par la considération des deux périodes de fonctions elliptiques), qu’Abel doit d’avoir réussi dans la recherche de leur expression purement algébrique) dans la séance du 4 septembre 1843, donc plus de dix ans après:

« A la suite d’une discussion où l’on a tant parlé d’équations algébriques, j’espère intéresser l’Académie en lui annonçant que dans les papiers d’Evariste Galois, j’ai trouvé une solution aussi exacte que profonde de ce beau problème: Etant donnée une équation irréductible de degré premier, décider si elle est non résoluble à l’aide de radicaux. Le mémoire de Galois est rédigé peut-être de manière un peu trop concise. Je me propose de le compléter par un commentaire qui ne laissera, je crois, aucun doute sur la réalité de la belle découverte de notre ingénieux et infortuné compatriote. » Mais, en fait, il a fallu attendre deux ans après cette séance de l’Académie du 4 septembre 1843, pour que les papiers de Galois soient publiés par Liouville dans ce qui s’appelle « le journal de Liouville » et ces papiers ont eu une influence considérable.

Nous terminons ici la partie historique de l’article à propos de Galois et de la théorie de l’ambiguïté. Dans la prochain article, j’essayerai de parler de la partie mathématique de la conférence d’Alain Connes pour voir en Galois le précurseur qui a eu l’intuition mathématique qui a permis avec la théorie des groupes et la féconde notion de symétrie de percer le secret de du monde subatomique, même si l’incompatibilité (actuelle) entre la physique quantique qui décrit l’infiniment petit et la Relativité, qui décrit l’infiniment grand n’est pas encore résolue.

A propos de Galois:

http://johan.mathieu.free.fr/maths/doc_maths/ (biographies/biographies_de_88_mathematiciens_celebres.pdfBiographies de mathématiciens célèbres Compilation de textes tirés de www.bibmath.net fr.wikipedia.org www-history.mcs.st-andrews.ac.uk et sites Internet divers)

http://www.alainconnes.org/docs/slidesgaloisacadfinal.pdf (alain connes evariste galois et la théorie de l ambiguïté)

http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups11-01.pdf (Idées galoisiennes)

http://repmus.ircam.fr/_media/mamux/ecole-mathematique/yves-andre/ch3galois.pdf (Symétries I. Idées galoisiennes)

http://www.academie-sciences.fr/archivage_site/academie/membre/s130606_ramis.pdf (Séance solennelle de l’Académie des sciences / 13 juin 2006 Réception des Membres élus en 2005 La théorie de l’ambiguïté : de Galois aux systèmes dynamiques Jean-Pierre Ramis) https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois (Evariste Galois)


https://www.bibnum.education.fr/mathematiques/algebre/memoire-sur-les-conditions-de-resolubilite-des-equations-par-radicaux (Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux)

http://les.mathematiques.free.fr/pdf/gal9.pdf (Résolubilité par radicaux)

http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups11-01.pdf Idées galoisiennes)

https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Galois_-_Manuscrits,_%C3%A9dition_Tannery,_1908.djvu/76  (Page:Galois – Manuscrits, édition Tannery, 1908.djvu/76)

https://fr.wikisource.org/wiki/Papiers_et_%C3%A9crits_math%C3%A9matiques (Evariste Galois: papiers et écrits mathématiques)

http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1971_num_24_2_3196 (Sur les relations scientifiques d’Augustin Cauchy et d’Evariste Galois)

http://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1968_num_21_2_2554 (Sur la mort de Evariste Galois

http://xavier.hubaut.info/coursmath/bio/galois.htm (dans Mathématiques du secondaire: En 1829 il publia son premier article sur les fractions continues suivi d’une démonstration prouvant l’impossibilité de résoudre l’équation générale du cinquième degré par radicaux. Cela conduisit à la théorie de Galois, une branche des mathématiques traitant de la résolution des équations algébriques. Célèbre pour sa contribution à la théorie des groupes, il découvrit une méthode déterminant quand une équation pouvait être résolue par radicaux. Cette théorie apportait ainsi une réponse à des problèmes fort anciens tels que la trisection de l’angle et la duplication du cube. Il introduisit le mot « groupe » en considérant le groupe de permutations des racines d’une équation. C’est la théorie de groupes qui rendit possible la synthèse de la géométrie et de l’algèbre. En 1830 il résolut f(x)=0f(x)=0 (mod pp), avec f(x)f(x) polynôme irréductible, en introduisant le symbole jj pour une des solutions de l’équation; cela conduisit aux corps de Galois GF(p)GF(p). L’oeuvre de Galois apporta une contribution importante à la transition entre l’algèbre classique et moderne)

http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1971_num_24_2_3196 (Sur les relations scientifiques d’Augustin Cauchy et d’Evariste Galois)

http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/vie-galois/biographie/ (Bicentenaire: biographie de galois)

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Galois.html (La théorie de Galois est basée sur l’étude des groupes de substitutions (plutôt appelées aujourd’hui permutations, le terme substitution persiste pour les ensembles finis) entamée parCauchy. Son but était d’apporter une réponse définitive au problème de la résolution des équations algébriques par radicaux sur lequel les plus grands mathématiciens se heurtaient jusqu’alors malgré l’avancée spectaculaire d’Abel sur le sujet. Une équation algébrique dont le degré est premier est résoluble par radicaux si et seulement si chacune de ses racines peut s’écrire comme fonction rationnelle de deux autres. Galois introduisit la notion de sous-groupe distingué : un sous-groupe H d’un groupe (G,*) est ainsi dénommé si pour tout x de G et pour tout h de H, le produit x*h*x-1 est élément de H. Noter que si G est commutatif (groupe abélien), alors tout sous-groupe de G est distingué dans G. Galois prouve alors élégamment l’impossibilité de résoudre par radicaux les équations de degré supérieur ou égal à 5 (hormis bien évidemment les cas triviaux), complétant ainsi les travaux d’Abel)

http://www2.ac-lyon.fr/etab/lycees/lyc-42/fauriel/IMG/pdf/bio-galoispd0397.pdf  (« J’ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans » Évariste Galois (1811-1832)

http://www.archivesdefrance.culture.gouv.fr/action-culturelle/celebrations-nationales/recueil-2011/sciences-et-techniques/evariste-galois

http://images.math.cnrs.fr/Evariste-Galois-enfance-d-un-genie.html#menu evariste galois: enfance d’un génie malheureux

http://www.futura-sciences.com/magazines/mathematiques/infos/actu/d/mathematiques-evariste-galois-genie-mathematiques-mort-20-ans-34217/ Évariste Galois : le génie des mathématiques mort à 20 ans

https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Galois_-_Manuscrits,_%C3%A9dition_Tannery,_1908.djvu/76  (Page:Galois – Manuscrits, édition Tannery, 1908.djvu/76)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois (Théorie de Galois)

http://alain.pichereau.pagesperso-orange.fr/equation7.html (Equations résolubles par radicaux ou théorie de Galois)

https://www.math.univ-paris13.fr/~boyer/enseignement/arith-p13/cours.pdf (De l’arithmétique à la théorie des nombres par Boyer Pascal)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois_%C3%A0_l%27origine (la théorie de Galois à l’origine est fondé sur l’étude des « substitutions » des racines des polynômes appelées aujourd’hui permutations. Les permutations possibles sur une équation algébrique forment des groupes de permutations ; et en fait la notion abstraite de groupe fut introduite par Évariste Galois dans l’intention de décrire les permutations des racines)

https://webusers.imj-prg.fr/~jan.nekovar/co/ln/gal/g.pdf (INTRODUCTION A LA TH EORIE DE GALOIS ET LA GEOMETRIE ALGEBRIQUE, THEORIE DE GALOIS)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois ( la théorie de Galois est l’étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d’une correspondance avec des groupes de transformations sur ces extensions, les groupes de Galois) 

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois (Groupe de galois)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie_(physique) (La symétrie en physique)

http://poesieetautres.unblog.fr/2015/03/02/peut-on-savoir-quelles-sont-les-limites-de-la-connaissance-scientifique/  (Peut on savoir quelles sont les limites de la connaissance scientifique?)

http://www.abelprize.no/nedlastning/verker/abel_festskrift_fransk/abel_memorial_12_kap9_les_etudes_opt.pdf

Mathématiciens et scientifiques:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson (siméon denis poisson)

http://www.alainconnes.org/fr/ (Alain Connes, le site)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Pierre_Ramis (Jean-Pierre Ramis, Ses travaux concernent les systèmes dynamiques des fonctions du champ complexe, discrets (équations aux différences et q-différences) et continus (équations différentielles), notamment les notions d’intégrabilité (théorie de Morales-Ramis) et la théorie de Galois différentielle)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel (Niels Henrik Abel, né le 5 août 1802 à Frindoë près de Stavanger et mort le 6 avril 1829 à Froland près d’Arendal, est un mathématicien norvégien. Il est connu pour ses travaux en analyse mathématique sur la semi-convergence des séries numériques, des suites et séries de fonctions, les critères de convergence d’intégrale généralisée, sur la notion d’intégrale elliptique ; et en algèbre, sur la résolution des équations.)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Galil%C3%A9e_(savant) (galilée)

http://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1965_num_18_2_2414 (la méthode scientifique de galilée)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton (Newton)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein (Albert Einstein)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein (Felix Klein)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy (ll fut l’un des mathématiciens les plus prolifiques de tous les temps, quoique devancé par Leonhard Euler, Paul Erdős etArthur Cayley avec près de 800 parutions et sept ouvrages ; sa recherche couvre l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque. On lui doit notamment en analyse l’introduction des fonctions holomorphes et des critères de convergence dessuites et des séries entières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques)

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Fourier.html (Jean Baptiste Joseph Fourier est un mathématicien et physicien français né le 21 mars 1768 à Auxerre et mort le16 mai 1830 à Paris. Il est connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriquesconvergentes appelées séries de Fourier et leur application au problème de la propagation de la chaleur )

https://fr.wikipedia.org/wiki/Charles_Gustave_Jacob_Jacobi Charles Gustave Jacob Jacobi)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre (Adrien-Marie Legendre)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Bernt_Michael_Holmboe (Bernt Michael Holmboe, né le 23 mars 1795 à Vang et mort le 28 mars 1850 à Christiania (aujourd’hui Oslo)1, est un mathématicien norvégien)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Louis_Poinsot (Louis Poinsot (3 janvier 1777 à Clermont-en-Beauvaisis15 décembre 1859 à Paris) est un mathématicien français connu pour ses contributions à la mécanique rationnelle)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Gaspard_de_Prony (Gaspard Clair François Marie Riche, baron de Prony1, né à Chamelet (Rhône) le 22 juillet 1755 et mort à Asnières-sur-Seine le 29 juillet 1839, est un ingénieur, hydraulicien et encyclopédiste français)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Navier (Claude Louis Marie Henri Navier: ingénieur, mathématicien, économiste)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson (Siméon Denis Poisson (21 juin 1781 à Pithiviers – 25 avril 1840 à Sceaux) est un mathématicien, géomètre et physicienfrançais)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Taton (René Taton, historien des sciences)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Auguste_Chevalier (Auguste Jean Baptiste Chevalier, un ami très proche de Galois, né le 23 juin 1873 à Domfront et mort dans la nuit du 3 au 4 juin 1956 à Paris, est un biologiste et botaniste français)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Victor_Cousin (Victor Cousin est un philosophe et homme politique français, né à Paris le 28 novembre 1792 et mort à Cannes (Alpes-Maritimes) le 14 janvier 1867Philosophe spiritualiste, chef de l’école éclectique)

https://fr.wikipedia.org/wiki/August_Leopold_Crelle (August_Leopold_Crelle)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville (Joseph Liouville)

Théorème de Noether symétries et conservations

https://fr.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether (Emmy Noether)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(physique) (Théorème de noether)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(math%C3%A9matiques) (Théorème de Noether -mathématiques)

http://www.entropologie.fr/2014/08/principe-d-incertitude-et-theoreme-de-noether.html (Principe d’incertitude et théorème de Noether L’objet se constitue scientifiquement en s’émancipant de l’Observateur. Il y a une sorte d’effet miroir entre le Sujet et l’Objet)

http://www-cosmosaf.iap.fr/Noether_et_le_Lagrangien.htm (Relation entre le théorème de noether et le lagrangien)

http://webinet.blogspot.fr/2009/09/le-theoreme-de-noether-couteau-suisse.html (Le théorème de noether, couteau suisse de la physique)

http://geometrie-differentielle-par-le-calcul.com/file/19-chap16-th-de-noether.pdf (Le théorème de noether et les champs de jauge)

http://www.fuw.edu.pl/~amt/CdeF63.pdf (Propriétés d’invariance des théories physiques)

http://math.univ-lyon1.fr/~benzoni/expose-Noether.pdf (Symétries et lois de conservation ou le premier théorème de Noether)

Symétries dans la nature:

http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/10cpt/introduction.html (feymnan.ulaval.ca: les symétries discrètes, les symétries fondamentales C P T, la symétrie CP, la symétrie CPT)

http://lpsc.in2p3.fr/atlas/cours/PCT.pdf (Symétries discrètes P C T Règles de sélection)

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futura-sciences.com -Un test de la gravitation quantique à boucles et des supercordes avec Fermi

blogs  Groupes quantiques.

introduction aux groupes quantiques.

INTRODUCTION AUX GROUPES QUANTIQUES par Julien Bichon

groupe quantique localement compact type III

groupes quantiques techniques galoisiennes et d’intégration

le groupe quantique compact libre 1

groupes quantiques séminaire bourbaki

Alain connes: une autre vision de l’espace

groupes quantiques forum mathématiques.net

groiupes quantiques localement compacts exemples et coactions.

Théorie_quantique_des_champs

interactions fondamentales et théorie quantique des champs

Mes cours feynman.ulaval.ca

Electro-dynamique quantique:

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Physique quantique et intrication



Physique quantique et intrication

Je ne peux décidément quitter les mystères de la physique quantique et une vidéo vient d’attirer mon attention: « Au coeur de la mécanique quantique: un nouvel éclairage sur la lumière des atomes« . Il s’agit d’une conférence dans le cadre des rencontres de l’Irfu (Institut de Recherche sur les lois Fondamentales de l’Univers) du 13/02/2013 par le professeur Alain Aspect (lauréat du prix Albert Einstein 2012, membre de l’Académie des Sciences) et Etienne Klein, chercheur au centre CEA de Saclay, chef du LARSIM (Laboratoire des Recherches sur les Sciences de la Matière).

Depuis que j’ai découvert le phénomène de l’intrication quantique, j’ai éte fascineé par ce mystère mis en évidence par une science pourtant rationaliste, mais qui accepte ces phénomènes proches du magique, voire de l’irrationnel. Je revois avec plaisir les explications d’Alain Aspect et je me demande si on a pris la mesure de cet aspect de la science. Aspect insiste sur la profondeur de la pensée d’Einstein dont l’argumentation a peut-être permis la découverte de ces phenomènes qu’il avait du mal à accepter au nom de la rigueur de la pensée scientifique qui ne doit pas être irrationnelle. Un article de « halshs.archives-ouvertes.fr » complète la réflexion sur ces phénomènes d’intrication: « halshs.archives-ouvertes.fr -Albert Einstein, David Bohm et Louis de Broglie sur les ‘variables cachées’ de la mécanique quantique par Michel Paty*«  

Je complèterai mon article au fur et à mesure de mes réflexions nouvelles et des commentaires que je recevrai afin qu’il serve de support l’amélioration de ma réflexions et de mes connaissances sur ce sujet.

(La Pensée (Paris), n°292, mars-avril 1993, 93-116.)

Albert Einstein, David Bohm et Louis de Broglie sur les ‘variables cachées’ de la mécanique quantique

par Michel Paty*

à David Bohm, in memoriam

* Equipe REHSEIS, CNRS et Université Paris 7, 2 place Jussieu, 75251 Paris-Cedex 05.


Résumé.
Les partisans des ‘variables cachées’ pour compléter la mécanique quantique d’une manière déterministe se sont appuyés sur les objections d’Einstein, et l’on a souvent cru que telle était aussi la position de ce dernier. On montre, par l’étude des travaux de David Bohm et de Louis de Broglie sur cette question et par l’examen de la correspondance échangée entre eux et Einstein, que ce dernier ne partageait pas le programme des ‘variables cachées’, ce qui confirme l’analyse de ses conceptions propres que nous avons effectuée par ailleurs.

Abstract
The positions of the proponents of ‘hidden variables’ to complete quatum mechanics in a deterministic way have often been identified to Einstein’s one. We show, from the study of David Bohm’s and de Louis de Broglie’s works on hidden variables and from the reactions of Einstein through the correspondence he exchanged with them, that Einstein did not share the deterministic programme of hidden variables. This confirms what we previously could infer from the direct analysis if his own conceptions.

1. Einstein et l’interprétation de la mécanique quantique.

Einstein, qui avait largement contribué à la naissance et au développement de la physique des quanta, formula, comme on le sait, des critiques à l’encontre de la mécanique quantique telle qu’elle fut interprétée, à partir de 1927, par Niels Bohr et l’Ecole de Copenhague. La nouvelle théorie se présentait sous un formalisme élaboré, dont l’interprétation physique n’était pas évidente: l’Ecole de Copenhague-Göttingen en fournissait une où les considérations physiques étaient directement rapportées à des conceptions générales sur la connaissance, dont la ‘philosophie de la complémentarité’ de Niels Bohr exprime les tendances essentielles. En critiquant cet ensemble alors indissociable que constitua longtemps la mécanique quantique et son interprétation non seulement physique, mais aussi philosophique, Einstein s’interroge avant tout sur le caractère fondamental ou non de la théorie, en se montrant soucieux de préserver la nécessaire autonomie de l’interprétation physique, tout en réclamant de la théorie physique qu’elle satisfasse certaines exigences, de nature théorique et méta-théorique.

L’importance du caractère ‘fondamental’ a directement à voir avec ses travaux dans la direction de la théorie du champ, inaugurés par sa théorie de la Relativité générale. La physique, pour lui, a atteint un stade où elle ne peut se contenter d’être une simple ‘phénoménologie’; elle doit, d’une manière ou d’une autre, intégrer les leçons de la Relativité générale. Il sait bien – par son propre travail dans ce domaine – que les phénomènes quantiques relèvent présentement d’une approche différente de celle en termes de champ défini sur le continuum spatio-temporel, et ses considérations sur la mécanique quantique s’en tiennent à la spécificité de cette dernière. Mais, dans la mesure où elle est présentée par ses promoteurs comme une théorie fondamentale, et même définitive et complète, c’est par rapport à cette prétention qu’il l’interroge, d’autant plus qu’il faudra bien, un jour, raccorder dans une unité plus haute la théorie de la matière élémentaire et celle de la gravitation: par-delà ses critiques immédiates, c’est à un tel programme qu’il songe constamment. Il n’impose pas, pour autant, à la mécanique quantique les exigences qu’il formule pour une théorie du champ: il se demande seulement si elle peut servir de base pour aller plus loin.

