GÖDEL MON ARTICLE 3 L’INCOMPLÉTUDE PARTIE 1


http://ll.univ-poitiers.fr/llappli/wordpress/connaissez-vous-le-nombre-aleatoire-omega/

Connaissez-vous le nombre aléatoire Oméga de Chaïtin?

1) Rappels Mon article 1  Je relis avec attention le livre de Pierre Cassou-Noguès et j’en donne ici « ma lecture ». En préambule, j’évoque mon questionnement sur les dangers de l’intelligence artificielle et les crises que l’humanité est en train de vivre, avec en particulier, la crise sanitaire qui s’est déclenchée en 2020 m’amènent à me réinterroger sur la signification des théorèmes de Gôdel et de sa folie dont on a tant parlé. (voir aussi l’article de mon blog « Le cerveau numérique et le danger du transhumanisme » et l’avis de Philippe Guillemant dans NEXUS « La principale finalité de la vaccination n’est pas sanitaire« ).En résumé de l’article: L’ambition philosophique de Gödel, mais qui en même temps son aveu d’échec. L’ambition est de transformer la philosophie. Celle-ci doit, en premier lieu, devenir une véritable théorie, comme les théories scientifiques. En deuxième lieu, la seconde transformation concerne son domaine que Gödel entend déplacer de la matière vers l’esprit. Et ceci contrairement à l’esprit du temps, empêtré dans ses préjugés matérialistes. Il entend « spiritualiser » la matière, puisque les choses ne sont faites que de monades. Cela donne alors la possibilité d’inclure dans le domaine de la philosophie la référence à d’autres esprits, Dieu, les anges et … d’autres mondes. Ce projet qui semble faire de la philosophie une science fantastique est au coeur de l’opposition de Gödelau cercle de Vienne, qui dit que « la philosophie n’a rien à dire sur le monde« . La métaphysique telle que Gödel l’envisage a donc deux sources: la science, dont elle doit prendre la forme, et une religiosité qu’on peut dire fantastique. Mais Gödel n’aboutit pas et cette philosophie rigoureuse ne se trouve pas dans les notes qu’il nous a laissé. On ne trouve que des remarques, notes, passages courts, mais qui ne font pas système. Gödel est bien conscient qu’il ne laisse que ces remarques et il conseille Wang pour la présentation de ses notes. Terminons cet article sur la « folie » de Gödel en évoquant le fantastique ou le mystérieux. « Il y a d’autres mondes et d’autres êtres rationnels d’une espèce différente et plus élevée [ que l’espèce humaine].

Mon article 2: La réalité des objets immatériels, le platonisme de Gödel-L’œil pinéal. « On perd la raison comme on perd la perception sensible « Pour commencer l’article, évoquons Wang_Hao_(logicien) qui a longuement parlé de Gödel dans ses livres Réflexions sur Kurt Gödel et « a logical journey » (de Gödel à la philosophie). – Le platonisme. Dans le chapitre 2 (le platonisme), Cassou Noguès va essayer d’étayer l’hypothèse que Gödel aurait entendu les anges avant de voir les objets mathématiques .-Différentes sortes d’objets. Si nous donnons une réalité aux objets littéraires, il faut les placer dans notre monde où, apparemment ils ne sont pas. Les objets mathématiques ne donnent pas lieu à cette difficulté, car ils s’inscrivent dans le monde des idées. –Le mathématicien et le docteur Watson. Comment le narrateur peut-il parles d’objets qu’il semble considérer comme dotés d’une réalité différente de la sienne? Comment a t-il accès à ce plan de réalité? Et comment pouvons-nous le croire lorsqu’il parle de ces objets? -L’argument de Gödel. Gödel a plusieurs arguments que Cassou Noguès passe en revue dans Gödel and the question of the Objective Existence of Mathematical Objects. Mais il revient presque toujours, à partir des années 1950 au même argument qu’il formule dans la plus grande généralité. L’idée est la suivante: un objet qui possède des propriétés que nous ne connaissons pas ne peut pas avoir été créé par nous de façon consciente à partir de rien -Descartes et la psychanalyse.  Borges, les rêves et la réalité des fictions.-Les mathématiques comme rêve. -Retour sur l’œil de la pensée . -Diverses spéculations – intuition et perception sensible – la raison comme 6è sens voir La psychose angélique de Gödel (Lacan et le théorème de l’incomplétude) -De soudaines illuminations. Hypothèses de Pierre Cassou Noguès. La structure du monde dont on a vu que Gödel l’imagine persécutant les philosophes « illuminés » n’est sans doute pour lui qu’un dernier rempart qu’il s’est constitué pour s’interdire la folie nous confie Cassou Noguès. L’œil serait l’organe qui marque dans le corps humain une folie toujours possible. Il serait le point mystérieux où non seulement un esprit mais un cerveau humain peut interrompre son fonctionnement normal pour basculer dans une folie complète. 

Mon article 3 L’incomplétude partie 1:
2) Incomplétude et hypnose.
https://www.science-et-vie.com/technos-et-futur/l-i.a.-se-prend-le-mur-de-godel-51845                        C’est un danger invisible mais intrinsèque aux intelligences artificielles : il est impossible de savoir avec certitude si elles feront bien ce qu’on leur a appris. Théorisée grâce aux travaux du logicien Kurt Gödel, cette « indécidabilité » menace, selon Roman Ikonicoff, l’avenir même des IA[…] Le théorème d’incomplétude de Gödel (photo) démontre que la plupart des systèmes formels peuvent formuler des énoncés corrects qui ne sont ni démontrables ni infirma-bles dans le système : des énoncés « indécidables »

2-1) Les théorèmes d’incomplétude.

« Gödel avait peur d’être fou et que ces pensées infirmes, inconscientes, dont il faut remplir l’esprit, si on accepte le cadre d’une monadologie, se développent d’elles-mêmes, sans contrôle« . Gödel pourrait ne plus être Gödel mais un autre, inconnu et agir sur l’influence d’un autre. L’aurait-t-on hypnotisé à son insu? Ces peurs pourraient-elles préfigurer des réflexions comme celles de Michel Bitbol: la conscience a-t-elle une origine?.  Pour Pierre Cassou Noguès, cette peur s’exprime dans le théorème d’incomplétude dont voici son interprétation. Avant de donner d’autre énoncés et interprétations, cet essai de Cassou Noguès veut lier l’incomplétude aux peurs et à la métaphysique fantastique que Gödel développera par la suite. Il faut partir du programme par lequel David Hilbert dans les années 1920 veut donner un fondement aux mathématiques et en premier lieu, à la théorie la plus simple; l’arithmétique. Dans le site bibmath.net on lit: « L’un des buts de Hilbert, au début du XXè s, était de créer des théories mathématiques formelles, c’est-à-dire avoir :un ensemble de règles qui permettent d’écrire des formules.
un ensemble d’axiomes, c’est-à-dire de formules vraies (à comprendre : que l’on pose comme vraies).
un ensemble de règles d’inférence, c’est-à-dire de moyens de transformer une formule en une autre, de sorte que l’on puisse à partir de théorèmes ou d’axiomes en déduire de nouveaux. Tout cela devait être assez précis pour qu’un automate puisse réaliser les déductions mécaniquement. L’idée d’Hilbert était que les mathématiciens ne se laissent plus aveugler par leur intuition. Par exemple, en géométrie, il est tentant de se conforter à l’observation, et le 5ème axiome d’Euclide :  » Par un point, il passe une parallèle à une autre droite et une seule » semble évident. Pourtant, au cours du XIXè s, Lobachevsky notamment a réussi à construire des géométries ne respectant pas cet axiome.
Un système formel (au sens précédent) est dit consistant si on ne peut pas démontrer une formule et son contraire. Il est dit complet si pour toute formule du système formel, il existe un processus de transformation qui permet de prouver qu’elle est vraie ou fausse. »