Faisant appel à des ‘expériences de pensée’, dont l’analyse permet de mettre à l’épreuve la cohérence logique des concepts et de la structure théorique qui les incorpore, il développe, au long des années, des considérations et des critères qui permettent de se prononcer sur la nature de ces concepts et des propositions théoriques. Parmi les exigences méta-théoriques ou épistémologiques qui sous-tendent son raisonnement, et autour desquelles celui-ci paraît s’organiser et se structurer, on trouve les catégories ou les notions de réalité, d’observation, de déterminisme, de caractère statistique des réprésentations, de théorie complète. Ces notions tiennent par ailleurs une place centrale dans sa pensée, par-delà le seul cas de la mécanique quantique.

Leur examen, à travers les textes d’Einstein sur la mécanique quantique, montre qu’elles se présentent dans un certain ordre de priorité, dont nous retiendrons surtout ici que le réalisme est strictement requis tandis que la question du déterminisme n’est que subséquente.

Le problème de la réalité physique se propose en premier lieu: il est inséparablement problème de la nature de cette réalité et problème de sa représentation. Pour les physiciens quantiques ‘orthodoxes’, il se confond avec la question de l’observation et de la mesure. Einstein veut montrer, au contraire, que la réalité physique peut être pensée, et donc décrite, indépendamment de l’acte de mesure. Lorsqu’il écrit à Michele Besso, en 1949, à propos de son article « Réponse aux critiques », qu’il y « défend le bon Dieu contre l’idée d’un prétendu jeu de dés continuel », il souligne que c’est « le bon Dieu », autrement dit, bien sûr, le Réel ou la réalité5, qui est au centre de ses remarques sur l’interprétation de la mécanique quantique, remarques qui constituent la part la plus importante de ce texte. Quant au « jeu de dés », ce n’est qu’un raccourci, frappant, mais qui renvoie à une argumentation plus complexe qu’une exigence immédiate de déterminisme ou un refus des probabilités. L’image de Dieu qui ne joue pas aux dés, qu’il a souvent reprise et qui a généralement été interprétée de manière simpliste, résume, en fait, l’ensemble des aspects, mêlés, de l’interprétation, de l’aspect statistique à l’effet de l’observation et de la mesure, et au problème de la description de systèmes physiques individuels.

C’est donc, avant tout, en référence à la réalité physique que se pose le problème de la description théorique. La formulation de l’exigence de complétude théorique et sa définition constitue le deuxième temps dans la logique du raisonnement d’Einstein. La complétude théorique vient assurer, précisément, dans l’architecture de son argumentation sur la mécanique quantique, l’exacte adéquation de la représentation théorique à la réalité. Elle exprime la nécessité pour la théorie de rendre compte de tous les éléments de réalité qu’il est possible de caractériser par la pensée. A un élément caractérisé de la réalité doit correspondre une grandeur théorique définie dans une théorie complète.

Le troisième temps est consacré à la recherche d’un moyen de caractériser un système physique réel indépendamment du fait qu’on l’observe ou non: la notion de corrélation de deux sous-systèmes fournit ce moyen, dont Einstein exprime l’essence en énonçant un principe de localité ou séparabilité locale, concept physique qu’il développe dans ce contexte comme l’un des critères limitant à ses yeux les choix possibles dans l’interprétation d’une théorie, c’est-à-dire de ses concepts fondamentaux. Le déterminisme n’intervient qu’ensuite: ce n’est pas lui qui est revendiqué en premier lieu pour caractériser la complétude; l’ordre des raisons est inverse: l’incomplétude étant acquise pour des raisons rattachées à l’intervention des catégories et concepts qui précèdent, l’absence de déterminisme s’ensuit. En effet, le non-respect du principe de séparabilité locale par la fonction Ψ qui décrit les systèmes quantiques, est la preuve, selon l’argumentation d’Einstein, que cette fonction ne peut pas fournir la description d’un système individuel.

La conclusion est que la mécanique quantique est une théorie statistique sur des ensembles de sytèmes: c’est à ce stade seulement, et non d’emblée a priori, ou à quelque moment précédent, que la question du déterminisme, vis-à-vis d’une représentation seulement statistique, se voit posée. A cet égard, ainsi d’ailleurs que par rapport à l’idée de causalité – avec laquelle on la confond souvent, bien que les deux, déterminisme et causalité, diffèrent -, la revendication d’Einstein est beaucoup moins absolue qu’on ne l’imagine communément, et elle est en tout cas nuancée: il faut, décidément, entendre ce qu’il veut dire quand il affirme que Dieu « ne joue pas aux dés ».

2. Les paramètres cachés pour restaurer la causalité et la localité. diversité d’opinions sur la position d’Einstein.

Le problème de la réalité physique et de l’observation constitue l’enjeu fondamental du débat entre Einstein d’un coté, Niels Bohr, Max Born et l’‘école orthodoxe’ de l’autre. La mise en évidence du concept de non séparabilité locale s’est imposée, à la lumière des dévelopements ultérieurs, comme le résultat le plus tangible de ce débat du point de vue physique: dans les conditions de la physique quantique, la réalité physique est ‘non séparable localement’, et la mécanique quantique rend bien compte de cette propriété.

Ce n’est qu’assez récemment que l’attention a été attirée sur ce concept, à la faveur du résultat théorique important que constitue le théorème de Bell ainsi que des expériences de ‘corrélation à distance’ effectuées sur des systèmes quantiques voisins de celui imaginé dans l’expérience de pensée ‘EPR’. Jusqu’alors, la question de la non-séparabilité et de la non-localité avait été occultée par celle de l’indéterminisme, à quoi semblait se ramener, aux yeux de la plupart, le débat sur l’interprétation de la mécanique quantique.

Mais la revendication d’Einstein concernant la réalité des systèmes physiques séparables localement ne doit pas être confondue avec les tentatives effectuées par ailleurs en vue de restaurer le déterminisme et la causalité. La nature probabiliste de la mécanique quantique semble impliquer que c’est seulement à partir de données statistiques que l’on peut reconstituer les propriétés de systèmes individuels; cette situation est inverse de celle de la physique classique, où les comportements d’ensembles statistiques sont au contraire déduits des comportements individuels, comme l’ont remarqué aussi bien Einstein que des partisans de l’interprétation orthodoxe, en matière de constatation d’un état de fait.

C’est précisément dans la perspective de revenir à une situation plus traditionnelle à cet égard, et de restaurer, dans le domaine quantique, un déterminisme et une causalité au sens classique, en considérant la possibilité de décrire les systèmes physiques d’une façon qui ne soit pas seulement probabiliste, que les ‘théories à variables cachées’ ont été proposées par divers auteurs comme alternatives à la mécanique quantique.

Selon cette approche, il convient d’ajouter, aux variables décrivant les systèmes quantiques, des paramètres supplémentaires qui complèteraient la description dans le sens d’un déterminisme strict (tout en préservant les relations de la mécanique quantique, qui seraient retrouvées à la limite des distributions moyennes de ces variables ou paramètres). Tel était le sens des théories de l’‘onde-pilote’ et de la ‘double solution’ proposées par Louis de Broglie déjà en 1926-1927, et des modèles variés qui furent élaborés ensuite. Les partisans de ces modèles revendiquaient la nécessité de compléter la théorie quantique en retrouvant le déterminisme et se recommandaient généralement des arguments d’incomplétude d’Einstein (dont l’idée, nous l’avons vu, était sensiblement différente). La question restait posée de savoir si ce déterminisme causal était ou non compatible avec la mécanique quantique: si oui, cette dernière serait une théorie statistique fournissant des moyennes sur des processus sous-jacents plus fins. Cette question s’est vue périodiquement reprise, depuis la preuve d’‘incompatibilité’ de von Neumann, qui s’avéra n’être, en fait, que relative à une classe restreinte de telles variables, jusqu’aux résultats de Bell selon lesquels c’est, en réalité, la classe entière des variables supplémentaires cachées ‘locales’ qui est incompatible avec la mécanique quantique. C’est ainsi que Bell fut amené à redécouvrir l’importance de la non-séparabilité locale, quelque peu occultée dans le débat sur le caractère complet ou non de la mécanique quantique qui avait glissé, pour bien des protagonistes, à un débat sur l’indéterminisme.

Il est vrai que le modèle de de Broglie de 1926-1927 et la preuve de von Neumann de 1932 furent élaborés avant l’argument ‘EPR’. Mais les partisans de l’approche en termes de variables cachées déterministes virent dans l’argument ‘EPR’ un appui à leurs thèses. Ils prenaient toutefois comme point de départ ce que l’argument ‘EPR’ donnait pour conclusion (la mécanique quantique décrit des ensembles de systèmes), sans se poser généralement le problème, essentiel dans l’argument, de la séparabilité et de la localité. Aux yeux de la plupart, la restauration du déterminisme rétablirait du même coup la localité (alors que, nous le savons désormais, les deux problèmes sont distincts). Remarquons que la position de David Bohm était sensiblement différente: il voulait rétablir le dterminisme, mais non la localité, puisque les modèles dont il fait état sont non locaux, comme le remarquera John Bell.

On remarquera, avec ce dernier, une faiblesse de la terminologie: plutôt que de ‘variables cachées’, il serait préférable de parler de ‘variables incontrôlées’, dans la mesure où l’on ne peut, par hypothèse, en dire, en l’état actuel, davantage sur elles. Le terme ‘variables cachées’ pourrait laisser entendre qu’il s’agit d’une affaire de goût, et le physicien pragmatique n’en aurait cure, car, dirait-il, « pourquoi se préoccuper d’entités cachées qui n’ont d’effet sur rien? ». Sous-entendu, pour Bell, si ces variables ont un sens physique, elles sont susceptibles de se manifester par un effet (effet que nous ne connaissons pas encore), et de prendre une certaine valeur, de la même façon qu’un particule, par exemple, se manifeste par la scintillation qui résulte de son impact sur un écran en une position donnée.

On a souvent voulu voir en Einstein un partisan de cette solution, en raison de son attitude critique à l’égard de la mécanique quantique et de son refus d’un « jeu de dés fondamental », qui ont indéniablement joué un grand rôle dans la motivation de ces théories. Louis de Broglie, par exemple, tout en se rendant bien compte qu’Einstein se proposait pour les quanta un programme différent du sien, se sentit encouragé par l’attitude critique de ce dernier sur l’incomplétude et la description statistique dans son retour, en 1952, à la direction première (causale et déterministe) de ses recherches, ébauchées dès 1926, et qu’il avait abandonnées ensuite pour adopter la conception ‘orthodoxe’. Il nous reste donc à voir ce qu’il en est. Mais il est utile d’évoquer, en commençant, les opinions différentes sur ce sujet.

Max Born fait cette assimilation de la position d’Einstein à une recherche de variables cachées déterministes. « Il attendait », écrit-il, « la mise sur pied d’une théorie plus exacte qui supprimerait cette incomplétude. Son espoir ne s’est pas encore réalisé, et les physiciens ont de bonnes raisons (qui reposent principalement sur les travaux de von Neumann […]) de croire que c’est impossible ». La référence au théorème de von Neumann sur l’incompatibilité de la mécanique quantique et de variables cachées déterministes indique bien que Max Born identifie ces dernières et la voie recherchée par Einstein. Son commentaire à une lettre ultérieure de ce dernier exprime la même opinion. Bien qu’Einstein critiquât dans sa lettre le modèle déterministe proposé en 1952 par David Bohm, le trouvant « un peu trop facile », Born n’en continue pourtant pas moins d’estimer que la théorie de Bohm était « totalement conforme à ses propres idées » [d’Einstein].

Abraham Pais constate, de son coté, dans sa biographie Subtle is the Lord, qu’il n’a jamais trouvé le terme ‘variables cachées’ dans les écrits ou dans les lettres d’Einstein, mais il ne s’attarde pas davantage sur le problème (il se dit d’ailleurs peu familier de la question des interprétations alternatives de la mécanique quantique).

Selon Bell lui-même, dans l’article où il démontre son théorème suivant lequel de telles variables (à séparabilité locale) sont incompatibles avec les prédictions statistiques de la mécanique quantique, Einstein était partisan des variables cachées. « Le paradoxe d’Einstein, Podolsky et Rosen », écrit-il, « a été proposé comme un argument selon lequel la théorie quantique ne pouvait être une théorie complète, et des variables supplémentaires devaient lui être ajoutées. Ces variables additionnelles devaient rétablir dans la théorie la causalité et la localité ». Bell indique ailleurs que deux textes d’Einstein, ses « Notes autobiographiques » et sa « Réponse aux critiques », « suggèrent que le problème des variables cachées présente un certain intérêt ».

L’historien des sciences Max Jammer pense, quand à lui, qu’Einstein n’était pas partisan des variables cachées, et impute le crédit de l’opinion contraire au retentissement de l’article de Bell de 1964. Contestant, dans un texte sur « Einstein et les variables cachées », l’interprétation de Jammer, John Bell maintient que la position d’Einstein revient à défendre de telles variables, en se fondant sur les citations qu’il avait indiquées.. Dans la première, Einstein estime qu’il faut tenir ferme à l’hypothèse de l’indépendance de deux systèmes séparés spatialement (séparabilité locale). Dans la seconde, il compare la situation de la « théorie quantique statistique » à celle de la mécanique statistique par rapport à la mécanique classique. Pour Bell, cela signifie clairement une « adhésion à ce que l’on entend habituellement par variables cachées ». Il donne deux autres citations d’Einstein qui (jointes au titre même de l’article ‘EPR’, « La mécanique quantique est-elle une théorie complète? ») concluent à l’incomplétude de la théorie, à son caractère statistique résultant de cette incomplétude, et estiment qu’une théorie complète est possible. Bell indique également les références des lettres à Max Born dans lesquelles Einstein exprime son insatisfaction quant à l’interprétation de la mécanique quantique, et notamment son caractère statistique, récusant le « jeu de dés fondamental ».

Bell identifie donc le diagnostic d’incomplétude de la mécanique quantique (et d’insatisfaction sur son caractère statistique) porté par Einstein et le projet de la compléter avec le « programme des variables cachées »: pourtant, dans les textes qu’il mentionne, Einstein ne dit rien relativement à des variables cachées. Cette identification ne correspond pas à l’analyse que nous avons pu faire nous-même de ces textes.

Nous savons, certes, qu’Einstein nourrissait l’espoir, et peut-être le projet, de parvenir à une théorie complète des phénomènes quantiques. Mais la voie qu’il envisageait n’était pas de partir du schéma théorique existant et de lui ajouter des éléments qui manqueraient, en complétant simplement la théorie existante: il fallait, à ses yeux, la fonder sur d’autres bases (d’autres principes, plus fondamentaux, d’autres concepts, moins classiques et ‘mécaniques’). Si l’on entend par ‘variables cachées’ la perspective d’un déterminisme plus fin, fourni par une sous-structure qui serait simplement emboîtée dans la structure du niveau quantique, c’est-à-dire la perspective de garder comme point de départ les concepts classiques tels qu’ils sont employés en mécanique quantique, cette perspective n’est assurément pas la sienne.

Par contre, le programme de David Bohm dans ses premiers travaux, et celui de Louis de Broglie à partir de 1952, le premier concernant l’‘onde-pilote’, le second la ‘double solution’, allaient indéniablement dans cette direction. Einstein a maintenu avec ces deux chercheurs des relations étroites, et c’est à son témoignage direct que nous allons faire appel quant à sa position sur leurs tentatives. Comme nous allons le voir, elles ne le contentaient pas, même s’il suivait ces travaux avec une certaine sympathie, dans la mesure où ils exprimaient une insatisfaction à l’égard de la mécanique quantique dans son interprétation dominante, considérée comme théorie fondamentale et complète.

S’il ne nous paraît pas possible d’identifier le programme d’Einstein et celui des variables cachées, l’opinion contraire de Bell sur ce sujet n’en représente pas moins un élément important pour comprendre la signification profonde des développements sur la non-localité. Comme Bell l’a montré, la non-séparabilité locale est une propriété générale des systèmes quantiques, dont la démonstration n’est pas liée à l’un ou l’autre des modèles particuliers de « variables cachées » visant à restaurer le déterminisme et la localité (c’est l’ensemble des théories locales et déterministes – et d’ailleurs aussi indéterministes – qui sont contraires aux prédictions de la mécanique quantique). Cette propriété transcende, pour ainsi dire, ces modèles, et s’applique à toute théorie qui se proposerait de reproduire la mécanique quantique à titre d’approximation. Bell a obtenu son théorème, qui est ainsi un théorème général sur la non-localité, en transcrivant mathématiquement, comme il l’a lui-même indiqué, l’hypothèse de séparabilité locale d’Einstein en termes de paramètres cachés, et en comparant les prédictions ainsi obtenues à celles de la mécanique quantique considérées pour les mêmes systèmes. Les variables cachées qui interviennent dans les calculs intermédiaires disparaissent dans l’expression des grandeurs physiques finalement comparables.

Les ‘variables cachées’ au sens de Bell, telles du moins qu’il les envisage dans ses premières recherches sur la localité, ne s’identifient pas à un modèle d’un type particulier, quel qu’il soit. Elles sont simplement le moyen d’exprimer mathématiquement une propriété générale de systèmes physiques (la non-séparabilité locale) sur laquelle la mécanique quantique restait a priori muette: bien qu’elle fût inclue dans le formalisme, cette propriété aurait pu (n’eût été la démonstration du théorème) n’être qu’apparente et rester compatible avec une localité sous-jacente. On pourrait aussi bien, d’ailleurs, parler dans ce sens, pour la localité, si elle avait pu être maintenue, de ‘propriété cachée’ (ou incontrôlable, ou muette). Tel me semble du moins le sens profond de l’assimilation que fait Bell de la position d’Einstein au programme général des variables cachées: elle se justifie dans la perspective de sa propre recherche (c’est la méditation sur la localité au sens d’Einstein qui l’a amené à formuler son théorème), sinon du point de vue strictement historique. Au surplus Bell admet parfaitement que le modèle non relativiste de Bohm de 1952 était trop simpliste (ce dont Bohm convenait d’ailleurs). Lui-même considère, à vrai dire, la théorie de l’onde-pilote avec sympathie; mais ce qui le retient dans cette théorie, plutôt que son aspect de modèle causal, c’est qu’elle permet de régler un « problème de principe », qui préoccupait aussi Einstein, à savoir celui de la frontière entre la description en termes d’états quantiques et la description classique.

3. Einstein et les premiers travaux de David Bohm sur l’interprétation causale.

Peu après la publication de son livre, Quantum theory, apprécié par Einstein et Pauli et devenu un classique, David Bohm étudia la possibilité d’introduire des variables cachées en physique quantique. Dans son ouvrage, qui porte la marque d’une certaine influence de la philosophie de Bohr, il avait conclu à l’incompatibilité de telles variables avec la mécanique quantique, en raisonnant sur la base de l’expérience de pensée ‘EPR’; il trouvait qu’elles s’opposaient au principe d’indétermination, en requérant que des éléments simultanés de réalité correspondent à des grandeurs non-commutables. C’est « stimulé par ses discussions avec Einstein », et par d’autres critiques de l’approche de Bohr, qu’il revint sur la question. Son point de départ est une critique particulière de l’interprétation de la mécanique quantique, à savoir le caractère invérifiable de la prétention de cette dernière à être la description la plus complète d’un système individuel (Bohm greffe, en quelque sorte, un aspect de l’objection d’Einstein sur une perspective encore marquée d’observationalisme).

Il propose alors de compléter la théorie en donnant une forme plus explicite à la fonction d’onde, ce qui revient en fait à supposer que chaque particule de l’ensemble décrit par la fonction Ψ possède une position, x (qui constitue de fait la variable cachée), et une impulsion, mv, donc une trajectoire définie, qui est connue dès lors que l’état initial est donné. Au potentiel classique s’ajoute un potentiel quantique, fonction de la position, qui exerce une force réelle et s’avère être la source du mouvement non classique des particules. Les prédictions de la théorie retrouvent celles de la mécanique quantique, la différence résidant seulement dans l’interprétation de Ψ supposée représenter un champ réel (la variable décrivant la trajectoire demeure cachée dans la mesure où il n’est pas possible de connaître la position initiale). 


Pour l’essentiel, la théorie de David Bohm est analogue à celle de l’onde-pilote proposée par Louis de Broglie au Conseil Solvay de 1927, et réfutée alors par Pauli. Bohm la compléta par une théorie de la mesure, dans laquelle la variable cachée dépend en même temps du système et de l’appareil de mesure, l’interaction des deux induisant des fluctuations instantanées du potentiel quantique sur tout le système (mais il s’agit d’un processus sans échange d’information, qui ne viole donc pas le principe de relativité). Il rendait compte de la sorte de l’expérience de pensée ‘EPR’: la suppression du paradoxe réside, à vrai dire, en ceci que l’explication proposée équivaut à une traduction de la non-séparabilité (avec cet avantage de l’affranchir de la difficulté de la réduction de la fonction d’onde).

Contrairement à l’attente de Bohm, Einstein ne manifesta pas un grand enthousiasme pour sa proposition. « J’ai le sentiment », lui écrit Bohm, « que vous ne voulez pas accepter ce point de vue, pour la raison que vous le regardez comme non plausible ». Et d’exposer à son correspondant qu’à ses yeux la plausibilité est un sentiment subjectif et que les seuls critères d’acceptabilité ou de rejet d’une théorie sont sa cohérence interne, son accord avec les faits connus, sa capacité à fournir une description objective de la réalité qui soit complète et précise. Un peu plus tard, Bohm fait état de ce que « Pauli a admis la consistance logique » de sa propre interprétation, mais qu' »il continue d’en rejeter la philosophie » en disant « qu’il ne croit pas en une théorie qui puisse même nous permettre de concevoir une distinction entre le cerveau de l’observateur et le reste du monde ». (Autrement dit, Pauli rejette toute idée de l’observation et de la mesure qui ne soit pas strictement conforme à l’interprétation observationaliste orthodoxe).

Tout en appréciant vivement l’indépendance de jugement du jeune physicien, Einstein n’est pas disposé à le suivre: sans doute parce que, à ses yeux, sa théorie en reste au cadre des concepts de la mécanique quantique, quand il faudrait les dépasser. Exprimant à Max Born le sentiment que la tentative de David Bohm « d’interpréter la théorie quantique dans un sens déterministe » lui « semble un peu trop facile », Einstein ajoute: « mais tu es évidemment mieux placé pour en juger ». Si Born lui semble mieux placé pour en juger, c’est bien que, pour lui, la théorie de Bohm (tout comme celle de Louis de Broglie de 1927) n’est qu’une simple variante de la mécanique quantique, et elle en partage le caractère ‘empirique’.

Dans son texte de 1953 offert en hommage à Max Born, Einstein exprime son insatisfaction de la voie proposée par Bohm, retrouvant l’une des critiques de Pauli à l’onde pilote de de Broglie (la vitesse qui résulte des équations devrait être nulle, et l’on ne retrouve pas le mouvement classique à la limite macroscopique), et concluant que « la seule interprétation de l’équation de Schrödinger admissible jusqu’à présent est l’interprétation statistique donnée par Born ». Bohm fait valoir, au contraire, que l’interprétation causale proposée par de Broglie (en 1927) et par lui-même permet de retrouver le cas macroscopique comme cas limite, et que c’est l’interprétation probabiliste de Born qui se trouve en défaut sur ce point. Il revient à la charge, comprenant que c’est la direction de pensée, plus que le détail de l’argumentation, qu’Einstein n’aime pas: « Mais vous n’avez pas prouvé que ce modèle est inconséquent, parce qu’il s’accorde avec tous les faits que nous connaissons actuellement », et « d’une manière générale je ne requerrais pas votre principe [de simplicité logique] pour rejeter une théorie ». Si la protestation de Bohm sur ce dernier point est légitime, elle n’en éclaire pas moins la différence entre son point de vue et celui d’Einstein: le problème de ce dernier n’était pas de formuler un modèle théorique valide, mais une théorie entendue dans un sens fondamental, et c’est en pensant à une telle théorie qu’il invoquait le critère de simplicité logique.

L’appréciation exacte d’Einstein sur les conceptions de David Bohm à cette époque et sur la voie déterministe et causale, nous la trouvons dans une lettre qu’il adressa à Aron Kuppermann en 1953. « Le Dr Bohm », écrit-il, « a redécouvert une idée de de Broglie vieille de trente ans et, avec une grande pénétration, l’a élargie et approfondie. Le but est d’obtenir la description du système individuel au lieu de l’ensemble auquel appartient le système ». Pour Einstein, selon ce qu’il expose à son correspondant, il n’y a pas d’objection à faire, « d’un point de vue purement logique », à cette « interprétation du formalisme de l’actuelle théorie quantique ». Mais elle lui semble cependant inacceptable « d’un point de vue physique » (à savoir le fait que, selon lui, la théorie de Bohm ne retrouve pas le cas classique comme limite). Et il conclut ainsi son commentaire: « Je pense qu’il n’est pas possible de se débarrasser du caractère statistique de la théorie quantique actuelle en ajoutant simplement quelque chose à cette théorie sans changer les concepts fondamentaux relatifs à la structure tout entière. Le principe de superposition et l’interprétation statistique sont inséparablement liés entre eux. Si l’on pense qu’il faut éviter l’interprétation statistique et la remplacer, il semble que l’on ne puisse pas conserver une équation de Schrödinger linéaire, qui implique, par sa linéarité, le principe de superposition des ‘états’ ». La remarque s’applique d’ailleurs aussi bien, par-delà le modèle en question – la théorie de l’onde-pilote dans la version de Bohm – à tous les modèles théoriques de ce genre.

La correspondance régulière que Bohm et Einstein continuèrent d’entretenir tout au long des mois suivants, jusqu’à la mort du second, nous permet de suivre la position d’Einstein en relation au développement des travaux de Bohm (en collaboration, en 1954, avec Jean-Pierre Vigier) dans la direction d’une théorie causale, cette fois relativiste. Bohm considère maintenant que la fonction Ψ exprime bien une propriété statistique de la matière, et qu’elle est une approximation statistique d’un champ plus fondamental, le rapport entre les deux étant analogue à celui du mouvement brownien aux mouvements moléculaires sous-jacents. « Ce point de vue » écrit-il, « tend à se rapprocher de votre idée selon laquelle la mécanique quantique est ‘incomplète’ ». Bohm pense, en fait, que c’est au niveau subatomique (celui des particules élémentaires) que l’on trouvera la clé des lois causales (toutefois il n’exclut pas que ce puisse être au niveau de l’unification de l’électromagnétisme et de la gravitation, c’est-à-dire dans la direction privilégiée par Einstein). Einstein l’encourage, sans se prononcer sur la voie particulière choisie par son correspondant, soulignant la difficulté de l’approche fondamentale – et rappelant incidemment le caractère « trop facile » de sa solution antérieure


A Einstein qui évoque l’éventualité d’abandonner le continuum et l’espace et le temps comme concepts fondamentaux, Bohm exprime l’idée que toutes les possibilités de description de la nature en termes de mouvements continus n’ont pas été épuisées. Il lui semble, par ailleurs, qu’il faudrait d’abord connaître les lois du microscopique, pour obtenir ensuite celles du domaine macroscopique comme approximation statistique, le chemin inverse (celui dans lequel il voit Einstein) lui paraissant douteux. « Bien sûr », précise-t-il, « il n’y a pas de raison pour que [le chemin du macroscopique au microscopique] ne marche pas; mais, tout compte fait, il semble plus vraisemblable que les lois à grande échelle impliquent un processus de moyenne qui laisse peut-être échapper des propriétés qualitatives importantes du niveau microscopique, de sorte que la clé fondamentale peut nous échapper si nous étudions seulement les lois de champ macroscopique ». La remarque en elle-même est importante du point de vue méthodologique, et met le doigt sur ce qui est sans doute une faiblesse de l’approche d’Einstein. Celui-ci, comme nous le savons, ne fait pas de séparation entre les lois du microscopique et du macroscopique et recherche un principe formel qui soit applicable aux deux, tout en laissant de coté dans cette recherche les indications (à ses yeux trop empiriques, et cependant d’une richesse considérable) de la physique du microscopique.

Mais, par ailleurs, la considération de principe énoncée par Bohm est marquée par sa propre tentative d’alors, de modéliser les phénomènes physiques en termes de niveaux emboîtés les uns dans les autres, ce qui en restreint la portée. Son point de vue est, plus explicitement encore qu’avant, celui de variables cachées, responsables cette fois d’une dynamique sous-jacente: « Sous la théorie quantique, il y a un niveau subquantique de mouvements déterminés de façon continue et causale… », la théorie quantique étant retrouvée par passage aux moyennes (à l’instar du mouvement brownien, déjà évoqué). « En d’autres termes », explique Bohm, « les événements au niveau atomique sont contingents relativement aux mouvements (généralement irréguliers) de quelque espèce d’entité encore inconnue mais qualitativement nouvelle, qui existe sous le niveau atomique. Il en résulte que les relations entre les objets qui peuvent être définis au niveau atomique seront caractérisées par les lois du hasard, puisqu’elles ne seront déterminées qu’en termes d’un genre quasi-ergodique des mouvements de nouvelles sortes d’entités qui existent au niveau inférieur ».

Cette idée d’une « hiérarchie sans fin de microstructures » ne plaît pas à Einstein: penser que la solution se trouve dans les structures sub-atomiques correspond, pour lui, à l’idée de la « grande majorité des physiciens contemporains », même s' »ils ne vont pas aussi loin » que Bohm. « Mon instinct », écrit-il à ce dernier, « ne me permet pas de suivre tout ce développement, même si c’est par une série impressionnante de découvertes empiriques que l’on y est parvenu et qu’il est testé ». Et il lui rappelle sa voie propre: « Je ne crois pas à des lois pour le microscopique ou le macroscopique, mais seulement à des lois (de structure) d’une validité rigoureuse générale. Et je crois que ces lois sont logiquement simples, et que la foi dans leur simplicité est notre meilleur guide. Dans ce cas, il ne serait pas nécessaire d’avoir pour point de départ plus qu’un nombre relativement faible de faits empiriques. Si la manière dont la nature est organisée ne correspond pas à cette croyance, alors il ne nous reste que très peu d’espoir de la comprendre plus profondément ». Mais il admet que la simplicité logique peut aussi nous tromper, si l’on ne part pas des bons concepts élémentaires: « Si, par exemple, il n’est pas exact que la réalité puisse être décrite comme un champ continu, alors tous mes efforts sont vains, même si les lois sont de la plus grande simplicité imaginable ».

Pour Einstein, l’absence de possibilité de tester empiriquement sa théorie n’est pas non plus une preuve de sa fausseté. Elle tient à la nature mathématique des équations, non linéaires, et à l’impossibilité d’obtenir des singularités: « cela montre que nos méthodes mathématiques sont insuffisantes dans leur état actuel pour aboutir à une décision ». « Je ne cherche pas à vous convaincre », indique-t-il à Bohm, « je voulais simplement vous montrer comment j’en suis venu à cette attitude. Ce qui m’a particulièrement frappé de manière très forte, c’est de m’être rendu compte qu’en utilisant une méthode semi-empirique on ne serait jamais parvenu aux équations de la gravitation pour l’espace vide. C’est seulement le point de vue de la simplicité logique qui peut nous aider ici (loi du champ relativiste la plus simple pour un champ tensoriel (symétrique) ».

4. Einstein et la direction des recherches de Louis de Broglie.
Lorsque Louis de Broglie proposa, en 1926-1927, sa théorie de la ‘double solution’ (contemporaine de l’interprétation probabiliste de Max Born), il était mené par le souci de réconcilier les quanta de lumière d’Einstein (c’est-à-dire la lumière en tant que corpuscule) et les phénomènes optiques (entendons ondulatoires) de diffraction et d’interférences. Dans sa « nouvelle optique des quanta de lumière », le corpuscule lumineux est « une sorte de singularité au sein d’une onde étendue à laquelle il est incorporé, et qui guide son mouvement parce qu’il est solidaire de cette onde », selon une description résumée qu’il en donna plus tard: il en rapporte d’ailleurs l’inspiration à Einstein, qui avait formulé, à l’aube de la dualité onde-corpuscule, une hypothèse sur le champ à points singuliers, et dont l’idée de ‘champ fantôme’ guidant la particule de lumière pourrait fort bien l’avoir influencé comme elle l’avait fait pour Born.

Mais l’onde en question ne pouvait être celle décrite par la fonction Ψ de la mécanique quantique, homogène et ne contenant pas de singularité, et dans laquelle de Broglie voyait « une onde fictive », représentation incomplète et statistique ne décrivant que des moyennes. A la solution de la mécanique quantique devait correspondre une autre solution à singularité qui représenterait le système réel (et individuel) dans son comportement spatio-temporel. Avec cette théorie, qui prolongeait son extension de la dualité onde-corpuscule aux éléments de matière, de Broglie poursuivait son programme d' »obtenir une image précise du monde microphysique réalisant une véritable synthèse permettant de comprendre clairement la coexistence des ondes et des corpuscules ». Il s’agissait, ce faisant, de préserver les caractères classiques du corpuscule, tout en réalisant son union avec l’onde, c’est-à-dire de remplacer la dualité onde ou corpuscule par une synthèse onde et corpuscule. Mais ce n’était encore qu’une ébauche de théorie, plus intuitive que rigoureuse, et dans la formulation de laquelle de Broglie se heurtait à de grandes difficultés mathématiques.

De Broglie ne présenta au Conseil Solvay de 1927 qu’une version simplifiée de la théorie de la double solution, sous la forme de sa théorie de l' »onde pilote ». C’est au sein de l’onde continue elle-même, solution de l’équation de la mécanique quantique (la fonction Ψ), qu’il place le corpuscule, en le supposant entraîné (guidé) par elle. La théorie se contente ici de constater la dualité onde-corpuscule, sans essayer de l’expliquer comme se le proposait la théorie de la double solution; sous cette « forme atténuée » de ses premières idées, elle avait « l’avantage de conserver la notion intuitive de corpuscule ponctuel bien localisé dans l’espace et de maintenir le déterminisme rigoureux de son mouvement ». Mais ce qu’elle gagnait en simplicité et en caractère intuitif (au sens de l’intuition visuelle), elle le perdait en vraisemblance. Outre l’objection que Pauli ne manqua pas de lui opposer immédiatement, de Broglie lui-même se rendit compte que l’onde de la mécanique quantique ne peut représenter concrètement le mouvement du corpuscule en accord avec la physique classique (elle est une représentation sur l’espace de configuration, non sur l’espace physique, et il critiquait d’ailleurs lui-même pour cela la conception de Schrödinger qui interprétait cette onde comme réelle). 

Pour cette raison, et d’autres, il renonça à cette direction de recherches et se rallia à la mécanique quantique orthodoxe. Mais à vrai dire, même dans ce long ralliement qui dura vingt cinq années, jusqu’en 1952, la mécanique quantique qu’il professait était encore essentiellement une théorie de la dualité onde-corpuscule, qui se satisfaisait, certes, d’une interprétation probabiliste pour une fonction d’onde à la signification physique abstraite. C’est à ces circonstances qu’Einstein fait allusion dans sa préface à la traduction anglaise du livre de de Broglie Physique et microphysique, écrivant, à propos des idées présentées dans le livre (dont l’original fut publié en 1947, donc avant le retour de de Broglie à ses idées antérieures): « Ce qui, cependant, m’a fait le plus impression, c’est la présentation sincère du combat pour parvenir à un fondement conceptuel logique de la physique, qui a finalement conduit de Broglie à la ferme conviction que tous les processus élémentaires sont de nature statistique ».

Le travail de David Bohm retrouvant l’‘onde-pilote’ fut, nous l’avons dit, l’occasion pour de Broglie de reprendre son ancien programme d’une représentation spatio-temporelle de la physique quantique, c’est-à-dire de la dualité des ondes et des corpuscules que cette dernière n’avait, pour lui, fondamentalement jamais cessé d’être. Les améliorations apportées à la théorie par Bohm (notamment l’analyse des processus de mesure) permettaient d’écarter certaines des anciennes objections de Pauli. D’autre part, Jean-Pierre Vigier venait, de son coté, d’établir un rapprochement entre la théorie de la double solution de de Broglie et un théorème d’Einstein (formulé à la même époque que la première, en 1927) sur un sujet tout différent, la Relativité générale; selon ce théorème, les particules apparaissent comme des singularités dans la métrique de l’espace-temps, pour des équations non-linéaires, ce que Vigier raccordait aux idées de Bohm. En reprenant d’Einstein le thème de la complétude, de Broglie vit, dans ce regain d’intérêt pour son ancienne théorie, la possibilité de dépasser « l’indéterminisme et l’impossibilité de représenter les réalités de l’échelle atomique d’une façon précise » (tout en admettant la validité de la mécanique quantique actuelle) en direction d' »une réalité parfaitement déterminée et descriptible dans le cadre de l’espace et du temps par des variables qui nous seraient cachées, c’est-à-dire qui échapperaient à nos déterminations expérimentales ».

Toutes les recherches ultérieures de Louis de Broglie furent dès lors orientées dans cette direction. A la théorie de la double solution, il devait plus tard adjoindre, à partir de 1960, l’idée d’une ‘thermodynamique cachée des particules’, c’est-à-dire de fluctuations de la localisation d’une particule, qui s’appuie sur l’équivalence, en thermodynamique, pour ce qui est du résultat, entre la fluctuation de position d’une particule unique localisée, et la répartition statistique d’un ensemble de particules localisées: ce qui revient à l’introduction d’un élément aléatoire dans la théorie de la double solution. En élaborant cet aspect de sa théorie, de Broglie invoquait la remarque d’Einstein, dans l’article donné par ce dernier à son volume jubilaire, faisant un parallèle entre la mécanique statistique et la loi du mouvement brownien qui ne fournissent, ni l’une ni l’autre, une base de départ pour une théorie complète.

Einstein avait suivi en leur temps les tentatives de de Broglie, comme toutes celles qui se proposaient de donner corps à la physique des quanta. Il avait même soutenu de Broglie au Conseil Solvay de 1927 et, sinon le détail de sa théorie, du moins la direction générale de sa recherche, dans la mesure où elle se portait sur ce qu’il considérait comme des difficultés réelles de la mécanique quantique. Toutefois, comme de Broglie lui-même devait en faire la remarque, si Einstein « [l]’encourageait dans la voie où [il, de Broglie, s’] était engagé », c’était « sans cependant approuver nettement [s]a tentative ». De Broglie diagnostique d’ailleurs chez Einstein une « attitude réservée, [une] sorte de timidité devant la question des quanta, qui depuis 1925 l’avait empêché de faire et même d’encourager explicitement toute tentative de solution du problème des ondes et des corpuscules ».