L’arithmétique est d’abord une théorie naïve, que l’on apprend à l’école. mais dans laquelle les démonstrations ne sont pas rigoureuses. Cette théorie naïve doit être formalisée. On établit des axiomes, on fixe des règles indiquant comment déduire une formule d’une ou plusieurs autres. Comme Hilbert l’avait préconisé, l’arithmétique et l’ensemble des mathématiques a été formalisé. D’une certaine façon, tout s’y fait sans que l’on ait à penser au sens des formules. Il suffit pour vérifier une démonstration, de s’assurer, symbole après symbole, que les formules de départ sont des axiomes et que chaque inférence « exemplifie » l’une des règles convenues. Il suffit de considérer les symboles de la démonstration; de les comparer aux symboles des axiomes et à ceux des schémas d’inférence. C’est un peu comme la natation, le corps s’est habitué à des gestes  Quand mon cerveau fait de l’arithmétiqueje peux penser à autre chose ou en fait penser à ce que fait mon cerveau. Je n’utilise que des raisonnements très simples dont je peux vérifier moi-même chaque étape. Ces raisonnements sur les suites de formules que produit mon cerveau constituent alors ce qu’on appelle la logique mathématique ou métamathématique. C’est en gros, dit Cassou Noguès, le programme de Hilbert (tel que l’interprète Nicolas Lusin (sur les voies de la théorie des ensembles). Le programme de Hilbert:

[. ..] En 1920, il propose explicitement un programme de recherche en métamathématique qui sera connu plus tard sous le nom de programme de Hilbert. Il souhaite que les mathématiques soient solidement et complètement formulées en s’appuyant sur la logique. Hilbert croit que c’est possible, car :

  1. toutes les mathématiques découlent d’un ensemble fini d’axiomes correctement choisis ;
  2. il peut être démontré que cet ensemble est cohérent.

Il semble que Hilbert s’appuie sur des arguments à la fois techniques et philosophique pour proposer un tel programme. Il affirme qu’il déteste l’ignorabimus relativement courant dans la pensée allemande de l’époque (dont l’on peut retracer la formulation à Emil du Bois-Reymond).

https://www.youtube.com/watch?v=82jOF4Q6gBU

Mais Gödel refuse avant tout que ce soit le cerveau qui fasse les mathématiques. Au fond, le programme de Hilbert suppose que les démonstrations n’ont pas de sens et ne sont qu’un jeu de symboles qui agit et accomplit de lui-même, mais ne pense pas. Gödel répond « Non, l’arithmétique a un sens: ce n’est donc pas mon cerveau mais bien moi; le mathématicien« . Mais il y a une difficulté: il est impossible de penser deux choses à la fois (aux démonstrations arithmétiques et à cette métamathématiques dans laquelle je raisonne sur les démonstrations arithmétiques). Cependant, il y a une nouvelle possibilité que Hilbert ne pouvait imaginer: traduire la métamathématique dans l’arithmétique. Dans la perspective de Hilbert, qui supposait que l’arithmétique n’avait pas de sens, c’était absurde de chercher à traduire cette métamathématique qui exigeait que l’on conduise effectivement chaque raisonnement, puisqu’on supposait que l’arithmétique n’avait pas de sens. En revanche, si l’arithmétique a un sens, on peut raisonner sur ses démonstrations grâce à un appareil conceptuel dans lequel on a inventé des prédicats pour les appliquer aux formules que (croyait-on) produisait le cerveau. Par exemple, le prédicat « être une formule démontrable » s’applique avec vérité à une formule si celle-ci est la conclusion d’une démonstration possible. « Etre une démonstration » s’applique à une suite de formules dont on vérifie qu’elle commence par des axiomes, qu’elle respect les règles d’inférence, et si c’est le cas, on conclut que c’est bien une démonstration. Gödel traduit les propriétés métamathématiques qui s’appliquent aux formules et démonstrations arithmétiques par des propriétés arithmétiques, qu’il code par des entiers. Ainsi, au lieu de se couper l’esprit en deux, comme on ne peut pas penser deux choses en même temps. il s’arrange pour que les formules arithmétiques disent deux choses à la fois: elles ont un sens propre et un sens métamathématique.Il devient alors assez facile de construire une formule arithmétique I qui traduit l’assertion métamathématique « I n’est pas démontrable ». Mais si I était démontrable dans l’arithmétique, elle serait vraie, ce qui signifierait au niveau métamathématique que I n’est pas démontrable. Inversement, si I était réfutable dans l’arithmétique (c.a.d sa négation démontrable), elle serait fausse, ce qui signifierait au niveau métamathématique que I est démontrable. En conséquence, si l’arithmétique est consistante, et que l’on ne peut pas démontrer une proposition et sa négation, I n’est ni démontrable ni réfutable: elle est indécidable dans l’arithmétique. Celle-ci telle qu’elle a été formalisée est incomplète. C’est le premier théorème de Gödel. Le premier des deux théorèmes énonce qu’une théorie suffisante pour faire de l’arithmétique est nécessairement incomplète, au sens où il existe forcément des énoncés qui ne sont pas démontrables et dont la négation n’est pas non plus démontrable : c’est-à-dire qu’il existe des énoncés sur lesquels on sait qu’on ne pourra jamais rien dire dans le cadre de cette théorie. De tels énoncés sont dits indécidables. On dit également indépendants de la théorie.Le second théorème d’incomplétude est à la fois un corollaire et une formalisation d’une partie de la preuve du premier. Il traite le problème des preuves de cohérence d’une théorie : une théorie est cohérente s’il existe des énoncés qui n’y sont pas démontrables (ou, ce qui revient au même, si on ne peut y démontrer A et non A) ; par exemple on exprime souvent la cohérence de l’arithmétique par le fait que l’énoncé 0 = 1 n’y est pas démontrable (sachant que bien entendu 0 ≠ 1 l’est). Sous des hypothèses à peine plus fortes que celles du premier théorème, on peut construire un énoncé exprimant la cohérence d’une théorie dans le langage de celle-ci. Le second théorème affirme alors que si la théorie est cohérente cet énoncé ne peut pas en être conséquence, ce que l’on peut résumer par : «une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence».On ne peut pas prouver la non-contradiction de l’arithmétique par des raisonnements qui s’expriment dans l’arithmétique. Il faut des raisonnements qui dépassent l’arithmétique et ce ne sont plus des raisonnements immédiatement vérifiables par lesquels Hilbert voulait fonder l’arithmétique. Le programme de Hilbert est ruiné. 