Dans le texte de 1953 offert en hommage à Louis de Broglie, Einstein évoque précisément les efforts de ce dernier pour « compléter la théorie ondulatoire des quanta, et chercher à donner, dans le cadre conceptuel de la mécanique classique (point matériel, énergie potentielle), une description complète de la configuration d’un système en fonction du temps – idée sur laquelle, assez récemment et sans connaître le travail de de Broglie, vient de retomber M. David Bohm (théorie de l’onde-pilote) ». Les expressions mêmes qu’il emploie montrent bien comment Einstein voit le programme de de Broglie et celui de Bohm: comme la recherche d’une complétude théorique au sens du déterminisme de la physique classique. Il indique d’ailleurs aussitôt que ce n’est pas dans ce sens-là qu’il a lui-même orienté ses recherches: « J’ai pourtant sans cesse cherché un moyen de résoudre l’énigme des quanta d’une autre manière… ».

Sa direction propre, comme nous l’avons vu, est déterminée par la conviction que le point de départ fondamental doit être différent (tel est le sens de ses considérations sur l’incomplétude): « Il m’apparaît que la théorie quantique statistique constitue aussi peu un point de départ utilisable pour l’élaboration d’une théorie plus complète que, peut-être, la théorie du mouvement brownien fondée sur la mécanique classique et la loi de la pression osmotique n’aurait pu constituer un point de départ utilisable pour la construction de la mécanique cinétique des molécules, si la théorie du mouvement brownien avait précédé celle-ci ».

La correspondance échangée entre Einstein et de Broglie en 1953 et 1954 comporte des éléments d’un vif intérêt qui confirment et complètent ce que nous savons de leurs positions respectives. Ayant proposé à de Broglie, comme il l’avait fait à Bohm, de s’associer par des contributions qui préciseraient leurs points de vue respectifs à l’ouvrage en hommage à Max Born, Einstein lui dit se réjouir d’avoir ainsi l’occasion de savoir ce que Louis de Broglie pense actuellement « des fondements de la théorique quantique », et trouver utile que son article et celui de Bohm paraissent, car, dit-il, « je sais que l’intérêt pour les questions de principe est très vif dans la nouvelle génération de physiciens ». De Broglie lui avait adressé une lettre d’acceptation par laquelle il annonçait l’envoi d’une courte note « précisant [son] point de vue actuel sur la question de l’interprétation de la Mécanique ondulatoire », et indiquait à son correspondant que son point de vue « est assez différent de celui de M. Bohm ». La théorie de Bohm lui paraît « inacceptable sous sa forme actuelle », « parce qu’elle considère l’onde Ψ comme une réalité physique »: la double solution est plus satisfaisante à ses yeux, puisque l’onde Ψ de la mécanique quantique reste fictive, l’onde u étant seule réelle (c’est elle qui porte le corpuscule); mais son existence requiert des équations non-linéaires.

Dans une lettre de mai 1953, Einstein commente la note que lui a envoyée de Broglie sur ses conceptions. Le point de vue de de Broglie est clair, dit-il en substance, il marque sa différence avec la théorie de David Bohm: « Vous ne croyez pas, si je vous comprends bien, à la possibilité d’adopter le programme de nouveau mis en avant par M. Bohm: a) solution de l’équation de Schrödinger par un champ Ψ ; b) adjonction d’une trajectoire compatible avec la fonction Ψ « . Puis il essaie de se résumer, pour lui-même, l’idée directrice de la nouvelle théorie de son correspondant (et, ce faisant, il en souligne les traits saillants): « Au lieu de cela vous proposez une représentation de la réalité physique (description complète) qui serait de la forme Ψ = Ψ.Ω Ceci constitue une forme de produit dans laquelle l’un des facteurs traduit la structure particulaire et l’autre la structure ondulatoire. Ce serait là en fait une représentation satisfaisante de la double structure que nous impose l’expérience. Ce serait une théorie vraiment nouvelle et non pas un complément des anciennes théories »

Sous la forme ramassée ainsi proposée, Einstein extrait l’essence de l’idée de Louis de Broglie, considérée par rapport à sa propre préoccupation. Elle porte d’une part sur la possibilité d’exprimer le double caractère onde-corpuscule par un champ (nous savons qu’il a, quant à lui, abordé les choses différemment, ce caractère ne pouvant pas être fondationnel à ses yeux). Elle fait état, d’autre part, de ce qu’il ne suffit pas d’apporter « un complément » aux anciennes théories, comme le fait la théorie de l’‘onde-pilote’, mais il faut une théorie vraiment nouvelle (la théorie de de Broglie prétend être telle; nous savons que, pour Einstein, la théorie complète ne peut être obtenue qu’en changeant les bases de départ). Cette réaction d’Einstein, le besoin qu’il éprouve d’expliciter ainsi les deux traits saillants de la théorie proposée par de Broglie, est significative eu égard à la nature de ses propres doutes et de son propre programme: elle laisse bien voir la différence de son approche avec celle de Louis de Broglie. Cette différence concerne en premier lieu la dualité, dont une théorie nouvelle devrait, pour lui, s’affranchir, ne se proposant que de la retrouver à l’approximation de la théorie quantique actuelle.

Si Einstein manifeste son intérêt pour les propositions de Louis de Broglie, de toute évidence il ne les reprend pas à son compte, ne serait-ce que parce qu’elles comportent trop d’arbitraire. On le devine, bien qu’il ne le dise pas expressément, à sa demande de précisions: « Pour autant que je puisse voir, pensez-vous que le produit doive satisfaire à l’équation initiale de Schrödinger, ou bien le facteur ‘ondulatoire’ seul doit-il posséder cette propriété, ou alors les deux facteurs, ou encore les deux facteurs et leur produit ? ». Il poursuit en explicitant une autre condition de la solution envisagée par de Broglie (condition qui correspond au principe de superposition): « Votre but serait aussi atteint si la fonction cherchée pouvait être représentée par une somme de tels produits. Finalement, il ne paraît pas nécessaire que le tout puisse être représenté par une seule fonction (une composante), mais peut-être par un ensemble de plusieurs composantes ».

Sa remarque la plus importante, qui nous éclaire sur ses propres vues, est relative à l’arbitraire, sur lequel il revient: « Vous pensez que cette liberté constitue un grand malheur pour les théoriciens. Cette liberté m’a tellement préoccupé que je me suis obstiné à rechercher un principe formel qui limiterait notre liberté… ». La différence avec l’approche de de Broglie est ici plus nettement marquée encore: la voie d’Einstein est celle d’une recherche première d’un principe formel. « Mais », ajoute Einstein (et ce ‘mais’ marque à lui seul la différence), « nous avons en commun la conviction que nous devons rester attachés à l’idée de la possibilité d’une représentation entièrement objective de la réalité physique ». On notera encore que c’est la réalité qui est mise en avant, et non la causalité ou le déterminisme, sur lesquels insistait Louis de Broglie.

Dans une lettre ultérieure, Einstein revient sur sa « méthodologie », comme il dit, c’est-à-dire, en réalité, inséparablement sa démarche et son ‘style’. Malgré leur « commune conviction » qui les fait tous deux ‘hérétiques’, c’est-à-dire leur sentiment de l’insuffisance de la mécanique quantique, leurs ‘méthodologies’ sont en effet différentes. « Vue de l’extérieur », écrit Einstein, « ma méthodologie (…) semble assez bizarre. En effet, je dois ressembler à l’oiseau du désert, l’autruche, qui sans cesse cache sa tête dans le sable relativiste pour ne pas faire face aux méchants quanta ». Einstein indique qu’il cherche aussi une « substructure », « nécessité que la théorie quantique actuelle cache habilement par l’application de la forme statistique ». Mais, précise-t-il, « je suis convaincu qu’on ne pourra pas trouver cette substructure par une voie constructive en partant du comportement empirique des objets physiques ». Le « refus de regarder les quanta en face », c’est, en fait, le refus de la voie ‘empiriste-constructiviste’; quant à la « sous-structure » qu’il cherche, elle est tout autre que celle de de Broglie et de Bohm (voir plus haut ce qu’il disait à ce dernier à propos des niveaux emboîtés de particules): c’est le soubassement architechtonique de la théorie.

Et c’est, en fait, par la voie de la recherche d’un principe purement formel, fondée « sur la conviction que les lois de la nature ont la plus grande simplicité logique imaginable », c’est-à-dire sur la recherche d’une « théorie du champ des quanta », qu’Einstein tente, pour sa part, d’aborder le problème quantique (comme nous le savons par ailleurs). Mais il convient qu’une telle théorie peut fort bien ne pas exister, et il admet que « dans ce cas mes efforts ne peuvent pas mener à la solution du problème de l’atomistique et des quanta, peut-être même pas nous rapprocher d’une solution ». Les physiciens des quanta sont persuadés que tel est le cas: « Peut-être ont-ils raison sur ce point (…). Mais cette conviction négative est fondée sur une base seulement intuitive et non pas objective. Par ailleurs, je ne distingue aucune voie claire vers une théorie logiquement simple ».

A cette profession de foi et à cet aveu, Louis de Broglie répond en invoquant sa propre direction: la recherche d' »images spatio-temporelles précises du dualisme onde-corpuscule, permettant de justifier le succès des lois statistiques de la mécanique quantique ». De Broglie exprime également à Einstein son accord avec ce que celui-ci lui a écrit sur sa méthode de la « simplicité logique », estimant, face aux difficultés rencontrées par lui-même et ses collaborateurs dans la recherche des bonnes équations non-linéaires, qu’elle seule probablement peut fournir une possibilité de progresser: « En accord avec vos idées », conclut-il sa lettre, « ce problème ne pourrait sans doute être résolu qu’en suivant une voie analogue à celle qui a conduit aux équations de la Relativité généralisée, c’est-à-dire en s’inspirant de l’idée de simplicité logique ».

On voit bien, toutefois, par-delà une certaine concordance, la différence de démarche entre Einstein et de Broglie. Elle est présente dès le point de départ, dans la définition du but que chacun d’eux assigne à la théorie qu’il voudrait obtenir. Einstein estime la méthode « constructive » (c’est-à-dire, pour lui, empiriste) inadéquate et recherche un principe formel du genre d’un principe de relativité généralisé étendu, applicable à l’ensemble des lois physiques, car la solution ne peut désormais provenir que d’une plus grande unité. De Broglie recherche une solution dans le droit fil de l’intuition qui présidait déjà à ses premiers travaux, basée sur une image spatio-temporelle, celle d’un corpuscule lié à une onde, et posant en principe un déterminisme s’appliquant à ces concepts classiques. La ‘méthodologie’ qu’il met en oeuvre est celle de l’obtention, selon ses propres termes, « d’images spatio-temporelles précises du dualisme onde-corpuscule », ce qui le conduit à une diversité d’hypothèses possibles, dont le choix est « arbitraire », comme Einstein le remarquait.

Ce dernier, par contraste, tout en désirant maintenir le continuum spatio-temporel, ne parle jamais de sa représentation en termes d’images (il la voit très indirecte, à partir du champ pris comme concept premier), voulant précisément dépasser le dualisme et les concepts (classiques) qui l’expriment, trop empiriques, et n’imposant pas suffisamment de contraintes. L’idée de contrainte logiquement imposée par un principe formel est centrale dans sa pensée: ce principe fondamental, s’exprimant par des limitations sur les possibilités de choix des grandeurs physiques, est chargé d’exprimer les propriétés des systèmes et des phénomènes matériels dans ce qu’elles ont d’essentiel, et doit constituer la base même de la théorie. La physique théorique au sens d’Einstein, telle que l’exige la physique à l’état où elle est parvenue, est gouvernée par quelques principes fondateurs.

Celle que de Broglie met en oeuvre est différente. On peut la caractériser comme la combinaison d’une théorie physique ‘phénoménologique’ (c’est-à-dire qui se propose une représentation théorique des faits empiriques en termes de modèles) et d’une ‘physique mathématique’ (qui exploite des aspects formels tels que des analogies d’expressions mathématiques). Sa démarche première demeure la recherche d’une représentation spatio-temporelle conçue comme « image intelligible [du] dualisme », et des principes du genre invoqué par Einstein (généraux et de formulation abstraite) seraient accueillis volontiers, mais au titre de régulation plutôt que de fondation.

La différence entre les ‘styles de recherche’ d’Einstein et de de Broglie se manifeste également dans leurs attitudes respectives face au rapport entre la relativité et la physique quantique. Einstein maintient sa méthode (telle que nous avons tenté de la caractériser par ailleurs), qui est de considérer la théorie en fonction de son objet, et sa recherche de la généralisation du champ s’en tient à la considération du champ défini sur le continuum. S’il garde à l’esprit le problème des quanta, c’est comme une conséquence lointaine éventuelle: malgré ce but ultime, il ne mêle pas les deux théories – et c’est aussi parce que la théorie quantique lui semble insuffisante du point de vue de ses concepts et de ses principes fondamentaux. De Broglie, fidèle en cela à sa démarche initiale de 1923, continue de penser en même temps la théorie de la Relativité (restreinte, ce qui, pour Einstein serait de toute façon insuffisant) et la théorie quantique, les joignant dans un même modèle, qui ne peut être, malgré son apparence mathématique formelle, qu’une approche de nature phénoménologique.

Pour conclure, indiquons qu’Einstein donnait lui-même par avance, de manière implicite il est vrai, la réponse à la question de sa position par rapport aux variables cachées, quelque temps avant que celles-ci ne connaissent un regain d’intérêt. Il déclarait, dans sa « Réponse aux critiques » de 1949, que, puisque la mécanique quantique ne peut pas raisonnablement prétendre décrire de façon complète les systèmes individuels (« raisonnablement », c’est-à-dire sans faire appel à des actions instantanées à distance), « il apparaît inévitable de chercher ailleurs une description complète du système individuel »; cela étant, il devrait être clair dès le commencement, écrivait-il, que « les éléments d’une telle description ne sont pas contenus dans le schéma conceptuel de la théorie quantique statistique »108. Les solutions en termes de variables cachées appartiennent clairement à ce schéma, qu’elles soient prises sous la forme simplifiée de la première théorie de David Bohm, ou plus raffinées, comme les approches ultérieures de Bohm, de de Broglie, de Vigier ou d’autres, et même si elles incluent des équations non-linéaires, dont Einstein soulignait la nécessité.

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edgar morin


lundi 21 novembre 2011

Edgar Morin… au nom de Dieu (1)

Je profite de cette vidéo pour faire un commentaire sur la pensée complexe par Edgar Morin exprimée dans le texte suivant dans actualités en psychopathologie.

Je trouve ce texte clair et complet. Je me retrouve bien dans la pensée complexe.Je pense qu’il faut l’appliquer jusque dans son comportement, ses idées philosophiques ou religieuses… C’est un point de départ qui mène à la tolérance, au respect. Je pense qu’il faut bien réfléchir à ce texte avant de prôner l’égalité, la tolérance pour qu’elles ne restent pas que des mots vains. J’irai même jusqu’à dire que l’essentiel c’est l’amour, au sens de La Boétie et Montaigne. Il est sans raison et inexplicable. Alors que vouloir être tolérant de façon raisonneé aboutit souvent à une forme d’intolérance. La pensée complexe permet de réfléchir à tous les aspects des choses avec ce qu’elles ont de calculable, de raisonné, de « logos », mais aussi de contradictions….

http://isabellesamyn.e-monsite.com/pages/approche-systemique/vers-un-nouveau-paradigme.html actualités en psychopathologie


Texte de Edgar Morin (sociologue, philosophe), issu du Sciences humaines dans . n°47, fév. 1995

La pensée de la complexité se présent comme un nouveau paradigme né à la fois du développement et des limites des sciences contemporaines. Elle n’abandonne pas les principes de la science classique mais les intègre dans un schéma plus large et plus riche.

La complexité : tel est le défin majeur de la pensée contemporaine, qui nécessite une réforme de notre mode de pensée. La pensée scientifique classique s’est édifiée sur trois piliers que sont ‘l’ordre’, la ‘séparabilité’, la ‘raison’. Or, les assises de chacun sont aujourd’hui ébranlées par les développements mêmes des sciences qui s’étaient à l’origine fondées sur ces trois piliers.

La notion ‘d’ordre’ se dégageait d’une conception déterministe et mécaniste du monde. Tout désordre apparent était considéré comme le fruit de notre ignorance provisoire. Derrière ce désordre apparent, il y avait un ordre caché à découvrir.

Les piliers de la science classique

Cette idée d’un ordre universel a été remise en cause d’abord par la thermodynamique qui a reconnu dans la chaleur une agitation moléculaire désordonnée, puis par la microphysique, puis par la cosmophysique, et aujourd’hui par la physique du chaos. Les idées d’ordre et de désordre cessent de s’exclure absolument l’une l’autre : d’une part un ordre organisationnel peut naître dans des conditions voisines de la turbulence, d’autre part des processus désordonnées peuvent naître à partir d’états initiaux déterministes.

La pensée complexe, loin de substituer l’idée de désordre à celle d’ordre, vise à mettre en dialogique l’ordre, le désordre et l’organisation.

Le second pilier de la pensée classique est la notion de ‘séparabilité’. Elle correspond au principe cartésien selon lequel il faut, pour étudier un phénomène ou résoudre un problème, le décomposer en éléments simples. Ce principe s’est traduit dans le domaine scientifique d’une part par la spécialisation, puis l’hyper spécialisation disciplinaire, d’autre part par l’idée que la réalité objective puisse être considérées sans tenir compte de son observateur.

Or, depuis un quart de siècle, se sont développées des ‘sciences systémiques’ qui relient ce qui est étudié séparément par les disciplines traditionnelles. Leur objet est constitué par les interactions entre éléments et non plus leur séparation. L’écologie-science a pour objet les écosystèmes et la biosphère, qui sont des ensembles de constituants interdépendants qui relèvent séparément de la zoologie, de la géographie, des sciences physiques, etc. Les sciences de la terre envisagent notre planète comme un système complexe qui s’autoproduit et s’auto-organise ; elles articulent entre elles des disciplines autrefois séparées comme l’étaient la géologie, la métérologie, la vulcanologie, la sismologie, etc.

Autre aspect de la séparabilité : celui de la disjonction entre l’observateur et son observation. Elle a également été remise en cause par la physique contemporaine. En microphysique nous savons, depuis Heisenberg, que l’observateur interfère avec son observation. Dans les sciences humaines et sociales, il paraît de plus en plus évident qu’il n’existe aucun sociologue ou économiste qui pourrait trôner, tel Sirius, au-dessus de la société. Il est un fragment à l’intérieur de cette société, et la société, en tant que tout, est à l’intérieur de lui.

La pensée complexe ne remplace pas la séparabilité par l’inséparabilité, elle appelle à une dialogique qui utilise le séparable mais l’insère dans l’insérapable.

Le troisième pilier de notre mode de pensée est celui de la logique inductive-déductive-identitaire identifiée à une raison absolue. La raison classique reposait sur les trois principes d’induction, de déduction et l’identité (c’est-à-dire le rejet de la contradiction). Le premier coup de boutoir a été donné par Karl Popper contre l’induction, qui permettait de tirer les lois générales d’exemples particuliers. K. Popper a justement fait remarquer que l’on ne pouvait, en toute rigueur, induire une loi universelle telle que ‘tous les cygnes sont blancs‘, du seul fait qu’on en avait jamais vu de noir. L’induction a incontestablement une valeur heuristique, mais non valeur de preuve absolue.

Le théorème d’incomplétude de Gödel montre par ailleurs qu’un système déductif formalisé ne peut trouver en lui-même la démonstration absolue de sa validité. C’est que qu’a montré également Tarski dans sa logique sémantique :  aucun système ne dispose de moyens suffisants pour s’auto-expliquer. Il est dans certains cas possible de trouver preuve ou explication dans des métasystèmes, mais ceux-ci comportent également en eux une brèche. On peut certes élaborer des ‘méta-points de vue’ : par exemple, pour connaître ma société, je peux comparer entre elles les sociétés contemporaines, étudier par contraste les sociétés ‘possibles’. Cela me permet d’édigier une sorte de mirador à partir duquel je peux observer d’autres sociétés extérieures tout en demeurant à l’intérieur de la mienne. Mais en aucun cas, il n’existe de métasystème théorique qui permettrait de dépasser notre condition sociale ou notre condition humaine, c’est-à-dire faire de nous des être métasociaux et métahumains.

Enfin, les développements de certaines sciences comme la microphysique ou la cosmophysique sont arrivées de façon empiricorationnelle à des contradictions insurmonables comme celles concernant l’apparente double nature contradictoire de la particuluer (onde-corpuscule) et celles concernant l’origine de l’univers, de la matière, du temps, de l’espace.

Ainsi, si nous ne pouvons nous passer de la logique inductive-déductive-identitaire, celle-ci ne peut être l’instrument de la certitude et de la preuve absolue. La pensée complexe appelle, non l’abandon de cette logique, mais une combinaison dialogique entre son utilisation segment par segment et sa transgression dans les trous noirs où elle cesse d’être opérationnelle.

Les trois théories

Ordre, séparabilité et raison absolue, ces trois piliers de notre mode de pensée ont donc été ébralés par les développements des sciences contemporaines. Dès lors, comment s’acheminer dans un univers où l’ordre n’est plus absolu, où la séparabilité est limitée, où la logique elle-même comporte des trous? Tel est le problème auquel s’affronte la pensée de la complexité.

Une première voie d’accès est ce que l’on peut appeler aujourd’hui ‘les trois théories’ que sont la théorie de l’information, la cybernétique et la théorie des systèmes. Ces trois théories, cousines inséparables, sont apparues au début des années 40 et se sont mutuellement fécondées.

– La théorie de l’information est un outil de traitement de l’incertitude, de la surprise, de l’inattendu. Ainsi, l’information qui indique quel est le vainqueur d’une bataille résout une incertitude ; celle qui annonce la mort subite d’un tyran apporte l’inattendu en même temps que la nouveauté.

Ce concept d’information permet d’entrer dans un univers où il y a à la fois de l’ordre (la redondance), du désordre (le bruit) et en extraire du nouveau (l’information elle-même). De plus, l’information peut prendre une forme organisatrice (programmatrice) au sein d’une machine cybernétique. L’information devient alors ce qui contrôle l’énergie et ce qui donne autonomie à une machine.

– La cybernétique est en elle-même une théorie des machines autonomes. L’idée de rétroaction, qu’introduit Norbert Wiener, rompt avec le principe de causalité linéaire en introduisant l’idée de boucle causale. A agit sur B et B agit en retour sur A. La cause agit sur l’effet, et l’effet sur la cause, comme dans un système de chauffage où le thermostat règle la marche de la chaudière. Ce mécanisme dit de ‘régulation’ est ce qui permet l’autonomie d’un système, ici l’autonomie thermique d’un appartement par rapport au froid extérieur. Comme Cannon l’a très bien montré dans The wisdom of body (1930), dans le cas d’un organisme vivant, ‘l’homéostasie’ est un ensemble de processus régulateurs fondés sur de multiples rétroactions. La boucle de rétroaction (appelée feed-back) permet, sous sa forme négative, de stabiliser un système, de réduire la déviance, comme c’est le cas pour l’homéostasie. Sous sa forme positive, le feed-back est un mécanisme amplificateur, par exemple dans la situation de la montée aux extrêmes d’un conflit armé. La violence d’un protagoniste entraîne une réaction violente qui, à son tour, entraîne une réaction encore plus violente. De telles rétroactions, inflationnistes ou stabilisatrices, sont légions dans les phénomènes économiques, sociaux, politiques ou psychologiques. L’idée de rétroaction avait été pressentie par Marx lorsqu’il disait que l’infrastructure matérielle d’une société produit la superstructure (sociale, politique, idéologique), mais qu’en retour, la superstructure rétroagit sur l’infrastructure matérielle…

– La théorie des systèmes jette également les bases d’une pensée de l’organisation. La première leçon systémique est que ‘le tout est plus que la somme des parties‘. Cela signifie qu’il existe des qualités émergentes qui naissent de l’organisation d’un tout, et qui peuvent rétroagir sur les parties. Ainsi, l’eau a des qualités émergentes par rapport à l’hydogène et l’oxygène qui la constituent. J’ajoute que le tout est également moins que la somme des parties car les parties peuvent avoir des qualités qui sont inhibées par l’organisation de l’ensemble.

La théorie des sytèmes nous aide également à penser les hiérarchies des niveaux d’organisation, les sous-systèmes et leurs imbrications, etc.

L’ensemble de ces trois théories – théorie de l’information, cybernétique et théorie des systèmes – nous introduit dans un univers des phénomènes organisés où l’organisation se fait avec et contre le désordre.

A ces trois théories, il faut ajouter les développement conceptuels apportés par l’idée d’auto-organisation. Ici, des noms doivent être mentionnés : von Neumannvon FoersterAtlan etPrigogine. Dans sa théorie des automates auto-organisateurs, von Neumann s’est posé la question de la différence entre machines artificielles et ‘machines vivantes’. Il a pointé ce paradoxe : les éléments des machines artifielles sont très bien usinés, très perfectionnés mais se dégradent dès que la machine commence à fonctionner. Par contre, les machines vivantes sont composés d’éléments très peu fiables, comme les protéines, qui se dégradent sans cesse ; mais ces machines possèdent d’étranges propriétés de se développer, de se reproduire, de s’autorégénérer en remplaçant justement les molécules dégradées par de nouvelles et les cellules mortes par des cellules neuves. La machine artificielle ne peut se réparer elle-même, s’auto-organiser et se développer, alors que la machine vivante se régénère en permanence à partir de la mort de ses cellules selon la formule d’Héraclite ‘vivre de mort, mourir de vie‘. L’apport de von Foerster réside dans sa découverte du principe de ‘l’ordre par le bruit’ (‘Order from noise‘). Ainsi, des cubes aimantés sur deux faces vont organiser un ensemble cohérent par assemblage spontané sous l’effet d’une énergie non directionnelle, à partir d’un principe d’ordre (l’aimantation). On assiste donc à la création d’un ordre à partir du désordre. Atlan a pu alors concervoir sa théorie du ‘hasard organisateur’. On retrouve une dialogique ordre/désordre/organisation à la naissance de l’univers à partir d’une agitation calorifique (désordre) où, dans certaines conditions (rencontres au hasard), des principes d’ordre vont permettre la constitution des noyaux, des atomes, des galaxies et des étoiles. On retrouve encore cette dialogique lors de l’émergence de la vie par rencontres entre macromolécules au sein d’une sorte de boucle autoproductrice qui finira par devenir auto-organisation vivante. Sous des formes les plus diverses, la dialogique entre l’ordre, le désordre et l’organisation, via d’innombrables inter-rétro-actions, est constamment en action dans les mondes physique, biologique et humain.

Prigogine, avec sa thermodynamique des processus irréversibles, a introduit d’une autre façon l’idée d’organisation à partir du désordre. Dans l’exemple des tourbillons de Benard on voit comment des structures cohérentes se constituent et s’auto-entretiennent, à partir d’un certain seuil d’agitation et en-deçà d’un autre seuil, dans des conditions qui seraient celles d’un désordre croissant. Bien entendu, ces organisations ont besoin d’être alimentées en énergie, de consommer, de ‘dissiper’ et l’énergie pour se maintenir. Dans le cas de l’être vivant, celui-ci est assez autonome pour puiser de l’énergie dans son environnement, et même d’en extraire des informaitons et d’en intégrer de l’organisation. C’est ce que j’ai appelé ‘l’auto-éco-organisation’.

La pensée de la complexité se présente donc comme un édifice à plusieurs étages. La base est formée à partir des trois théories (information, cybernétique et système) et comporte les outils nécessaires pour une théorie de l’organisation. Vient ensuite un deuxième étage avec les idées de von Neumann, von Foerster et Prigogine sur l’auto-organisation. A cet édifice, j’ai voulu apporter des éléments supplémentaires. Notamment, trois principes : le principe dialogique, le principe de récursion et le principe hologrammatique.

– Le principe dialogique unit deux principes ou notions antogonistes, qui apparemment devraient se repousser l’une l’autre, mais qui sont indissociables et indispensables pour comprendre une même réalité. Le physicien Niels Bohr a, par exemple, reconnu la nécessité de penser les particules physiques à la fois comme corpuscules et comme ondes. Comme le dit Pascal : ‘Le contraire d’une vérité n’est pas l’erreur mais une vérité contraire‘. N. Bohr le traduit à sa façon : ‘Le contraire d’une vérité triviale est une erreur stupide, mais le contraire d’une vérité profonde est toujours une autre vérité profonde‘. Le problème est donc d’unir des notions antagonistes pour penser les processus organisateurs, productifs, et créateurs dans le monde complexe de la vie et de l’histoire humaine.

– Le principe de récursion organisationnelle va au-delà du principe de la rétroaction (feed-back) ; il dépasse la notion de régulation pour celle d’auto-production et auto-organisation. C’est une boucle géné ratrice dans laquelle les produits eet les effets sont eux-mêmes créateurs de ce qui les produit. Ainsi nous, individus, sommes les produits d’un système de reproduction issus du fond des âges, mais ce système ne peut se reproduire que si nous-mêmes nous en devenons les producteurs en nous accouplant. Les individus humains produisent la société dans et par leurs interactions, mais la société, en tant que tout émergeant, produit l’humanité de ces individus en leur apportant le langage et la culture.

– Le princidpe ‘hologrammatique’ met en évidence cet apparent paradoxe de certains systèmes, où non seulement la partie est dans le tout, mais le tout est dans la partie. Ainsi, chaque cellule est une partie d’un tout – l’organisme global – mais le tout est lui-même dans la partie : la totalité du patrimoine génétique est présent dans chaque cellule individuelle. De la même façon, l’individu est une partie de la société, mais la société est présente dans chaque individu en tant que tout à travers son langage, sa culture, ses normes…

On le voit, la pensée complexe propose un certain nombre d’outils de pensée issus des trois théories, des conceptions de l’auto-organisation, et qui développe ses outils propres. Cette pensée de la complexité n’est nullement une pensée qui chasse la certitude pour mettre l’incertitude, ou qui chasse la séparation pour mettre à la place l’inséparabilité, ou encore qui chasse la logique pour s’autoriser toutes les transgressions.

La démarche consiste au contraire à faire un aller et retour incessant entre certitudes et incertitudes, entre l’élémentaire et le global, entre le séparable et l’inséparable. De même, on utilise la logique classique et les principes d’identité, de non-contradiction, de déduction, d’induction, mais on connaît leurs limites, on sait que dans certains cas, il faut les transgresser. Il ne s’agit donc pas d’abandonner les principes de la science classique – ordre, séparabilité et logique – mais de les intégrer dans un schéma qui est à la fois plus large et plus riche. Il ne s’agit pas d’opposer un holisme global à creux à un réductionnisme systématique ; il s’agit de rattacher le concret des parties à la totalité. Il faut articuler les principes d’ordre et de désordre, de séparation et de jonction, d’autonomie et de dépendance, qui sont en dialogique (complémentaires, concurrents et antagonistes) au sein de l’univers. En somme, la pensée complexe n’est pas le contraire de la pensée simplifiante, elle intègre celle-ci ; comme dirait Hegel, elle opère l’union de la simplicité et de la complexité, et même, dans le métasystème qu’elle constitue, elle fait apparaître sa propre simplicité. Le paradigme de complexité peut être énoncé non moins simplement que celui de simplification : ce dernier impose de disjoindre et de réduire ; le paradigme de complexité enjoint de relier tout en distinguant.

L’arrière fond philosophique

On trouve en fait dans l’histoire de la philosophie occidentale et orientale de nombreux éléments et prémisses d’une pensée de la complexité. Dès l’antiquité, Héraclite a posé la nécessité d’associer ensemble des termes contradictoires pour affirmer une vérité. A l’âge classique, Pascal est le penseur clé de la complexité ; rappelons le précepte qu’il formule dans ses Pensées : ‘Toute chose étant aidée et aidante, causée et causante, je tiens pour impossible de connaître le tout sans connaître les parties et de connaître les parties sans connaître le tout‘. Plus tard, E. Kant a mis en évidence les limites ou ‘apories de la raison’. Chez Spinoza, on trouve l’idée de l’autoproduction du monde par lui-même. Chez Hegel, dont la dialectique annonce la dialogique, cette autoconstitution devient le roman-feuilleton dans lequel l’esprit émerge de la nature pour arriver à son accomplissement ; Nietzsche a posé le premier la crise des fondements de la certitude. Dans le méta-marxisme, on trouve avecArdonoHorkheimer, et chez Lukacs, non seulement de nombreux éléments d’une critique de la raison classique, mais bien des ingrédients d’une conception de la complexité.

A l’époque contemporaine, la pensée complexe peut commencer son développement à la confluence de deux révolutions scientifiques. La première révolution a introduit l’incertitude avec la thermodynamique, la physique quantique, et la cosmophysique. Cette révolution scientifique a déclenché les réflexions épistémologiques de PopperKuhnHoltonLakatos,Feyerabend, qui ont montré que la science n’était pas la certitude mais l’hypothèse, qu’une théorie prouvée ne l’était pas définitivement et demeurait ‘falsifiable’, qu’il y avait du non-scientifique (postulats, paradigmes, themata) au sein de la scientificité même.

La seconde révolution scientifique, plus récente, encore indétectée, est la révolution systémique dans les sciences de la terre et la science écologique. Elle n’a pas encore trouvé son prolongement épistémologique (qu’annoncent mes propres travaux).

La pensée complexe est donc essentiellement la pensée qui traite avec l’incertitude et qui est capable de concevoir l’organisation. C’est la pensée capable de relier (complexus : ce qui est tissé ensemble) de contextualiser, de globaliser, mais en même temps capable de reconnaître le singulier, l’individu, le concret.

Compléments au texte d’E. Morin

Jusqu’en 1940, il existait la pensée classique, tous les scientifiques voyaient les choses par cette pensée. A partir des années 1940, les scientifiques se sont basés sur la pensée complexe, c’est-à-dire l’interaction des événements les uns avec les autres. Mais la pensée complexe ne va pas abandonner les principes fondamentaus de la pensée classique, elle va les regrouper.

La pensée classique

3 piliers :

– L’ordre est une conception mécaniste et déterministe du monde, ordre universel. Tout est déterminé, tout a un ordre, le désordre n’est qu’apparent, l’ignorance du scientifique.

– La séparabilité, étude d’un domaine en le décomposant. Ceci a amené les scientifiques à la spécialisation. Séparabilité entre observateur et objectifs, les scientifiques se voulaient neutres.

– La raison, tout doit être logique. L’induction, la déduction et l’identitaire.
L’induction, on part d’un sujet et on aboutit à des théories.
La déduction, on part d’hypothèses qu’on cherche à vérifier.
L’identitaire, refuser la contradiction, jamais prendre deux choses ensemble.

Ces trois piliers ont été critiqués :

– L’ordre : les scientifiques se sont rendus compte que le désordre existait aussi. L’ordre naissait à partir du désordre et inversement.

– La séparabilité, notion qui ne peut concevoir que l’on puisse s’intéresser à un domaine et en complémentaire établir des relations entre les différents éléments. Critique de la relation observateur – observation, l’un va forcément influer sur l’autre.

– La raison. Grâce à l’induction et à la déduction, nous pouvons découvrir des choses. Gödel, théorème d’incomplétude, l’induction, la déduction, l’identité ne peuvent être la preuve absolue.

La pensée complexe

3 théories :

– L’information : outil de traitement de l’incertitude

– La théorie de la cybernétique : A agit sur B et B agit sur A.
Rétroaction : Négative : permet l’homéostasie – Positive : effet amplificateur

– La théorie des systèmes, le tout est plus que la somme des parties, mais le tout est également moins que la somme des parties.

A ces trois théories va s’ajouter le concept d’auto-organisation.

E. Morin a ajouté trois principes :

– Principe dialogique : unir des notions antagonistes pour penser des processus organisateurs productifs et créateurs dans le monde de la pensée complexe.

– Principe de récursion : dépasse la notion de feed back, un sujet est issus d’un système de reproduction et, il est lui-même un système de reproduction

– Principe hologrammatique : la partie est dans le tout et le tout est dans la partie.

Conclusion

A partir du désordre, la pensée complexe est capable de relier.

Ouverture

Dans la pensée complexe, on a cru pendant longtemps qu’il y avait un observateur qui était en dehors du système qu’il regardait. La cybernétique a été de dire qu’on regardait avec une théorie, l’observateur fait parti de ce qu’il observe. En clinique, c’est d’une importance capitale, les premiers systémiciens pensaient qu’ils observaient la famille, hors ils observaient l’intervenant et la famille à partir de la glace sans teint.

Dans le système, il y a des entrées d’informations et des sorties, les modifications, la rétroaction. Un système humain ne peut pas être isolé de son environnement, il est sujet à des processus de transformation, perpétuel va et vient d’informations.

Système à transaction psychotique, famille avec un psychotique. Il y a peu d’entrées et de sorties d’informations, système fermé, rigide, il ne va pas de transformation.

Systèmes qui sont, à la fois, régulés et auto-régulés. L’être humain est lui-même un processus auto-régulé.

Système vivant / système artificiel

Pendant longtemps, les systèmes étaient comparés à des machines. Le système trivial, la machine artificielle, telle que Descartes la décrivit, était en système clos, elle obéit à un programme mais elle ne peut intégrer ou tolérer le désordre. La machine est vouée à une tâche spécialisée. S’il y a une altération quelconque, elle va tomber en panne, donc elle va nécessiter l’intervention d’un spécialiste = pensée médicale, on peut réparer.

L’idée de la pensée complexe est que l’on travaille sur un système ouvert en relation avec son environnement. Un système vivant est toujours connecté à un environnement. Un élément peut se dégrader mais en même temps se régénérer. Le programme s’inscrit dans la stimulation d’un contexte adapté. Le système vivant va s’adapter au désordre, le désordre est intégré. Les systèmes vivants sont fragiles mais inventifs et capables de s’autogénérer. Ils ne tombent pas en panne mais traversent des crises, ces crises sont nécessaires à leur évolution et à leur adaptation. Le système vivant ne se casse pas mais est susceptible de mourir. Ils sont soumis à deux systèmes différents ; un système biologique, cycle vital, temps évolutif. Comme l’homme est capable de se représenter l’éternité, il y a toujours le système symboliquequi est en concurrence avec le système biologique.