2-2) Le mathématicien et le méta-mathématicien.Imaginons maintenant (avec Cassou Noguès) ce qui se passe dans l’esprit du mathématicien: Je fais de l’arithmétique. Mes formules ont double sens. Je me concentre sur mes démonstrations. Je réfléchis à la portée de mes théorèmes et je ne me préoccupe pas d’un autre sens que ces énoncés pourraient avoir. Je cherche à démontrer la formule I, puis je cherche à la réfuter. Je n’y arrive pas parce que dans l’arithmétique il ne se trouve ni preuve ni réfutation. Mais en fait, je ne le sais pas. Je ne comprend pas, en étant seulement arithméticien que cette formule dit elle-même qu’elle n’est pas démontrable. Ce second sens s’adresse à un autre en moi, le méta-mathématicien. Or Gödel a cessé d’être ce méta-mathématicien au moment où il a refusé de laisser son cerveau faire de l’arithmétique tout seul et donner un sens à ses formules (on a vu qu’au fond, le programme de Hilbert supposait que les démonstrations n’ont pas de sens et ne sont qu’un jeu de symboles qui agit et accomplit de lui-même). Du reste, Gödel s’imagine que ce méta-mathématicien l’observe alors qu’il est en train de démontrer la proposition I. Non seulement ce dernier comprend que cette démonstration est impossible dans l’arithmétique, et que I est indécidable pour lui, mais il se rend compte en même temps que la proposition I est vraie, puisque pour lui, elle signifie « I n’est pas démontrable » et que, en effet, elle ne l’est pas. Pour résumer: Gödel fait de l’arithmétique, comme le cerveau du programme de Hilbert, et pendant ce temps, un autre en lui, le méta-mathématicien, donne un sens différent à ses formules et détermine leur vérité sans que lui, plongé dans l’arithmétique, ne s’en rende compte. Et c’est ce que Gödel craint. Il a peur d’avoir été hypnotisé à son insu. Il se méfie d’un autre Gödel qui le conduirait faire des gestes qui auraient un sens et un but que lui, le vrai Gödel ne comprendrait pas. Et c’est ce qui arrive au mathématicien dans le théorème d’incomplétude. Le monde de Gödel est un cauchemar où, ce que que l’on craint le plus se réalise toujours. En arithmétique, en tout cas, Gödel n’aura de cesse d’éliminer cet autre, le méta-mathématicien qui décide des phrases que le mathématicien laisse in-décidées. Alors une position face à ce dilemme est d’ajouter de nouveaux axiomes pour rendre ces propositions démontrables. Mais dans le nouveau système on se retrouve face au même problème avec de nouvelles propositions qui restent indécidables. Ajoutons de nouveaux axiomes? Toute sa vie, Gödel cherchera une méthode qui permette à l’arithmétique d’ajouter de nouveaux axiomes de façon à en faire un système complet où il pourrait démontrer ou réfuter chacun de ses énoncés et … dans lequel son autre n’aurait ainsi plus de place.  Seulement, pour cela, il faudrait inventer des raisonnements inouïs auxquels aucun homme n’a encore pensé et dont montrera pense Gödel que le cerveau humain n’en n’est pas capable. Pour mettre en place de tels raisonnements, il faudrait penser sans utiliser le cerveau, penser comme un ange ou un fantôme, un esprit détaché de son corps. Alors, en attendant, on ne peut pas éliminer l’autre, sauf à ce risquer à écouter les anges mathématiques et ces démons trompeurs qui les accompagnent. C’est le risque de vouloir être un (sans l’autre).   


3) Le cercle de Vienne -les cafés viennois.   

 3-1) L’histoire.people.ucalgary.ca/~rzach/blog/2014/07/godels-vienna-finding-cafe-reichsrat.html

Le 26 août 1930 au café Reichsrat à vienne: Gödel annonce sa découverte. Il y a là Rudolf CarnapHerbert Feigl. Carnap note dans son journal: « Découverte de Gödel: incomplétude du système des Principia Mathematica« : difficulté d’une preuve de non-contradiction œuvre d’Alfred North Whitehead et Bertrand Russell, publiés en 19101913. [Le cercle de Vienne: Ses membres les plus actifs ont été Moritz SchlickHans HahnRudolf CarnapEino KailaOtto NeurathFelix KaufmannEdgar ZilselVictor Kraft et Arne Næss. Sa tradition s’est perpétuée avec Georg Henrik von Wright et Alfred Tarski. On pouvait aussi y retrouver Kurt Gödel]Le cercle s’est constitué autour de deux séminaires: celui de Moritz Schlick, et le colloquium de Karl Menger consacré aux mathématiques et à la logique mathématique. L’idée et la méthode qui ont fait l’unité du cercle: appliquer aux questions métaphysiques et à celles de la tradition philosophique les instruments de la nouvelle logique pour formuler clairement et résoudre de façon définitive ces problèmes restés confus. Feigl a pu dire que les membre du cercle partagent « la conviction d’avoir trouvé une philosophie pour mettre fin à toutes les philosophies« . C’est bien cette méthode qui intéresse Gödel. Par contre l’idée s’accompagne dans le cercle d’un héritage empiriste. Il y a les phénomènes observables, les apparences sensibles des choses et il s’agit d’éliminer les entités inobservables (Dieu, l’âme, les choses elles-mêmes et les objets physiques par opposition aux apparences, les entités mathématiques). Il faut les réduire à leur fonction linguistique, justifier leur position en montrant comment elles sont nécessaires  à l’élaboration d’un langage utile. Le but est d’éliminer tout ce qui n’est pas observable (je pense à ce sujet au libre de Michel Bitbol « la conscience a t-elle une origine » et à la critique de l’objectivation poussée à l’extrême). Gödel, lui, ne gardera rien de cet héritage empiriste. Dans les années 1950, il se tournera même contre celui-ci. Il utilisera son théorème d’incomplétude pour lutter contre la tendance « matérialiste » (au sens métaphysique qui ne reconnait que « la matière ») et qui, selon lui, appartient à l’esprit de notre temps. II y inclut les thèses empiristes du Cercle de Vienne, même s’il est toujours resté « en accord et en sympathie avec certaines vues, en particulier celles concernant le caractère non scientifique de certaines la métaphysique existante, la nécessité d’utiliser en philosophie des concepts précis, la logique mathématique etc. Le 22 juin 1936 , a lieu l’assassinat de Moritz Schlick par Johann Nelböck, un jeune étudiant mentalement dérangé Ce crime affecte particulièrement Gödel qui traverse sa première dépression. Il retourne à Princeton au cours de la même année. Il est difficile de savoir dit Cassou Noguès, si cela eu un rôle dans ses convictions « mystérieuses », l’image des démons par exemple? De façon curieuse, il refuse d’admettre que les circonstances puissent influer sur la psychologie d’un individu. Du reste, il quittera l’Autriche très tard en 1939 après avoir été agressé par un groupe nazi durant l’été. Il n’est pourtant pas possible qu’il nait rien senti du climat politique. Le Cercle de Vienne, déjà amputé per le départ de nombreux membres ayant fui le nazisme est bien mort.       