Le premier principe est celui de l’interaction et de l’interdépendance : chaque élémnet tire son informaiton des autres éléments et agit sur eux. Pour comprendre un élément, il faut le considérer dans le contexte avec lequel il interagit.

Le principe de totalité : lorsqu’il y a un regroupement d’éléments, la logique de groupe constituée prime sur celle de chaque élément qui le compose.

Le principe de rétroaction : appelé aussi feed back ou causalité circulaire : l’effet B produit par A agit en retour sur la cause A qui l’a produite. Deux types de causalités :
– Une linéaire, A produit B où B est causé par A. La plupart de nos raisonnements sont de la causalité linéaire.
– La causalité circulaire, A a un effet sur B qui a un effet sur C qui a un effet sur A. L’effet a une rétroaction causale. Tout est en feed back dans l’interaction humaine.
Feed back positif : la rétroaction amplifie la différence, apporte du changement
La négative est au service du statut quo, de la stabilité.
Pour que les systèmes soient équilibrés, il faut les deux. Concept relié au principe d’homéostasie.

Le principe d’homéostasie : lorsqu’un système subit une legere transformation (d’origine interne ou externe), il a tendance à revenir à son état antérieur. Equilibre entre les deux tendances. Equilibre dynamique qui permet de se transformer tout en restant le même. Il y a toujours un effort qui tend vers l’homéostasie.

Le principe d’équifinalité : on peut obtenir un résultat identique à partir de coordinations initiales différentes et en empruntant un chemin différent. Une pathologie peut être d’une condition initiale différente.
Boris CyrulnikUn merveilleux malheur, Odile Jacob, 2000

Tous ces principes de base ont à faire avec la clinique.

Conséquences méthodologiques

Approche psychanalytique

Approche systémique

Champ d’observation

Observation élargie

– l’individu
– ses déficits
– ses symptômes

Environnement, écosystème
/
Contexte : espace / temps
Hierarchie
Structure interactionnelle
Dynamique du changement

Evaluation

Diagnostic
Recherche des causes
Anamnèse

Pronostic
Recherche du comment
Recueil d’informations

Hypothèses

Causalité linéaire
A –> B
Pourquoi ?
De quoi c’est fait ?

Causalité circulaire
A
C <– B
A quoi ça sert ?

Objectifs

Supprimer le symptôme
Soigner

Mobiliser les ressources et les compétences

La démarche va être tout à fait différente. Il va avoir une méthodologie clinique totalement différente qui va s’appuyer sur trois grands axes :

– L’exploration et le pilotage du contexte
L’exploration : la situation va d’abord être explorée, puis les acteurs concernés par la situation vont être rencontrés
Pilotage : délimitation des sous-systèmes d’intervention. Est-ce que le travail va se faire avec les parents, la classe, le juge… Le cadre doit être posé, ainsi que les règles explicites du travail, puis définir son rôle dans la situation et qualifier sa relation (en utilisant le ‘je’).

– Travailler sur l’interaction : évaluer les modes d’échange, les aspects fonctionnels et disfonctionnels, et les aspects symboliques. Favoriser l’interactivité, le partenariat, ne pas accuser. Construire la demande ensemble en définissant le problème.

– Le problème est le changement. Innovation dans les modes de communication. Connoter positivement la démarche des gens.

BECHILLON DLes défis de la complexité : vers un nouveau paradigme de la connaissance ?, L’Harmattan, 1994

BIANCHI FLe fil des idées : une éco-biographie intellectuelle d’Edgar Morin, Seuil, 2001

DUPUY J-POrdres et désordres : enquête sur un nouveau paradigme, Seuil, 1990

FORTIN RComprendre la complexité. Introduction à la méthode d’Edgar Morin, L’Harmattan, 2002

MORIN EMes démons, Stock, 1998

MORIN ELa complexité humaine, Flammarion, 1998

TOURAINE AUn nouveau paradigme : pour comprendre le monde d’aujourd’hui, L.G.F., 2006

VIANELLO M, CARAMAZZA EUn nouveau paradigme pour les sciences sociales : genre, espace, pouvoir, L’Harmattan, 2003


Phytospiritualité: Edgar Morin… au nom de Dieu (1)

De l’autre côté du miroir.


 

de l’autre coté du miroir

 

matrix

 

matrix.



De l’autre côté du miroir

J’ai adoré cet article. Dans mon blog je me passionne pour les limites de la connaissance (voir mes articles). J’ai lu les oeuvres de Jean Charon et sa relativité complexe. Je trouve dans cet article un éclairage intéressant.

 

 

Contenu de l’article:

De l’autre côté du miroir est la suite du conte “Alice au Pays des Merveilles”. Le monde du miroir se présente comme un monde inversé. Ainsi Alice, pour atteindre le jardin, elle doit d’abord s’en éloigner, de même qu’il lui faut, dans cet univers étrange, courir très vite pour rester sur place. Si l’espace est mis à mal, le temps n’est pas non plus en reste. Il est ainsi possible de se souvenir du futur. La différence fondamentale entre Alice au pays des merveilles et De l’autre côté du miroir est que cette dernière œuvre montre chez l’héroïne une évolution incontestable : de pion, elle devient reine.

MATRIX : SUIS LE LAPIN BLANC …

Dans le film Matrix, c’est l’un des messages que reçoit Néo le “hacker”. Il le voit tatoué sur l’épaule de la petite copine de Choi.

A la huitième minute du premier Matrix, Thomas Anderson, le futur Neo s’empare d’un livre dont il a creusé les pages, et qui lui sert à camoufler des logiciels piratés.


Dans son geste, l’acteur Keanu Reeves prend bien soin de laisser le spectateur lire le titre de l’ouvrage : Simulacra and Simulation.
La disquette qu’il extrait de ce livre-coffre est immédiatement cédé au personnage de Choi qui attend sur le pas de la porte, et dont la fiancée possède, sur l’épaule, un tatouage de lapin blanc.

Second détail – d’importance : Le livre de Baudrillard n’a pas été ” creusé ” au hasard par le héros, mais précisément derrière la page de garde du chapitre ” Du Nihilisme “. (voir le dernier chapitre de cet article sur le 0)

Troisième détail – structurel : La disquette extraite du ” Nihilisme ” est directement remise au couple Choi-Dujour, où se trouve le tatouage du lapin blanc.

Quatrième détail – essentiel : Le lapin blanc, comme nous le verrons plus loin, n’est pas tant une invention d’écrivain qu’une invention de mathématicien recourant à la littérature pour prouver ses théories.

Il va la suivre et arriver au « fond du trou » où il rejoint Trinity. Morpheus le compare par la suite à Alice tombée dans le terrier du lapin qu’elle poursuivait. Et l’éveil de Néo se fait de « l’autre cote du miroir » titre de la suite des aventures d’Alice.

Outre la référence directe au lapin blanc, Andy et Larry Wachowski (Matrix) multiplient les indices rapprochant leur film de cette œuvre. Ainsi, quand Néo se « réveille » dans le monde réel, il tombe dans un tuyau interminable avant de tomber dans un lac souterrain de la même manière qu’Alice tombe dans l’interminable terrier vertical du lapin blanc. De plus dans la scène précédente, Néo observe son reflet dans le miroir et passe sa main « à travers » ce miroir. Or, le deuxième tome des aventures d’Alice s’intitule De l’autre côté du miroir. Le monde du miroir se présente comme un monde inversé ou l’espace et le temps sont déformés. Ainsi Alice, pour atteindre le jardin, doit-elle d’abord s’en éloigner, de même qu’il lui faut, dans cet univers étrange, courir très vite pour rester sur place. Si l’espace est mis à mal, le temps n’est pas non plus en reste. Il est ainsi possible de se souvenir du futur,

La différence fondamentale entre Alice au pays des merveilles et De l’autre côté du miroir est que cette dernière œuvre montre chez l’héroïne une évolution incontestable : de pion, elle devient reine.

L’un des aspects les plus frappants et les plus intéressants de l’œuvre est la manière dont elle joue avec le non-sens.

Certaines choses au delà du miroir échappent complètement à notre logique habituelle.

THEORIES DE JEAN CHARON
D’un point de vue scientifique, qu’y a t il de l’autre côté du miroir” pourrait on se demander.

Revenons tout d’abord à la fameuse formule d’Einstein E = mc2 signifie que la masse d’un objet croît proportionnellement à son énergie. Il s’ensuit une relation exponentielle matière / énergie, dont le résultat est que la matrice de notre continuum ne saurait exister qu’à des vitesses inférieures à celle de la lumière.

Les chercheurs supposent là l’existence de particules nommées tachyons qui, théoriquement, ne pourraient exister qu’à des vitesses supra-luminiques.

La loi inverse, en somme. Les astrophysiciens nomment «horizon» la limite au-delà de laquelle aucun photon ne peut échapper à l’incommensurable attraction gravitationnelle d’un trou noir. A partir de cette limite, ni la relativité, ni la mécanique quantique ne peuvent expliquer ce qui peut se passer. Forcément : nous sommes de l’autre côté du miroir, interphase ou tout s’inverse.

Si l’on plonge au cœur de la matière, on s’aperçoit qu’elle est composée, aussi loin que l’on puisse explorer pour l’instant de petites «briques» fondamentales (quarks), dont tout le comportement tend à indiquer qu’elles sont elles-mêmes composées de phénomènes vibratoires qui, au lieu de s’étendre à tout l’espace, sont comprimés dans un champ restreint, une courbure de l’espace très accentuée. Ceci revient à dire que la matière elle-même est composée d’énergie. Que ce soit en physique relativiste ou quantique, nous ne pouvons qu’aboutir aux mêmes conclusions.

Le physicien Jean Charon postule l’existence, dans une sorte d’anti-continuum parallèle au nôtre, de l’autre côté d’un “horizon”, d’un “miroir”, l’existence d’une “onde psi” qu’il a baptisée “éon”, et qui serait dépositaire d’absolument toute la mémoire de tout ce que la particule rencontre au cours de ses pérégrinations à travers l’univers depuis sa création. Lorsqu’elle est associée à d’autres, il est logique de penser que, tout en gardant sa mémoire “personnelle”, elle va la communiquer aux autres et s’enrichir elle-même de la leur, de l’ “expérience” de toutes les autres ondes psi.

Au fait, savez-vous au juste de combien de ces particules ponctuelles un Etre Humain est composé ? Non ? moi non plus, ça me dépasse. Quelques milliards de milliards ? Davantage ? Il est hallucinant d’imaginer de combien de mémoires nous sommes tous dépositaires, combien d’informations de toutes sortes coexistent en nous sans que nous nous en rendions compte. Les ondes psi vont se mélanger et former une globalité à laquelle toutes les informations s’étendent.

Cette gigantesque collection de particules, possède une onde psi globale à la dimension humaine, réceptacle de toutes les mémoires antérieures à sa constitution ainsi que de celles qui sont imputables aux éléments marquants de sa vie. Il s’agit tout simplement de ce corps énergétique dont certaines parties nous sont accessibles : directement, grâce à des perceptions développées, ou indirectement, grâce à des instruments ou artefacts…

L’horizon des physiciens devient alors le miroir séparant notre conscient de nos inconscients, l’interphase atemporelle et locale. Jean Charon nomme Réel et Imaginaire ces deux réalités. Dans son livre Mes cellules se souviennent, Michel Larroche, appelle cela le « Réel Trivia l » et « Réel Imaginaire », car l’imaginaire module profondément nos comportements, et il est bon d’insister, justement, sur son côté bien réel.

Donc, d’un côté, on aurait un univers solide, matériel, palpable, et, de l’autre côté, un anti-univers, réservoir d’informations, d’archives, mémoire qui “expédie” au trivial des éléments qui l’influencent. Les deux, en rapport constant avec la phase trois doivent à tout instant s’harmoniser, s’aligner l’un sur l’autre.

II serait long de présenter tous les modèles qui convergent vers cette idée de deux univers coexistants et échangeant des informations à travers une interphase.. Au fond, malgré des divergences apparentes, ils sont tous tendus vers la même vérité qui les englobe tous. Toutes les approches sont valables, représentant les différentes facettes d’une Réalité plus vaste.

Les équations des différents modèles physiques nous montrent qu’aucune matière ne peut exister au-delà de la vitesse de la lumière, qui constitue une limite absolue.

Cependant, on suppose actuellement l’existence du tachyon, particule qui théoriquement, ne peut exister qu’à cette frontière, cet horizon représente une interphase

entre :

* une phase 1, ou espace-temps positif contenant notre monde physique : matière et phénomènes vibratoires mesurables par une instrumentation.

* une phase 2, ou espace-temps négatif, recelant une «matière» et des vibrations hors de notre champ de perception, au-delà de notre détection instrumentale.

D’autres modèles proposent plutôt le diagramme suivant plus complet :

Il y aurait donc des particules «remontant le temps», les tachyons, qui expliqueraient notamment le caractère instantané de la pêche aux informations effectuée lorsque nous faisons appel à nos mémoires que nous matérialisons par nos réactions et nos réalisations dès lors qu’elles passent de l’autre côté du miroir, et cette rapidité de remontée de la ligne du temps lorsque nous recherchons un souvenir de notre passé. Y a-t-il relation étroite entre cette théorie physique et les réponses instantanées de nos comportements ou n’est-ce qu’un simple parallèle permettant une description plus imagée ? Corrélation ou coïncidence ?

De l’autre côté du miroir, dans l’espace-temps négatif, des champs d’énergie stockent l’information de tout ce qu’a rencontré, connu, éprouvé la particule, seule ou alliée à d’autres dans un ensemble l’englobant, le champ d’énergie se globalisant pour échanger toutes les mémoires de tous ses éléments de base. Collection de particules, nous suivons le même processus, et ne pouvons que fonctionner de manière identique à celle de nos composants.

Ce qui est remarquable, c’est que la physique ne peut, dès lors, exister sans la métaphysique : meta, en grec, signifie «avec». Elles deviennent inséparables.

Cette frappante ressemblance entre cette synthèse des modèles physiques et ce qui se passe en nous

LE MIROIR DE RIEMANN OU LA MODELISATION MATHEMATIQUE DE L’IMAGINAIRE

En 1859, Riemann, professeur à Göttingen, publie un article Sur les nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée. Il redéfinit une fonction appelée “‘fonction zêta” qui offrait à Riemann un “miroir” dans lequel le chaos apparent des nombres premiers s’ordonnait. Son hypothèse sur les zéros non triviaux de la fonction zêta.

Riemann réussit le tour de force de produire un graphe en 4 dimensions permettant ainsi de décrire le nombre “imaginaire” produit par la fonction. Le graphe ne peut représenter que l’ombre tridimensionnelle d’un paysage à quatre dimensions. Les « paysages » que « voient » les mathématiciens lorsqu’ils se représentent la fonction zêta en quatre dimensions sont fabuleux. Ce graphe en 4D définit alors un véritable paysage imaginaire ayant une topographie déconcertante. Il révèle un “réel” totalement inattendu, appelé paysage Zeta de Riemann, une sorte d’hologramme ou n’importe quelle petite région peut permettre de reconstituer l’ensemble…

MIROIR DE KOZYREV ET DISTORTION DU CONTINUUM ESPACE TEMPS

Les scientifiques ont expérimenté avec des “miroirs” Kozyrev (il ne s’agit pas d’un vrai miroir) mais un système de plaques d’aluminium concave. Ils y auraient vu des images du passé très lointain de l’humanité. Ces images apparaissent surtout pendant des périodes de perturbations électromagnétiques. Un autre chercheur, Trofimov a expérimenté ce procédé.

Leurs expériences impliquent une conception de l’univers différente du continuum espace-temps d’Einstein. Kaznatcheyev et Trofimov se réfèrent en particulier aux travaux de l’astrophysicien Nicolas Kozyrev (mort en 1983), reconnu internationalement par ses pairs et auquel l’ouvrage cité en début d’article consacrait un chapitre. Cette recherche d’un nouveau modèle de l’univers rejoint différentes hypothèses sur la structure du monde émises ces dernières années par des scientifiques qui essaient de rendre compte de différents phénomènes ne pouvant être intégrés dans l’univers einsteinien.

Les chercheurs russes avancent l’hypothèse d’un « espace vivant », un champ informationnel dont l’énergie-temps n’est qu’une propriété qui ne se propage pas, mais surgit partout instantanément. Le champ informationnel serait le vecteur de l’interaction entre les phénomènes du cosmos dont la communication « naturelle » à distance est un exemple ; la nature de l’ énergie-temps permettrait l’ instantanéité des interactions dans l’espace, alors qu’une progression inversée du temps, comme notre monde réfléchi dans une glace, serait à l’origine des cas d’anticipation du temps.

Il a dit que quand ils ‘approchait de ces miroirs justement pendant les périodes de perturbations électromagnétique, l’espace s’est ouvert et il a de nombreux symboles et signes qui s’anime, ressemblant à des enseignes lumineuses en néon.

“Au début nous pensons que c’était un message extra-terrestre” dit Trofimov. Mais après nous avons compris que la plupart de ces signes correspondent à l’antique culture sumérienne. C’était un moment du passé qui a traversé le temps pour arriver jusqu’à nous” dit il.

Ce moment n’était pas unique. En 1997 les scientifiques de Novosibirsk on fait des expériences avec ce systèmes de plaque d’aluminium concave, avec les anglais, à Stonehenge,. Pendant ces expériences, plus de 200 personnes ont pu apercevoir ce type de signes semblables à ceux qu’ils avaient vu auparavant ainsi que d’autres signes inconnus. (plus de 70 signes inconnus)



Expérience du miroir de Kozyrev par Kirpitchnikov et collaborateurs

Personnes ne pouvait expliquer ce phénomène. Il y a très peu de temps, un scientifique de Novosibirsk, Mr Kirpitchnikov a démontré le modèle du temps permettant d’expliquer le principe du miroir de Kozyrev et le principe de l’espace-temps. Suivant ce principe il a créé son propre miroir basé sur celui de Kozyrev.

Dans le but de prouver sa théorie sur l’espace temps Kozyrev a également procédé a une autre expérience étrange. Il a obturé l’objectif d’un télescope avec un plaque métallique, il a prouvé qu’un rayonnement d’une étoile transperçait la plaque métallique pour agir sur des levure en culture qui réagissaient spontanément à ce rayonnement qui selon lui allait plus vite que la lumière ce qui contredisait le postulat d’Einstein.

La nature du temps est très complexe, il semblerait que le temps est corrélé avec des objets électromagnétiques. Le temps prend cette énergie, de la même manière qu’un objet physique est capable de capter et renvoyer cette énergie.

Différents composants du temps communique avec des objets qui possèdent leurs propres champs électromagnétiques.

Le temps existe sur différentes couche comme plusieurs enregistrement sur une cassette vidéo. Sur une couche l’évènement est passé et sur l’autre cet évènement est en train de se produire. C’est ainsi qu’on peut avoir l’information du passé.