3-2) Les séminaires de 1930 Le Cercle se réunit autour de deux séminaires et dans les cafés. Gödel est réservé mais attire la sympathie. Il aime parler avec Alfred Tarski, qui viens de Varsovie et Jonh Von Neumann, qui vient de Göttingen. Gödel a déjà parlé à Carnap de l’incomplétude: « Avec chaque formalisation, il y a des problèmes que l’on peut comprendre et exprimer dans le langage ordinaire mais que l’on ne peut pas exprimer dans ce langage formel. Il s’ensuit que les mathématiques sont inexhaustibles: Il faut toujours revenir à la « fontaine de l’intuition ». C’est le sens qu’il donnera à son théorème d’incomplétude. L’idée est là, nous sommes le 23 décembre 1929 à l’Arkadencafé. Cela se passe le soir note Carnap avec précision, de 5h45 à 8h30, alors que Gödel n’établira son théorème que l’été suivant. Il prend alors quelques notes de conversations dans les cafés, dont deux, le 8 novembre et le 15 novembre 1937, qui ne concernent pas les mathématiques. Il parle de Husserl, de Franz Brentano, de psychanalyse et de personnalités schizoïdes. C’est la première fois qu’il mentionne Husserl dans ses papiers et la phénoménologie y est déjà mise en relation avec la psychanalyse.      

3-3) L’énoncé du théorème. Qu’est-ce que Gödel a dit à Carnap et aux autres, ce 26 août 1930 au café Reichsrat? Pierre Cassou Noguès essaye d’imaginer… « Tous les systèmes formels avec un nombre fini d’axiomes qui contiennent l’arithmétique des entiers naturels sont incomplets. Cela vaut aussi pour les systèmes avec une infinité d’axiomes pourvu que la règle (c’est à dire la loi par laquelle l’ensemble infini des axiomes est engendré) soit constructive (en un sens qui peut être rendu assez précis) ». A ce moment-là, Gödel ne peut pas en dire beaucoup plus. Mais vers le mois de novembre, il a sans doute passé un moment avec Carnap dans un café pour ajouter un corollaire: « La consistance d’un système formel ne peut jamais être établie au moyen de preuves plus faibles (ou identiques à) que celles formalisées dans le système en question ». Cela s’est-il passé de cette façon? Les énoncés précédents été pris dans un texte qui n’est pas daté. Cette présentation par des discussions autour d’une table de café a l’avantage de ne pas être trop technique, mais elle comporte une omission et une difficulté. L’omission est dans le premier énoncé: il faut supposer que le système en question est consistant (On ne peut y démontrer une proposition et sa négation). La difficulté est de savoir ce qu’est un système formel qui contient l’arithmétique. En réalité, Gödel a prouvé son théorème pour un système particulier, celui des « Principia Mathematica » de Whitehead et Russell publié en 3 tomes. Ils ont donné un système (axiomes et règles d’inférence qui indiquent comment déduire de nouvelles formules à partir des axiomes) permettant d’exprimer la totalité des mathématiques connues à ce jour. On peut y isoler un sous-système qui concerne l’arithmétique et dans lequel on peut formuler les théories d’arithmétique et leurs démonstrations (si elles ne comportent que des concepts arithmétiques et ne passent pas par une autre théorie). Ce que Gödel établit, c’est que le système des Principia Mathematica est consistant, il comporte des propositions indécidables (on peut les reconnaître comme vraies, mais on ne peut ni les démontrer, ni les réfuter dans le système). Ceci vaut aussi pour le système plus large qui inclut la théorie des ensembles. Il faut, pour en établir la consistance, utiliser des raisonnements qui, pour une raison ou pour une autre, échappent au système et qui, vraisemblablement,  seront en un sens plus puissants. Une amélioration que Gödel apporte au premier théorème concerne la forme des propositions indécidables. Celles-ci peuvent s’écrire comme des équations diophantiennes. Celles-ci sont des équations polynomiales. Ces équations sont définies par un polynôme P(ai,xi) avec ai et xi étant des entiers et m+n variables (a1, …am,x1,…xn). On demande alors, étant donné un tel polynôme; si pour toute valeur de ai, il existe des entiers xi qui vérifient P(a1,…am,x1…xn)=0. Le théorème d’incomplétude établit que le système des Principia Mathematicas’il est consistant, laisse de tels problèmes in-décidés, on ne peut y répondre sur la base des axiomes posés. L’ensemble du système vaut non seulement pour l’arithmétique, mais il suffit à exprimer tous les énoncés et toutes les démonstrations inventées par les mathématiciens à ce jour. Gödel écrit: « les quelques axiomes immédiatement évidents desquels peuvent être dérivées toutes les mathématiques contemporaines ne suffisent pas à répondre à toutes les équations diophantiennes. »« Pour résoudre toutes ces questions, une infinité de nouveaux axiomes sont nécessaires, dont la vérité peut seulement être appréhendée (si elle peut l’être), par un recours toujours renouvelé à l’intuition mathématique ». La première phrase énonce le théorème d’incomplétude, la seconde esquisse l’interprétation de Gödel. On reste encore avec la difficulté  de savoir ce qu’est un système formel. L’incomplétude est-elle un défaut propre au système des Principia Mathematica? Ou bien le théorème de Gödel vaut-il pour tout système consistant capable d’exprimer l’arithmétique? Cette question, qui se pose en 1931 tient au fait qu’à ce moment là on ne sait pas de façon précise ce qu’est un système formel. Mais que veut dire « sans ambiguïté », « précis »… , termes exigés pour les axiomes, les règles d’inférence. Ce sont des mots du langage naturel qui, justement, ne déterminent pas de façon suffisamment précise le concept de système formel. On pourrait exiger que les démonstrations soient des processus purement « mécaniques »: On pourrait déduire une formule des axiomes ou de formules déjà établies, en ignorant le sens des symboles, en ne les considérant que comme des dessins qu’on disposerait les uns à côté des autres selon les règles d’un jeu un peu absurde. Ce serait comme si « on ne se référait qu’à la structure extérieure des formules et non à leur sens de telle sorte que les règles puissent être appliquées par quelqu’un qui ne connaitrait rien des mathématiques, ou par une machine« . Mais on revient à nouveau à la question: « qu’est-ce que ça veut dire précisément »? La solution est pourtant là, dans l’idée de machine. On peut considérer que la notion de système formel est fixée en 1937 avec l’article de Alan Turing. Il deviendra possible d’énoncer les théorèmes d’incomplétude en toute généralité.


4) Les machines de Turing

Alan Turing est encore étudiant au Trinity College quand il invente ses machines. Il répond en cela à un problème précis: qu’est-ce que suivre des règles, qui déterminent nos actions sans ambiguïté et aboutissent réellement à un résultat c’est à dire en un nombre fini d’étapes? Que peut calculer l’esprit humain en les suivant? Il s’agit de définir la pensée humaine en tant qu’elle est réglée. Il semble que pour aboutir, elle doive être rester dans le fini et ne mettre en œuvre  qu’un nombre fini d’étapes. La question a déjà été posée en 1934 par Alonzo Church. Celui-ci pose une thèse qui vise à définir la notion de calculabilité, la pensée réglée et finie. Gödel donne, lui, une définition équivalente mais qu’il ne considère pas comme telle; il n’est pas convaincu que l’une ou l’autre embrassent le calcul dans toute sa généralité. Il manque selon lui une véritable analyse qui en justifie les définitions. C’est cette analyse que donne Turing avec sa propre définition, équivalente mais plus naturelle, qui semble les justifier. Pour cette définition (qu’est-ce qu’un calcul, un processus de pensée, réglé et fini?), on parle de la thèse de Church ( thèse concernant la définition de la notion de calculabilité), de la thèse de Turing (énoncé et texte inaugural), ou de la thèse de Church Turing. Cassou Noguès évoque ici un 4è logicien à qui il consacre un chapitre de son livreEmile Post. C’est lui aussi un « fou » que l’histoire a laissé de côté et qui est à l’origine d’un autre indécidable. le problème de correspondance de Post, Les définitions de la calculabilité de Church et Gödel étant plus technique Cassou Noguès présente celle de Turing, qui donne des formulations simples du théorème de Gödel (que ce dernier préfère d’ailleurs). Le papier de Turing est un article rédigé en 1936 et publié en 1937. Une machine de Turing comporte les éléments suivants :

  1. Un ruban infini divisé en cases consécutives. Chaque case contient un symbole d’un alphabet fini donné. L’alphabet contient un symbole spécial appelé « symbole blanc » (‘0’ dans les exemples qui suivent), et un ou plusieurs autres symboles. Le ruban est supposé être de longueur infinie vers la gauche ou vers la droite, en d’autres termes la machine doit toujours avoir assez de longueur de ruban pour son exécution. On considère que les cases du ruban contiennent par défaut le « symbole blanc » ;
  2. Une tête de lecture/écriture qui peut lire et écrire les symboles sur le ruban, et se déplacer vers la gauche ou vers la droite du ruban ;
  3. Un registre d’état qui mémorise l’état courant de la machine de Turing. Le nombre d’états possibles est toujours fini, et il existe un état spécial appelé « état de départ » qui est l’état initial de la machine avant son exécution ;
  4. Une table d’actions qui indique à la machine quel symbole écrire sur le ruban, comment déplacer la tête de lecture (par exemple « <— » pour une case vers la gauche, « —>» pour une case vers la droite), et quel est le nouvel état, en fonction du symbole lu sur le ruban et de l’état courant de la machine. Si aucune action n’existe pour une combinaison donnée d’un symbole lu et d’un état courant, la machine s’arrête.

La machine est un dispositif susceptible d’un nombre fini d’états internes, et dont les actions (se déplacer sur un ruban, imprimer un symbole, changer d’état) sont déterminées par une liste d’instructions. Chaque instruction spécifie des actions en fonction de l’état de la machine et du symbole de la case devant laquelle est stationnée la machine. Les symboles que la machine peut reconnaitre sur le ruban et imprimer appartiennent à un alphabet fini. La définition des machines ne dit rien de la nature du dispositif en question. On pose seulement qu’il n’est susceptible que d’un nombre fini d’états internes. Mais ceux-ci peuvent être aussi bien matériels (position des diodes d’un ordinateur ou roues crantées d’une horloge) que mentaux. Dans ce cas, les actions (se déplacer sur un ruban, imprimer un symbole, changer d’état) sont déterminées par une liste d’instructions. Chaque instruction spécifie des actions en fonction de l’état de la machine et du symbole de la case devant laquelle elle est stationnée. Les symboles que la machine peut reconnaitre sur le ruban et imprimer appartiennent à un alphabet fini. N’est-ce pas ce que nous faisons demande Turing quand nous posons une opération en écrivant les chiffres sur une feuille?  Nous suivons des règles et des instructions qui prescrivent des actions en fonction des symboles et du point où nous en sommes et des retenues (mémorisées). Ce point n’est pas marqué sur la feuille de papier, mais le calculateur sait où il en est. C’est la thèse de Turing: tout calcul que nous pouvons réaliser en suivant des règles définies est implémentable sur une machine. Il en est de même des démonstrations formelles et d’un système formel dont on exige que les axiomes et les règles d’inférence y soient suffisamment précis pour qu’il soit possible de conduire une démonstration, de déduire de nouvelles formules en ne considérant les symboles que comme des dessins, c’est à dire qu’une machine de Turing doit pouvoir être programmée pour conduire ces démonstrations. Pour chacun des systèmes que les mathématiciens reconnaissent comme formels, il est possible de définir une machine, qui écrit les uns à la suite des autres toutes les formules prouvables et tous les théorèmes du système. On peut alors purement et simplement identifier système formel et machine de Turing. C’est pour Gödel le sens de la notion de système formel: « Il peut simplement être défini comme une procédure mécanique pour produire des formules que l’on appelle formules prouvables. Cela est requis par le concept de système formel dont l’essence est que le raisonnement y est complètement remplacé par des opérations mécaniques sur les formules ». Cette définition permet maintenant d’énoncer le théorème de Gödel de1931(voir le chapitre 3) dans toute sa généralité: « Il n’y a pas de théorie formelle capable de résoudre tous les problèmes diophantiens« , c’est à dire: « il n’existe pas de procédure mécanique pour décider  de toutes les propositions de la classe (des problèmes diophantiens). Dans une telle machine, on pourrait écrire le problème diophantien sur son ruban. ∀y x– ay= 1 et la machine imprimerait 1 si la proposition est vraie et 0 si elle est fausse. Le théorème de Gödel établit que cette machine est impossible. Une machine peut résoudre certains problèmes diophantiens, il n’en n’existe pas qui puisse les résoudre tous. C’est un exemple d’une classe de problèmes qui ne peut pas se résoudre de façon mécanique et qui, si l’esprit humain peut y réussir, exige autre chose que des raisonnements formels. Gödel dira: il faut de l’intuition.Rappel: Le second théorème de Gödel de 1931 établit que la consistance d’un système formel ne peut se démontrer par des raisonnements qui s’expriment dans le système. Elle n’écrira jamais une formule qui en exprimera la consistance (si celui-ci est bien consistant). 