Kirpitchnikov a fait une autre expérience, A Akademgorodok, en Russie, dans la zone dite “zone X”, a pris des photos d’enfants prises dans ce lieu. Sur le négatif sont apparus des gens inconnus.

Il a développé un système d’équation qui permettrait la construction de machine a voyage dans le temps.

Selon un autre scientifique Biélorusse Veinik de l’académie des sciences, les fissures dans le miroir ainsi que les angles cassé, courberaient l’espace temps et provoquerait des “poltergeist” en créant des vortex vers un autre espace temps. L’autre monde, le monde parallèle et le notre commencerait à communiquer ce qui permettrait à cette connexion de se faire. Comme les deux monde, leur champ physique, ne peuvent pas communiquer à travers les vortex, ne peuvent pas se toucher cela produirait ces effets.

Selon ce scientifique le miroir prend le “négatif” et nous le rend multiplié, ce qu’il faut éviter ( !). Cela provoque le vieillissement et les maladies.

Dans l’ancienne traditions de Russie, on dit que le miroir est le “cadeau de satan”. Yvan le terrible croyant en ces phénomène et a fait en sorte que les miroirs pour lui et sa femme sois crées par des artisans aveugles.

Selon lui actuellement on utilise beaucoup en magie des miroirs de type miroir de Kozyrev, en aluminium recouvert de peinture noire. Cela permettrait d’additionner les pouvoirs. Il absorbe beaucoup de lumière et reflète l’énergie fine. La surface concave les maintiennent en forme (ces énergies fines).

Quand on regarde ce miroir recouvert de peinture noire brillante (qui reflète quand même) il absorbe de la lumière. Ca ouvre la vision du passé, d’un autre temps, d’un futur. Ils commencent à voir des “extra terrestres”, des objets étranges.

Selon ce scientifique, le pouvoir de voir le futur ou le passé grâce à la tache jaune de l’œil (fovéa) ce qui provoquerait ces fameux “flash” en voyance. (ndlr peut être parce que le fond de l’oeil est concave et noir ???). Mais il précise que c’est très “dangereux” de faire cette expérience car cela peut renvoyer trop de visions négatives en même temps ce que l’œil ne pourrait pas supporter…

LE PRINCIPE DU REVERBERATIONISME SELON LES VOYAGEURS DE L’ESPACE TEMPS
Selon les “entités” dites Voyageurs de l’Espace Temps (V.E.T) en relation avec Jean Claude Pantel (dont il serait trop long de détailler ici le vécu mais je vous renvoie au site Jantel.org), le vécu trouve son essence dans le Réverbérationisme post originel. C’est cette réverbération permettrait au flux existentialisateur de se manifester. C’est ce qui permettrait à l’informationnel de se matérialiser (ce que les V.E.T on nommé principe de géométrisation).

citons Dany et Karzenstein sur le principe de réverbérationisme.

Le « subi » se révèle selon le qualitatif initial imprimé dans le réverbérationnisme postoriginel, au gré des flux existentialisateurs, c’est-à-dire au gré des flux appelés à se percuter, donc à concevoir l’astatisme nécessaire à toute « matérialisation » de l’informationnel. (Dany 30 mars 2002)

Une piste nous est donné plus tard par Karzenstein :
“le réverbérationnisme initial procède à l’élaboration du courant initial sous la forme de faisceaux tubulaires qui, en désuperposition, constituent ces flux directionnels et dont il n’est pas vain de rappeler au passage que d’aucuns se veulent contrôlables…” (3 décembre 2004 Karzenstein)

Le réverbérationisme serait (selon mon interprétation) le principe de communication entre ce que l’on pourrait appeler Monde et Anti-monde qui créerait ce courant existentialisateur au niveau spatio-temporel.

Un autre V.E.T, Jadöpher va même plus loin dans l’explication du réverbérationisme l’appliquant à notre propre personne : “Cette restructuration s’applique bien sûr au gré des flux, aussi bien dans son état originel, que vous savez être le “spécifisme”, que dans les fonctions (agissements, gestes et actes) figurant les effets du réverbérationnisme entre chaque support existentiel (en l’Espace situé) et les ambiants (par le Temps déployés). (Jadöpher 2 mars 2006)
Il peut être intéressant de rapprocher cette théorie de révérbérationiste de celle de JP Garnier Mallet sur le phénomène de double et de projection temporelle inconsciente de ce double en vue de récupérer de l’informationnel comme nous l’avons déjà développé dans un précédent article. Dans ce cas on peur considérer que le double existerait en parallèle au delà du miroir.

LE “ZERO” MIROIR DE L’UNIVERS ?

Passer de l’autre côté du miroir c’est se demander si le vide est vraiment vide ou si il est rempli d’autre chose. Le zero serait il le lien, la clé entre un monde et l’autre.

C’est toucher du doigt le principe même de la conscience qui serait en dehors de la matière. Il faut revenir à la définition du Zéro, le Zéro représente purement et simplement l’absence de toute quantité, car une quantité qui serait moindre que rien est proprement inconcevable.» C’est « rien » ! La Manifestation naît du vide, du rien ! Chez les Babyloniens, zéro « ne fut jamais conçu comme un nombre : synonyme de “vide” seulement, il ne correspondit jamais au sens de la “quantité nulle” .

Les Nombres sont « Causes » de l’apparition des formes et le zéro, le vide, recristallise chaque chose en l’unifiant dans la Source de toute chose.

Le vide est plein de tous les possibles.

« A l’origine, il y a le Rien (wu) ;

Le rien n’a point de nom.

Du Rien est né l’Un ;

L’Un n’a point de forme. »

Toutes les traditions authentiques maintiennent la même vérité. Celle des Peuples nomades du Mali enseigne : « Avant la création du monde, avant le commencement de toute chose, il n’y avait rien, sinon UN ÊTRE. Cet Être était un Vide sans nom et sans limite, mais c’était un Vide vivant, couvant potentiellement en lui la somme de toutes les existences possibles.»

En Orient, la Manifestation est Illusion, Maya. Celle-ci est « l’interprétation et les concepts que donnent une civilisation, une culture, une religion, tous conditionnements inhérents à l’incarnation en un lieu et un temps donnés » « Maya est l’illusion qui prend ces concepts pour la réalité, qui confond la carte avec le territoire

Selon Ludwig Wittgenstein : «La solution de l’énigme de la vie dans l’espace et le temps se trouve hors de l’espace et du temps».

Et de l’autre côté du miroir d’Alice se termine ainsi “Sur l’eau calme voguant sans trêve… Dans l’éclat du jour qui s’achève…Qu’est notre vie, sinon un rêve ? ” Lewis Carroll

 

* de son titre original Through the Looking-Glass, est un roman écrit par Lewis Carroll en 1871

Qu’est ce que la Théorie des Cordes?


Via Scoop.itles merveilles de la nature

La théorie des cordes est l’une des voies envisagées pour régler une des questions majeures de la physique théorique : fournir une description de la gravité quantique c’est-à-dire l’unification de la mécanique quantique …
Show original

Mon commentaire:

La théorie des cordes ou plutôt les théories des cordes n’on pas encore permis de découvrir de particules qu’elles prévoient. Les énergies nécessaires sont hors de notre portée. Elles ne sont pas validées et n’on pas reçu de vérification expérimentale. De plus elles sont en « concurrence » avec d’autre théories dont une qui est basée sur la géométrie non-commutative.
n’atteint-on pas ici les limites de la connaissance que je qualifierai « d’extérieure »? Ne devrait-on pas envisager d’étendre notre connaissance à des voies nouvelles en parallèle et complémentairement? Pour le moment, on oppose connaissance scientifique et connaissance « intérieure », La voie spirituelle est-elle en contradiction avec la science?


Notre cerveau structuré par nos nouveaux médias


Via Scoop.itles merveilles de la nature

L’ école républicaine et les siècles de réflexion sur le progrès humain aboutissent à une nouvelle donne aujourd’hui : les nouvelles technologies.Pourquoi ? Ce n’est pas un phénomène de mode. Ce blog aurait pu être écrit en 1946, 1972, 1982 et 2011. Sur deux points essentiels : Pensée structurée par la technique, et pensée noyée dans les tripes, l’émotion.
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trous noirs (article du forum les émanants)


Voyage dans un trou noir

  


Voyage dans un trou noir (article vu dans science un blog que j’aime).



En astrophysique, un trou noir est un corps extrêmement dense dont le champ gravitationnel est si intense qu’il empêche toute forme de matière ou de rayonnement de s’en échapper (à l’exception notable de la radiation de Hawking, cf. plus bas). De tels objets n’émettent donc pas de lumière et sont alors perçus noirs. Les trous noirs sont décrits par la théorie de la relativité générale. Ils ne sont pas directement observables mais plusieurs techniques d’observation indirecte dans différentes longueurs d’ondes ont été mises au point et permettent d’étudier les phénomènes qu’ils induisent sur leur environnement. En particulier, la matière qui est happée par un trou noir est chauffée à des températures considérables avant d’être engloutie et émet de ce fait une quantité importante de rayons X. Ainsi, même si un trou noir n’émet pas lui-même de rayonnement, il peut néanmoins être détectable par son action sur son environnement. L’existence des trous noirs est une certitude pour la quasi-totalité de la communauté scientifique concernée (astrophysiciens et physiciens théoriciens).

Présentation et terminologie

Un trou noir possède une masse donnée, concentrée en un point appelé singularité gravitationnelle. Cette masse permet de définir une sphère appelée horizon du trou noir, centrée sur la singularité et dont le rayon est une limite maximale en deçà de laquelle le trou noir empêche tout rayonnement de s’échapper. Cette sphère représente en quelque sorte l’extension spatiale du trou noir. C’est ainsi que le terme « trou » est inapproprié, on devrait plutôt parler de « bulle noire » pour conceptualiser concrètement sa forme physique réelle tridimensionnelle dans l’espace. Pour un trou noir de masse égale à la masse du Soleil, son rayon vaut environ 3 kilomètres. À une distance interstellaire (en millions de kilomètres), un trou noir n’exerce pas plus d’attraction que n’importe quel autre corps de même masse ; il ne s’agit donc pas d’un « aspirateur » irrésistible. Par exemple, si le Soleil se trouvait remplacé par un trou noir de même masse, les orbites de ses planètes resteraient inchangées.

Il existe plusieurs sortes de trous noirs. Lorsqu’ils se forment à la suite de l’effondrement gravitationnel d’une étoile, on parle de trou noir stellaire. Quand on les trouve au centre des galaxies, ils ont une masse pouvant aller jusqu’à plusieurs milliards de masses solaires et on parle alors de trou noir supermassif (ou trou noir galactique). Entre ces deux échelles de masse, on pense qu’il existe des trous noirs intermédiaires avec une masse de quelques milliers de masses solaires. Des trous noirs de masse bien plus faible, qui auraient été formés au début de l’histoire de l’univers, au Big Bang, sont aussi envisagés, et sont appelés trous noirs primordiaux. Leur existence n’est, à l’heure actuelle, pas confirmée.

Il est impossible d’observer directement un trou noir. Il est cependant possible de déduire sa présence par son action gravitationnelle sur son environnement, soit par les effets sur les trajectoires des étoiles proches, soit au sein des microquasars et des noyaux actifs de galaxies, où de la matière, située à proximité, tombant sur le trou noir va se trouver considérablement chauffée et émettre un fort rayonnement X. Les observations permettent ainsi de déceler l’existence d’objets massifs et de très petite taille. Les seuls objets que ces observations impliquent et qui sont compatibles dans le cadre de la relativité générale sont les trous noirs.

Historique

Le concept de trou noir a émergé à la fin du XVIIIe siècle dans le cadre de la gravitation universelle d’Isaac Newton. La question était de savoir s’il existait des objets dont la masse était suffisamment grande pour que leur vitesse de libération soit plus grande que la vitesse de la lumière. Cependant, ce n’est qu’au début duXXe siècle et avec l’avènement de la relativité générale d’Albert Einstein que le concept de trou noir devient plus qu’une curiosité. En effet, peu après la publication des travaux d’Einstein, une solution de l’équation d’Einstein impliquant l’existence d’un trou noir central est publiée par Karl Schwarzschild. Les travaux fondamentaux sur les trous noirs remontent aux années 1960, précédant de peu les premières indications observationnelles solides en faveur de leur existence. La première « observation » , d’un objet contenant un trou noir fut celle de la source de rayons X Cygnus X-1 par le satellite Uhuru en 1971. Le terme de « trou noir » a émergé, dans le courant des années 1960, par l’intermédiaire du physicien américain Kip Thorne. Auparavant, on utilisait les termes de « corps de Schwarzschild » ou d’« astre occlus ». Le terme de « trou noir » a rencontré des réticences dans certaines communautés linguistiques, notamment francophones et russophones, qui le jugeaient quelque peu inconvenant.

Propriétés

 Un trou noir est un objet astrophysique comme un autre. Il se caractérise par le fait qu’il est très difficile à observer directement (voir ci-dessous), et que sa région centrale ne peut être décrite de façon satisfaisante par les théories physiques en leur état du début du XXIe siècle, car elle abrite une singularité gravitationnelle. Cette dernière ne peut être décrite que dans le cadre d’une théorie de la gravitation quantique, manquante à ce jour. Par contre, on sait parfaitement décrire les conditions physiques qui règnent dans son voisinage immédiat, de même que son influence sur son environnement, ce qui permet de les détecter par diverses méthodes indirectes.

Par ailleurs, les trous noirs sont étonnants en ce qu’ils sont décrits par un très petit nombre de paramètres. En effet, leur description, dans l’univers dans lequel nous vivons, ne dépend que de trois paramètres : la masse, la charge électrique et le moment cinétique. Tous les autres paramètres du trou noir (par exemple sa taille ou sa forme) sont fixés par ceux-là. Par comparaison, la description d’une planète fait intervenir des centaines de paramètres (composition chimique, différenciation de ses éléments, convection, atmosphère, etc.). La raison pour laquelle un trou noir n’est décrit que par ces trois paramètres est connue depuis 1967 : c’est le théorème de calvitie démontré par Werner Israel. Celui-ci explique que les seules interactions fondamentales à longue portée étant la gravitation et l’électromagnétisme, les seules propriétés mesurables des trous noirs sont données par les paramètres décrivant ces interactions, à savoir la masse, le moment cinétique et la charge électrique.

Pour un trou noir, la masse et la charge électrique sont des propriétés habituelles que décrit la physique classique (c’est-à-dire non-relativiste) : le trou noir possède un champ gravitationnel proportionnel à sa masse et un champ électrique proportionnel à sa charge. L’influence du moment cinétique est par contre spécifique à la relativité générale. Celle-là stipule en effet qu’un corps en rotation va avoir tendance à « entraîner » l’espace-temps dans son voisinage. Ce phénomène, non encore observé à l’heure actuelle dans le système solaire en raison de son extrême faiblesse pour des astres non compacts, est connu sous le nom d’effet Lense-Thirring (aussi appelé frame dragging, en anglais), Il prend une amplitude considérable au voisinage d’un trou noir en rotation, au point qu’un observateur situé dans son voisinage immédiat serait inévitablement entraîné dans le sens de rotation du trou noir. La région où ceci se produit est appelée ergorégion.

La masse d’un trou noir galactique correspond en général à environ un millième de la masse de la matière présente dans le bulbe central.

Quatre types théoriques possibles…

Un trou noir possède toujours une masse non nulle. En revanche, ses deux autres caractéristiques, à savoir le moment cinétique (rotation) et la charge électrique, peuvent en principe prendre des valeurs nulles (c’est-à-dire égales à zéro) ou non nulles. La combinaison de ces états permet de définir quatre types de trous noirs.

Quand la charge électrique et le moment cinétique sont nuls, on parle de trou noir de Schwarzschild, du nom de Karl Schwarzschild qui, le premier, a mis en évidence ces objets comme solutions des équations de la relativité générale (les équations d’Einstein), en 1916.

Quand la charge électrique est non nulle et le moment cinétique nul, on parle de trou noir de Reissner-Nordström. Ces trous noirs ne présentent pas d’intérêt astrophysique notable, car aucun processus connu ne permet de fabriquer un objet compact conservant durablement une charge électrique significative ; celle-ci se dissipe normalement rapidement par absorption de charges électriques opposées prises à son environnement. Un trou noir de Reissner-Nordström est donc un objet théorique très improbable dans la nature.

Si le trou noir possède un moment cinétique (c’est-à-dire qu’il est en rotation sur lui-même) mais n’a pas de charge électrique, on parle de trou noir de Kerr, du nom du mathématicien néo-zélandais Roy Kerr qui a trouvé la formule décrivant ces objets en 1963. Contrairement aux trous noirs de Reissner-Nordström et de Schwarzschild, les trous noirs de Kerr présentent un intérêt astrophysique considérable, car les modèles de formation et d’évolution des trous noirs indiquent que ceux-ci ont tendance à absorber la matière environnante par l’intermédiaire d’un disque d’accrétion dans lequel la matière tombe en spiralant toujours dans le même sens dans le trou noir. Ainsi, la matière communique du moment cinétique au trou noir qui l’engloutit. Les trous noirs de Kerr sont donc les seuls que l’on s’attend réellement à rencontrer en astronomie. Cependant, il reste possible que des trous noirs à moment cinétique très faible, s’apparentant en pratique à des trous noirs de Schwarzschild, existent.

La version électriquement chargée du trou noir de Kerr, dotée comme lui d’une rotation, est connue sous le nom de trou noir de Kerr-Newman et ne présente comme le trou noir de Reissner-Nordström ou celui de Schwarzschild que peu d’intérêt astrophysique eu égard à sa très faible probabilité.

… Et une multitude d’autres

D’un point de vue théorique, il peut exister une multitude d’autres types de trous noirs avec des propriétés différentes. Par exemple, il existe un analogue du trou noir de Reissner-Nordström, mais en remplaçant la charge électrique par une charge magnétique, c’est-à-dire créée par des monopôles magnétiques, dont l’existence reste extrêmement hypothétique à ce jour. On peut de même généraliser le concept de trou noir à des espaces comprenant plus de trois dimensions. Ceci permet d’exhiber des types de trous noirs ayant des propriétés parfois différentes de celles des trous noirs présentés ci-dessus.

Horizon des événements

La zone sphérique qui délimite la région d’où lumière et matière ne peuvent s’échapper, est appelée « horizon des événements ». On parle parfois de « surface » du trou noir, quoique le terme soit quelque peu impropre (il ne s’agit pas d’une surface solide ou gazeuse comme la surface d’une planète ou d’une étoile). Il ne s’agit pas d’une région qui présente des caractéristiques particulières : un observateur qui franchirait l’horizon ne ressentirait rien de spécial à ce moment-là (voir ci-dessous). Par contre, il se rendrait compte qu’il ne peut plus s’échapper de cette région s’il essayait de faire demi-tour. C’est une sorte de point de non retour. En substance, c’est une situation qui est un peu analogue à celle d’un baigneur qui s’éloignerait de la côte. Si par exemple le baigneur ne peut nager que deux kilomètres, il ne ressentira rien s’il s’éloigne à plus d’un kilomètre de la côte. Par contre, s’il fait demi-tour, il se rendra compte qu’il n’a pas assez d’énergie pour atteindre la rive.