5) Les dilemmes et le matérialismeLa théorème d’incomplétude n’était pas « dans l’air du temps » mais il a été anticipé dans une certaine mesure par deux fois. Par le mathématicien suissePaul Finsler d’abord. Il a utilisé une version de Le paradoxe de Richard pour construire une expression fausse mais non démontrable dans un cadre informel particulier qu’il avait développé. Gödel n’était pas au courant de cet article lorsqu’il a prouvé les théorèmes d’incomplétude. Puis Emile Post avec le problème de correspondance (en abrégé PCP): « On part de deux suites finies U et V contenant le même nombre de mots finis sur un alphabet quelconque. Par exemple u1=aba, u2=b, u3=a, u4=ab et v1=a, v2=b, v3=ababa, v4=b . On cherche une suite d’indices i1,i2,…in  telle que la concaténation des uik  corresponde à celle des vik . Ici la suite (1,2,3,2,1) est une solution puisque u1u2u3u2u1 =v1v2v3v2v1 .Le problème de correspondance de Post  consiste à déterminer s’il existe une telle suite.Il est indécidable: il n’existe pas d’algorithme général capable de fournir une réponse pour des U et V arbitraires.Post comme Finsler cherchent une proposition qui soit absolument indécidable, c’est à dire dont on puisse prouver qu’elle ne pourra jamais être ni démontrée, ni réfutée par l’esprit humain.Or Gödel montre seulement l’existence de propositions indécidables dans certains systèmes formels. Son théorème (toutes les mathématiques contemporaines ne suffisent pas à répondre à toutes les équations diophantiennes. » « Pour résoudre toutes ces questions, une infinité de nouveaux axiomes sont nécessaires), n’établit pas à lui seul l’existence de propositions indécidables en soi, ni de trancher la question: l’esprit humain est-il ou non une machine de Turing? Nous pouvons démontrer qu’aucune machine de Turing ne peut résoudre la totalité des problèmes diophantiens, mais rien ne dit que nous pouvons les résoudre, ni qu’en raisonnant sur les machines de Turing nous ne sommes pas nous-même une machine. Le théorème de Gödel aboutit à une alternative, un dilemme: ou bien l’esprit humain est irréductible à une machine de Turing, ou bien il existe des propositions arithmétiques indécidables pour cet esprit humain, des problèmes qui ne seront donc jamais résolus par nos mathématiciens. Pour Gödel, l’intérêt de ce dilemme est que chacun des deux termes s’oppose « à la philosophie matérialiste ». En effet, s’il existe, d’un côté, des problèmes indécidables pour l’esprit humain, alors les objets mathématiques gardent et garderont toujours des propriétés qui nous échappent, ce qui signifie que ces objets ont une existence autonome et il faut donc admettre un plan de réalité (troisième monde ou raison inconsciente) irréductible au monde sensible. Mais d’un autre côté, Gödel est convaincu que le cerveau humain est une machine de Turing. Alors, si l’esprit humain surpasse toute machine de Turing, son fonctionnement est irréductible au mécanisme du cerveau (un paquet de neurones?) et révèle une autre réalité, une sorte d’âme, elle-même irréductible au monde sensible. C’est dans ce résultat que se résume le théorème d’incomplétude?: « Mon théorème montre seulement que la mécanisation des mathématiques, i.e. l’élimination de l’esprit et des entités abstraites, est impossible, si on veut obtenir une fondation et un système satisfaisant des mathématiques » (impossibilité de se passer d’un objet non matériel). Ce dilemme, qui ne fait qu’exprimer un théorème de logique est, pour Gödel est un point d’appui rigoureux dans l’opposition au matérialisme et à l’esprit du temps. Dès 1934, il remarquait que, grâce au programme formaliste, « certaines questions […] qui, auparavant ne relevaient que de spéculations vagues et ne pouvaient pas même être énoncées avec précision, sont maintenant susceptibles d’un traitement scientifique ». Le dilemme est donc « peut-être, la première proposition rigoureusement prouvée à propos d’un concept philosophique »Pour Gödel, le développement de la pensée occidentale représente un long mouvement de la théologie vers le matérialisme. C’est apparemment une loi générale (dans les temps historiques) que l’esprit du temps tende à tomber dans le matérialisme (voir note 27 p.270:  L’esprit du temps va toujours vers le positivisme et le matérialisme. Par exemple Platon est suivi d’Aristote). En tout cas pour Gödel, l’esprit de son temps est matérialiste, au sens d’une métaphysique qui ne reconnait que de la matière. Et cela a pour conséquence de priver le monde de sens comme le montre cette remarque de 1961: « […] il incline à considérer le monde comme un tas désordonné d’atomes et, par conséquent, insignifiant d’atomes. De surcroît, la mort y apparait comme une annihilation définitive et complète, alors que, de l’autre côté la théologie et l’idéalisme voient dans tout du sens, un dessein et de la raison« . Ainsi, Gödel est du côté du sens, de la théologie. Dans le dilemme, les deux côtés de l’alternative obligent à reconnaitre à une réalité qui n’appartient pas au monde matériel, dans une proposition rigoureuse, qui traduit philosophiquement un théorème logique, ce qui explique l’importance que Gödel lui donne dans les années 1950. Ses énoncés admettent l’irréductibilité de l’esprit à la machine. Reformulé avec les machines de Turing, le 2è théorème, en 1931, établit qu’une machine ne peut pas prouver mais seulement écrire, (puisque comme machine à déduire elle a « prouvé » par les formule qu’elle a écrites) une formule qui exprimerait la consistance du système de formules qu’elle enchaîne. Si on admet que par l’intuition, le mathématicien peut toujours reconnaitre la consistance du système dans lequel il travaille, on conclut qu’il n’est pas une machine de Turing. Mais alors on rajoute au principe d’incomplétude un principe philosophique, une sorte d’axiome sur la capacité de l’esprit à reconnaitre la vérité et la consistance des systèmes. Ce principe ne va pas de soi, les théorèmes de 1931 n’excluent pas que l’esprit humain soit une machine de Turing: « Cela signifierait que l’esprit humain (dans le royaume des mathématiques pures), est équivalent à une machine finie qui, cependant, n’est pas capable de comprendre complètement son propre mécanisme. […] La reconnaissance du fait que ce mécanisme particulier conduit toujours à des résultats corrects (ou seulement consistants, non contradictoires), dépasserait les capacités de la raison humaine » (note 34 p 271 C.W. 1951). Or, pour Gödel, l’esprit doit être capable de cette réflexivité, qui lui fait reconnaitre sa propre consistance. Il ajoute aussi en note: « Donc en ce sens, on peut prouver aujourd’hui que la raison humaine […] ne peut pas être mécanisée ». Cette note est; dit Cassou Noguès, la seule occasion où Gödel pense prouver l’irréductibilité de l’esprit à la machine. Celle-ci repose cependant sur le principe philosophique de la réflexivité de l’esprit, qui doit être capable de reconnaitre sa propre consistance, ce qui reste à discuter réellement.  