En revanche, un observateur situé au voisinage de l’horizon remarquera que le temps s’écoule différemment pour lui et pour un observateur situé loin du trou noir. Si ce dernier lui envoie des signaux lumineux à intervalles réguliers (par exemple une seconde), alors l’observateur proche du trou noir recevra des signaux plus énergétiques (la fréquence des signaux lumineux sera plus élevée, conséquence du décalage vers le bleu subi par la lumière qui tombe vers le trou noir), et les intervalles de temps séparant deux signaux consécutifs seront plus rapprochés (moins d’une seconde, donc). Cet observateur aura donc l’impression que le temps s’écoule plus vite pour son confrère resté loin du trou noir que pour lui. À l’inverse, l’observateur resté loin du trou noir verra son collègue évoluer de plus en plus lentement, le temps chez celui-ci donnant l’impression de s’écouler plus lentement.

Si l’observateur distant voit un objet tomber dans un trou noir, les deux phénomènes de dilatation du temps et de décalage vers le rouge vont se combiner. Les éventuels signaux émis par l’objet seront de plus en plus rouges, de moins en moins lumineux (la lumière émise perd de plus en plus d’énergie avant d’arriver à l’observateur lointain), et de plus en plus espacés. En pratique, le nombre de photons reçus par l’observateur distant va décroître très rapidement, jusqu’à devenir nul : à ce moment-là l’objet en train de chuter dans le trou noir est devenu invisible. Même si l’observateur distant tente d’approcher l’horizon en vue de récupérer l’objet qu’il a eu l’impression de voir s’arrêter juste avant l’horizon, celui-ci demeurera invisible[12].

Pour un observateur s’approchant d’une singularité, ce sont les effets de marée qui vont devenir importants. Ces effets, qui déterminent les déformations d’un objet (le corps d’un astronaute, par exemple) du fait des hétérogénéités du champ gravitationnel, seront inéluctablement ressentis par un observateur s’approchant de trop près d’un trou noir ou d’une singularité. La région où ces effets de marée deviennent importants est entièrement située dans l’horizon pour les trous noirs supermassifs, mais empiète notablement hors de l’horizon pour des trous noirs stellaires[13]. Ainsi, un observateur s’approchant d’un trou noir stellaire serait déchiqueté avant de passer l’horizon, alors que le même observateur qui s’approcherait d’un trou noir supermassif passerait l’horizon sans encombre. Il serait tout de même inéluctablement détruit par les effets de marée en s’approchant de la singularité.

Singularité

Au centre d’un trou noir se situe une région dans laquelle le champ gravitationnel et les distorsions de l’espace (on parle plutôt de courbure de l’espace) deviennent infinis. Cette région s’appelle une singularité gravitationnelle. La description de cette région est délicate dans le cadre de la relativité générale puisque celle-ci ne peut décrire des régions où la courbure devient infinie.

De plus, la relativité générale est une théorie qui ne peut pas incorporer en général des effets gravitationnels d’origine quantique. Or quand la courbure tend vers l’infini, on peut montrer que celle-ci est nécessairement sujette à des effets de nature quantique. Par conséquent, seule une théorie de la gravitation incorporant tous les effets quantiques (on parle alors de gravitation quantique) est en mesure de décrire correctement les singularités gravitationnelles.

La description d’une singularité gravitationnelle est donc pour l’heure problématique. Néanmoins, tant que celle-ci est située à l’intérieur d’un trou noir, elle ne peut influencer l’extérieur d’un trou noir, de la même façon que de la matière située à l’intérieur d’un trou noir ne peut en ressortir. Ainsi, aussi mystérieuses que soient les singularités gravitationnelles, notre incapacité à les décrire, signe de l’existence de limitations de la relativité générale à décrire tous les phénomènes gravitationnels, n’empêche pas la description des trous noirs pour la partie située de notre côté de l’horizon des événements.

Formation des trous noirs

 La possibilité de l’existence des trous noirs n’est pas une conséquence exclusive de la relativité générale : la quasi-totalité des autres théories de la gravitation physiquement réalistes permet également leur existence. La relativité générale, à l’instar de la plupart de ces autres théories de la gravité, non seulement prédit que les trous noirs peuvent exister, mais aussi qu’ils seront formés partout où suffisamment de matière peut être compactée dans une région de l’espace. Par exemple, si l’on compressait le Soleil dans une sphère d’environ trois kilomètres de rayon (soit à peu près quatre millionièmes de sa taille), il deviendrait un trou noir. Si la Terre était compressée dans un volume de quelques centimètres cube, elle deviendrait également un trou noir.

Pour l’astrophysique, un trou noir peut être considéré comme le stade ultime d’un effondrement gravitationnel. Les deux stades de la matière qui, en termes de compacité, précèdent l’état de trou noir, sont ceux atteints par exemple par les naines blanches et les étoiles à neutrons. Dans le premier cas, c’est la pression de dégénérescence des électrons qui maintient la naine blanche dans un état d’équilibre face à la gravité. Dans le second, il ne s’agit pas de la pression de dégénérescence des nucléons, mais de l’interaction forte qui maintient l’équilibre. Un trou noir ne peut se former suite à l’effondrement d’une naine blanche : celle-ci, en s’effondrant initie des réactions nucléaires qui forment des nucléons plus lourds que ceux qui la composent. Ce faisant, le dégagement d’énergie qui en résulte est suffisant pour disloquer complètement la naine blanche, qui explose en supernova dite thermonucléaire (ou de type Ia).

Un trou noir se forme lorsque la force de gravité est suffisamment grande pour dépasser l’effet de la pression, chose qui se produit quand l’astre progéniteur dépasse une certaine masse critique. Dans ce cas, plus aucune force connue ne permet de maintenir l’équilibre, et l’objet en question s’effondre complètement. En pratique, plusieurs cas de figures sont possibles : soit une étoile à neutrons accrète de la matière issue d’une autre étoile, jusqu’à atteindre une masse critique, soit elle fusionne avec une autre étoile à neutron (phénomène a priori beaucoup plus rare), soit le cœur d’une étoile massive s’effondre directement en trou noir.

L’hypothèse de l’existence d’un état plus compact que celui d’étoile à neutrons a été proposée dans le courant des années 1980 ; ce serait celui des étoiles à quarks aussi appelées étoiles étranges en raison du nom donné pour des raisons historiques à certains des quarks constituant l’objet, appelés « quarks étranges ». Des indications d’une possible détection indirecte de tels astres ont été obtenues depuis le courant des années 1990, sans trancher pour autant définitivement la question, mais cela ne change rien au fait qu’au-delà d’une certaine masse ce type d’astre finit par s’effondrer en trou noir, seule la valeur de la masse limite change.

En 2006, on distingue quatre grandes classes de trous noirs en fonction de leur masse : les trous noirs stellaires, supermassifs, intermédiaires et primordiaux (ou micro trous noirs). L’existence voire l’abondance de chaque type de trou noir est directement liée à la possibilité de leur formation.

Trous noirs stellaires

Illustration de la formation de jets. Au sein d’un système binaire composé d’un trou noir et d’une étoile, cette dernière voit son gaz arraché et aspiré vers le trou noir. En s’approchant, le gaz engendre un disque d’accrétion qui fournit lui même la matière dont est composé le jet.

  

Un trou noir de la masse du soleil aurait un diamètre de 2 kilomètres. Les trous noirs stellaires ont une masse d’au moins quelques masses solaires. Ils naissent à la suite de l’effondrement gravitationnel du résidu des étoiles massives (environ dix masses solaires et plus, initialement). En effet, lorsque la combustion par les réactions thermonucléaires dans le cœur de l’étoile massive se termine, faute de carburant, une supernova se produit. Cette dernière peut laisser derrière elle un cœur qui continue à s’effondrer rapidement.

En 1939, Robert Oppenheimer a montré que si ce cœur a une masse supérieure à une certaine limite (appelée limite d’Oppenheimer-Volkoff, et égale à environ 3,3 masses solaires), la force gravitationnelle l’emporte définitivement sur toutes les autres forces et un trou noir se forme.

L’effondrement vers un trou noir est susceptible d’émettre des ondes gravitationnelles, qui devraient être détectées dans un futur proche avec des instruments tels que le détecteur Virgo de Cascina en Italie, ou avec les deux interféromètres américains de LIGO. Les trous noirs stellaires sont aujourd’hui observés dans les binaires X et les microquasars et sont responsables parfois de l’apparition de jets tels que ceux observés dans certains noyaux actifs de galaxies.

Trous noirs supermassifs

Les trous noirs supermassifs ont une masse comprise entre quelques millions et quelques milliards de masses solaires. Ils se trouvent au centre des galaxies et leur présence provoque parfois l’apparition de jets et du rayonnement X. Les noyaux de galaxies qui sont ainsi plus lumineux qu’une simple superposition d’étoiles sont alors appelés noyaux actifs de galaxies.

Notre galaxie, la Voie lactée, contient un tel trou noir, ainsi qu’il a été démontré par l’observation des mouvements extrêmement rapides des étoiles proches du trou noir. En particulier, une étoile nommée S2 a pu être observée lors d’une révolution complète autour d’un objet sombre non détecté en moins de onze ans. L’orbite elliptique de cette étoile l’a amenée à moins de vingt unités astronomiques de cet objet (soit une distance de l’ordre de celle Uranus-Soleil), et la vitesse à laquelle l’orbite est parcourue permet d’assigner une masse d’environ 2,3 millions de masses solaires pour l’objet sombre autour duquel elle gravite. Aucun modèle autre que celui d’un trou noir ne permet de rendre compte d’une telle concentration de matière dans un volume aussi restreint.

Le télescope Chandra a également permis d’observer au centre de la galaxie NGC 6240 deux trous noirs supermassifs en orbite l’un autour de l’autre. La formation de tels géants est encore débattue, mais certains pensent qu’ils se sont formés très rapidement au début de l’univers.

Trous noirs intermédiaires

Les trous noirs intermédiaires sont des objets récemment découverts et ont une masse entre 100 et10 000 masses solaires. Dans les années 1970, les trous noirs de masse intermédiaire étaient supposés se former dans le cœur des amas globulaires mais aucune observation ne venait soutenir cette hypothèse. Des observations dans les années 2000 ont montré l’existence de sources de rayons X ultralumineuses (Ultra-luminous X-ray source en anglais, ou ULX). Ces sources ne sont apparemment pas associées au cœur des galaxies où l’on trouve les trous noirs supermassifs. De plus, la quantité de rayons X observée est trop importante pour être produite par un trou noir de 20 masses solaires, accrétant de la matière avec un taux égal à la limite d’Eddington (limite maximale pour un trou noir stellaire).

Trous noirs primordiaux

Les trous noirs primordiaux, aussi appelés micro trous noirs ou trous noirs quantiques, auraient une taille très petite. Ils se seraient formés durant le Big Bang (d’où l’appellation trou noir « primordial »), suite à l’effondrement gravitationnel de petites surdensités dans l’univers primordial. Dans les années 1970, les physiciens Stephen Hawking et Bernard Carr ont étudié un mécanisme de formation des trous noirs dans l’univers primordial. Ils avancèrent l’idée d’une profusion de mini-trous noirs, minuscules par rapport à ceux envisagés par la formation stellaire. La densité et la répartition en masse de ces trous noirs ne sont pas connues et dépendent essentiellement de la façon dont se produit une phase d’expansion rapide dans l’univers primordial, l’inflation cosmique. Ces trous noirs de faible masse émettent s’ils existent un rayonnement gamma qui pourrait éventuellement être détecté par des satellites comme INTEGRAL. La non détection de ce rayonnement permet de mettre des limites supérieures sur l’abondance et la répartition en masse de ces trous noirs.

Selon certains modèles de physique des hautes énergies, il pourrait être possible de créer des mini-trous noirs similaires en laboratoire, dans des accélérateurs de particules comme le LHC, installé près de Genève, en Suisse.

En 2005, Frans Pretorius est parvenu à simuler la fusion complète de deux trous noirs ; la phase finale de ce processus est plus simple qu’on l’imaginait et surtout plus courte : de l’ordre de la milliseconde.

Les deux seules classes de trous noirs pour lesquelles on dispose d’observations nombreuses (indirectes, mais de plus en plus précises, voir paragraphe suivant) sont les trous noirs stellaires et supermassifs. Le trou noir supermassif le plus proche est celui qui se trouve au centre de notre Galaxie à environ 8 kilo-parsecs.

Une des premières méthodes de détection d’un trou noir est la détermination de la masse des deux composantes d’une étoile binaire, à partir des paramètres orbitaux. On a ainsi observé des étoiles de faible masse avec un mouvement orbital très prononcé (amplitude de plusieurs dizaines de km/s), mais dont le compagnon est invisible. Le compagnon massif invisible peut généralement être interprété comme une étoile à neutrons ou un trou noir puisqu’une étoile normale avec une telle masse se verrait très facilement. La masse du compagnon (ou la fonction de masses, si l’angle d’inclinaison est inconnu) est alors comparée à la masse limite maximale des étoiles à neutrons (environ 3,3 masses solaires). Si elle dépasse cette limite, on considère que l’objet est un trou noir. Sinon, il peut être une naine blanche.

On considère également que certains trous noirs stellaires apparaissent lors des sursauts de rayons gamma (ou GRB, pour gamma-ray burst en anglais). En effet, ces derniers se formeraient via l’explosion d’une étoile massive (comme une étoile Wolf-Rayet) en supernova, et que dans certains cas (décrits par le modèle collapsar), un flash de rayons gamma est produit au moment où le trou noir se forme. Ainsi, un GRB[29]pourrait représenter le signal de la naissance d’un trou noir. Des trous noirs de plus faible masse peuvent aussi être formés par des supernovae classiques. Le rémanent de la supernova 1987A est soupçonné d’être un trou noir, par exemple.

Un deuxième phénomène directement relié à la présence d’un trou noir, cette fois pas seulement de type stellaire, mais aussi supermassif, est la présence de jets observés principalement dans le domaine des ondes radio. Ces jets résultent des changements de champ magnétique à grande échelle se produisant dans le disque d’accrétion du trou noir.

Vers l’observation directe ?

La petite taille d’un trou noir stellaire (quelques kilomètres) rend son observation directe impossible. En guise d’exemple, et même si la taille angulaire d’un trou noir est plus grande que celle d’un objet classique de même rayon, un trou noir d’une masse solaire et situé à un parsec (environ 3,26 années-lumière) aurait un diamètre angulaire de 0,1 micro seconde d’arc. Cependant, la situation est plus favorable pour un trou noir supermassif. En effet, la taille d’un trou noir est proportionnelle à sa masse. Le trou noir du centre galactique a une masse, bien estimée, d’environ 3,6 millions de masses solaires. Son rayon de Schwarzschild est donc d’environ 11 millions de kilomètres. La taille angulaire de ce trou noir, situé à environ 8,5 kiloparsecs est de l’ordre de 40 microsecondes d’arc. Cette résolution est inaccessible dans le domaine visible, mais est assez proche des limites actuellement atteignables en interférométrie radio. La technique de l’interférométrie radio, avec une sensibilité suffisante, est limitée en fréquence au domaine millimétrique. Un gain d’un ordre de grandeur en fréquence permettrait une résolution meilleure que la taille angulaire du trou noir. L’imagerie directe du trou noir du centre galactique est donc envisageable dans les années qui viennent. Le trou noir supermassif situé au centre de la galaxie M87 est environ 2 000 fois plus éloigné (18,7 Mpc), mais estimé près de 1 000 fois plus massif. Ce trou noir pourrait ainsi devenir le second trou noir imagé après celui de la Voie Lactée.

Exemples de trous noirs stellaires

Cygnus X-1, détecté en 1965, est le premier objet astrophysique connu contenant un trou noir. C’est un système binaire constitué d’un trou noir en rotation et d’une étoile géante.

Les systèmes binaires stellaires qui contiennent un trou noir avec un disque d’accrétion formant des jets sont appelés microquasars, en référence à leurs parents extragalactiques : les quasars. Les deux classes d’objets partagent en fait les mêmes processus physiques. Parmi les microquasars les plus étudiés, on notera GRS 1915+105, découvert en 1994 pour avoir des jets supraluminiques. Un autre cas de tels jets fut détecté dans le système GRO J1655-40. Mais sa distance est sujette à controverse et ses jets pourraient ne pas être supraluminiques. Notons aussi le microquasar très spécial SS 433, qui a des jets persistants en précession, et où la matière se déplace par paquets à des vitesses de quelques fractions de la vitesse de la lumière.

Exemples de trous noirs supermassifs

Les candidats trous noirs supermassifs ont premièrement été les noyaux actifs de galaxie et les quasars découverts par les radioastronomes dans les années 1960. Cependant, les observations les plus convaincantes de l’existence de trous noirs supermassifs sont celles des orbites des étoiles autour du centre galactique appelé Sagitarius A*. L’orbite de ces étoiles et les vitesses atteintes, ont permis aujourd’hui d’exclure tout autre type d’objet qu’un trou noir supermassif à cet endroit de la galaxie. Par la suite, des trous noirs supermassifs ont été détectés dans de nombreuses autres galaxies.

En février 2005, une étoile géante bleue, appelée SDSS J090745.0+024507 fut observée quittant notre galaxie avec une vitesse deux fois supérieure à la vitesse de libération de la Voie lactée, soit 0,0022 fois la vitesse de la lumière. Quand on remonte la trajectoire de cette étoile, on voit qu’elle croise le voisinage immédiat du centre galactique. Sa vitesse et sa trajectoire confortent donc également l’idée de la présence d’un trou noir supermassif à cet endroit dont l’influence gravitationnelle aurait provoqué l’éjection de cette étoile de la Voie Lactée.

En novembre 2004, une équipe d’astronomes a rapporté la découverte du premier trou noir de masse intermédiaire dans notre galaxie et orbitant à seulement trois années-lumière du centre galactique. Ce trou noir aurait une masse d’environ 1 300 masses solaires et se trouve dans un amas de seulement sept étoiles. Cet amas est probablement le résidu d’un amas massif d’étoiles qui a été dénudé par la présence du trou noir central[32]. Cette observation conforte l’idée que les trous noirs supermassifs grandissent en absorbant des étoiles et autres trous noirs, qui pourra être confirmée par l’observation directe des ondes gravitationnelles émises par ce processus, par l’intermédiaire de l’interféromètre spatial LISA.

En juin 2004, des astronomes ont trouvé un trou noir supermassif, appelé Q0906+6930, au centre d’une galaxie lointaine d’environ 12,7 milliards d’années-lumière, c’est-à-dire lorsque l’univers était encore très jeune[33]. Cette observation montre que la formation des trous noirs supermassifs dans les galaxies est un phénomène relativement rapide.

Trous noirs et trous de ver

Schéma d’un trou de ver.

La relativité générale indique qu’il existerait des configurations dans lesquelles deux trous noirs sont reliés l’un à l’autre. Une telle configuration est habituellement appelée trou de ver ou plus rarement pont d’Einstein-Rosen. De telles configurations ont beaucoup inspiré les auteurs de science-fiction (voir par exemple les références de la section Culture populaire) car elles proposent un moyen de voyager très rapidement sur de grandes distances, voire voyager dans le temps. En pratique, de telles configurations, si elles sont autorisées par la relativité générale, semblent totalement irréalisables dans un contexte astrophysique, car aucun processus connu ne semble permettre la formation de tels objets.