6) Question d’image.1963: Time Magazine prépare un numéro spécial consacré dans lequel on trouve un article de Gödel et son théorème. Les éditeurs proposent un texte au logicien, qui n’en n’est pas satisfait. Il prépare une note avec, au brouillon, une dizaine de formulations différentes: « Ou bien il existe une infinité de questions de théorie des nombres auxquelles l’esprit humain est incapable de répondre, ou bien l’esprit humain contient un élément/est quelque chose de totalement/différent d’un dispositif combinatoire fini tel qu’un ordinateur électronique. J’espère prouver sur des fondements mathématiques, philosophiques et psychologiques que c’est la seconde alternative qui est réalisée/vaut.1)Je conjecture que la seconde alternative peut être prouvée ou être rendue très probable et j’espère que les travaux dans lesquels je suis maintenant engagé conduiront à à une résolution de ce problème/à une vérification de cette conjecture.[…]10) Je conjecture qu’il sera possible de développer des méthodes systématiques non mécaniques pour la résolution des problèmes mathématiques de façon à rendre probable que ce n’est pas le première mais la seconde alternative qui vaut. « Finalement, dans le texte qu’il envoie, Gödel écrit de façon neutre et à la troisième personne. C’est le journaliste qui répond, par prudence comme à son habitude, Gödel reste anonyme dans l’article. « Gödel espère qu’il sera possible de prouver que c’est la seconde alternative qui vaut« . Il est attentif jusqu’à l’obsession de ses propre formulations et à tout ce qui est publié à son propos. Il vérifie minutieusement les rééditions et traductions de ses articles avec un grand souci d’exactitude. Alors, se demande Cassou Noguès, pourquoi était-il si attentif à ce qui se disait de son travail, comme à ce qui se montrait de sa personne? Il nous a laissé ses papiers, cherche à contrôler les textes qui présentent son travail, choisit la formulation qu’il veut voir paraître, mais d’un autre côté, garde les notes où se trouvent les variantes qu’il a exclues. Sans doute il n’a pas donné lui-même ses papiers mais il les aurait fait poster à l’Institut par Adèle, son épouse. Il sait bien que ses notes suivront le même chemin que les papiers d’Einstein qui sont à la bibliothèque. Or il les conserve et les classe dans des enveloppes. Pourquoi? Ce n’est pas par négligence qu’il nous les a offerts. De même que pour les conversations avec Wang, il faut sans doute qu’il ait voulu que soient rendues publiques après sa mort les résultats des recherches qu’il avait tenues secrètes de son vivant. Mais que nous ayons ses papiers ne signifie pas forcément que nous les ayons tous, que ce soit le fruit du temps et du hasard et que dans ce que Gödel nous a laissé, il n’y ait aucun dessein.aphadolie.com/2017/12/27/voyager-dans-le-temps-mathematiquement-cest-possible-affirme-une-equipe-de-chercheurs/

Cassou Noguès se souvient d’une note en particulier dans la boite des fiches de bibliothèque qui renseignent sur les les lectures du logicien. Il y en a des milliers et c’est un travail fastidieux et ennuyeux de les dépouiller (elles représentent 40 ans de lecture), lorsque Cassou Noguès tomba sur le verso d’une fiche (autrement quelconque), où était écrit ce message, en lettres capitales: « I WILL BE BACK IN A MOMENT … KURT. A Qui ce billet était-il adressé? Il Faut se rappeler que Kurt croyait aux fantômes et qu’il avait prouvé que le voyage dans le temps n’était pas impossible dans la théorie de la relativité générale.


7) L’optimisme rationaliste.Nous avons vu que Gödel choisit dans ses dilemmes la deuxième alternative (voir chap. 5) qui implique l’irréductibilité de l’esprit à la machine. -1er argument: la raison doit pouvoir résoudre les problèmes qu’elle pose. « Aux questions claires que pose la raison, la raison doit pouvoir donner des réponses claires. » C’est une conviction rationaliste. Wikipedia explique: « …doctrine qui pose la raison discursive comme seule source possible de toute connaissance du monde. Autrement dit, la réalité ne serait connaissable qu’en vertu d’une explication par les causes qui la déterminent et non par la révélation divine. Ainsi, le rationalisme s’entend de toute doctrine qui attribue à la seule raison humaine la capacité de connaître et d’établir la vérité. » Il n’y a rien que la raison puisse rencontrer et ne puisse connaitre, aucun problème qu’elle puisse poser et ne puisse connaitre. Pour Gödel, il en va de la cohérence de la raison et de ses évidences. Il semble évident que les problèmes mathématiques relèvent de la seule raison. Mais « La raison humaine serait tout à fait irrationnelle, à poser des questions auxquelles elle ne pourrait pas répondre, tout en affirmant emphatiquement que seule la raison peut y répondre. La raison humaine serait très imparfaite, et en un sens, inconsistante, ce qui marquerait une contradiction frappante avec le fait que les parties des mathématiques qui ont été  développées systématiquement et complètement[…] montrent un degré étonnant de beauté et de perfection […] Cela semble justifier ce que l’on peut appeler un « optimisme rationaliste ». Ce pari sur la cohérence de la raison l’amène à poser que nos mathématiques ne comportent pas de problèmes indécidables pour nous et que, par conséquent notre esprit surpasse la machins de Turing.-2è argument: Il concerne la réflexivité de l’esprit. Le théorème de Gödel dit qu’une machine de Turing laisse in-décidées certaines formules, qui ne seront ni démontrées ni réfutées et en particulier celles qui expriment la consistance du système. En revanche, « quand on parle de l’esprit, on n’entend pas une machine (en un sens général), mais une machine qui se reconnait elle-même comme juste (that recognizes itself as right) ».On peut imaginer une machine qui imprime d’abord une formule signifiant la consistance de l’arithmétique élémentaire. Puis elle imprime une formule signifiant la consistance du système obtenu en ajoutant comme axiome à l’arithmétique la formule précédente (consistance de l’arithmétique). Et ainsi de suite. A chaque étape, la machine pose une formule exprimant la consistance du système précédent et l’ajoute comme axiome pour former un nouveau système. Elle semble donc « comprendre son mécanisme » au sens où l’entend Gödel: elle reconnait la consistance du système d’axiomes qu’elle a posé. Pourtant, ce n’est qu’une machine et elle n’est pas encore capable de reconnaitre son mécanisme comme correct ou de le comprendre au sens de Gödel. En effet, ces formules, qui expriment la consistance de celles qui précèdent, forment un système infini dont la machine ne pourra jamais écrire la consistance. Elle fonctionne selon des règles qu’elle ne comprend pas. En fait, il faudrait savoir si la machine est capable de reconnaitre la consistance du système sur lequel elle travaille dans sa totalité ou mieux les axiomes qui déterminent son fonctionnement. Alors comment l’esprit exprime-t-il la réflexivité? L’esprit qu’invoque Gödel n’a semble-t-il aucun moyen d’exprimer cette réflexivité qui le distingue de la machine, ou alors, il faut supposer qu’il utilise un autre langage, des axiomes de nature différent que ceux des langages formels. Cela suppose une réforme de nos mathématiques et de leur langage. Mais pourquoi poser, avec Gödel, que l’esprit (humain?) possède cette réflexivité? Que la raison est cohérente? Il se pourrait que nous ayons la conviction que les mathématiques relèvent de la pure raison (et non de l’observation empirique), et pourtant, qu’elles comportent des problèmes insolubles. Leur beauté est-elle un indice suffisant pour poser la cohérence de la raison qui découvre cet univers? Gödel y voit également un indice de l’harmonie que Dieu a mise dans le monde sensible en le créant. Il ne semble pas justifier ces deux traits, la cohérence de l’esprit et la réflexivité, qui fondent son optimisme rationaliste, par une observation de type phénoménologique directe, de ce que l’esprit « est ». Il semble plutôt mettre en œuvre un principe philosophique qui rappelle le principe cartésien de la véracité divine: Dieu n’est pas trompeur. Il n’a pu mettre dans l’esprit humain cette évidence que les mathématiques ne relèvent que de la raison si leurs problèmes ne peuvent être résolus par nous que de façon empirique. C’est quasiment un principe théologique.

8) Le développement des mathématiques.andregounelle.fr/tillich/presentation-de-tillich.php

Partons du fait, avec Gödel que l’esprit humain peut résoudre tous les problèmes qu’il peut se poser, dont les problèmes diophantiens. Il faut donc que nos mathématiques soient différentes de celles des machines de Turing et plus puissantes. Il faut aussi que puisse devenir évident pour nous un système d’axiomes avec des listes infinies de formules qu’une machine de Turing ne puisse pas écrire. Or la théorie qui forme la base des mathématiques, la théorie des ensembles, est parfaitement mécanisable. Il s’agit donc de la développer avec de nouveaux axiomes pour former une liste complète où toute proposition qui peut y être formulée est ou démontrable ou réfutable. Une autre difficulté est qu’un système formel au sens strict (tel que l’entend Gödel), ne semble rien présupposer du passé mathématique de la théorie. On peut ne rien connaitre des mathématiques, n’être qu’une machine, il suffit d’appliquer les règles pour obtenir des formules valides à partir des axiomes. Un système formel ne présuppose pas de notion, toute notion y est manipulable sans savoir préalable, alors que des théories comme l’analyse par exemple, qui ne s’écrit pas comme des systèmes formels, présupposent certaines notions et ne peuvent être utilisées que par qui les comprend. Il semble donc que nos langages soient toujours imparfaitsou bien incomplets, comme les systèmes formels, avec des formules qui restent in-décidées, ou bien s’appuyant sur un savoir qu’ils ne récupèrent pas dans le formalisme (qualifiées d’hétéronomes pas Cassou Noguès). Si nos mathématiques doivent résoudre les problèmes qu’elles permettent de poser; quels doivent les systèmes d’axiomes qui ne soient pas formels au sens strict, quels axiomes, dans quel langage? Gödel a proposé différentes voies pour étendre la théorie des ensembles. Mais à partir de 1964, il semble envisager une réforme complète de nos mathématiques, qui remplace le concept d’ensemble par d’autres, plus larges. « […]Deux exemples sont le concept réflexif de classe propre (Quand une classe n’est pas un ensemble, elle est appelée classe propre. Elle ne peut alors pas être élément d’une classe (ni, a fortiori, d’un ensemble) ou le concept le plus général de concept qui est le concept de véritable analogue (true analogue) ». Il s’agit ni plus ni moins de remplacer notre mathématique, fondée sur le concept d’ensemble, par cet autre concept: le concept de concept ou le concept d’analogue. Dans le vocabulaire de Gödel, la classe est l’extension du concept (classe des objets qui vérifient le concept). Elles peuvent donc appartenir à elles-mêmes, à la différence des ensembles (un ensemble n’appartient pas à lui-même).Elles sont réflexives. L’idée est que si on ne possède pas encore des axiomes satisfaisants, ils pourraient néanmoins déterminer une nouvelle mathématique dépourvue des imperfections de la notre, et en particulier, complète. Gödel mentionne ici cette autre possibilité, le concept d’analogue. Qu’entend-t-il par là? On trouve des notes qui opposent la « composition » comme relation primitive pour les objets matériels et « l’analogie » pour les objets abstraits ou qui font de l’analogie le raisonnement des purs esprits, sans corps matériel, ou le mode de raisonnement propre aux « mystères » (donc?) convenant à la logique.  Au fond, il attend en mathématique, une révolution comparable à celle qu’a accomplie la théorie de la relativité par rapport à la physique newtonienne, une révolution qui transforme nos concepts fondamentaux et nous rapproche de la réalité. Celle-ci, la découverte d’une nouvelle procédure non mécanique pour former des axiomes aboutissant à un édifice complet, passe non seulement par de nouveaux concepts, mais aussi par la meilleure compréhension de notre esprit. Ce thème est développé en particulier dans une lettre à Paul Tillich de juin 1963: « […] J’ai dit que, dans le raisonnement mathématique, les éléments non computationnels (non mécaniques, i.e. l’intuition), consiste en des intuitions d’infinité de plus en plus hautes. C’est vrai (Cependant, une intuition peut être éduquée) ».  Gödel renvoie à des intuitions tournée vers différents espèces d’ensembles infinis, mais qui dépendent d’une réflexion sur la raison elle-même. Cela doit être mis en relation avec la seconde « provision » (preuve?) de l’argument sur la réalité des objets mathématiques: leur monde est imaginé par une raison inconsciente en nous. Le développement des mathématiques et de ses lois suppose bien une réflexion sur la raison…et une reconquête de cet inconscient avec l’élimination de cet « autre » qui hante Gödel. En affirmant que la connaissance de soi qui détermine la définition des machines de Turing est une l’analyse « factuelle » et en l’opposant à une connaissance de l’essence de la raison, il laisse entendre que  si nous utilisons des symboles et pratiquons certaines opérations sur eux, ce n’est qu’un accident. et que d’autres mathématiques (celles des anges du ciel des idées) sont possibles, où il n’y a plus de symboles et où les axiomes ont une autre forme. Nous pouvons les approcher en retrouvant en nous en deçà du fait de notre incarnation, une raison plus profonde. « […] La réalisation de telles procédures non mécaniques requerrait un développement de facultés de l’esprit humain bien au-delà du stade qui a été atteint (ou potentiellement atteint) dans notre culture/dans la science d’aujourd’hui ». Cela rappelle Mellonta Tauta, nouvelle d’Edgar Poe dans laquelle ce dernier retrouve la correspondance, tombée du ciel, d’un homme du futur (2048) qui survole l’Atlantique dans l’un de ces ballons qui ont remplacé la navigation maritime . Cet homme médite sur l’histoire humaine et s’étonne de ce que les anciens (du millénaire passé, au XIXè siècle) aient progressé si lentement et avaient une connaissance et des sciences réduites à « l’art de ramper ». Ils (= nous) étaient aveuglés par l’analyse des moyens de la connaissance et refusaient toute proposition qui ne provenait pas directement de l’une de ces deux méthodes: la méthode a priori qui procède par déduction à partir d’axiomes immédiats, et la méthode a posteriori qui part de l’expérience. […]vous pouvez donc vous imaginer combien une opinion aussi absurde au fond a dû contribuer à retarder le progrès de toute vraie science qui ne marche guère que par bonds intuitifs. L’idée ancienne condamnait l’investigation à ramper, et pendant des siècles les esprits furent si infatués de Hogg surtout, que ce fut un temps d’arrêt pour la pensée proprement dite […]« . Mais, c’est exactement ce que pourraient dire de nous les anges ou les hommes après la révolution mathématique dans la cosmologie de Gödel: Nous acceptons d’un côté l’observation expérimentale et les preuves inductives et de l’autre les systèmes formels qui doivent être mécanisables, limités par la rigueur de leurs enchainements, mais nous ignorons l’intuition qui nous ouvrirait le ciel mathématique.


9) Paradoxes et réflexivité de l’esprit.Dans ses conversations avec wang, Gödel distingue trois espèces de paradoxesPremiere espèceles paradoxes sémantiques (voir chap.3), [Vidal-Rosset –Que-est ce qu’un paradoxe?- attribue l’origine des paradoxes sémantiques à « l’autoréférence ainsi qu’à un usage non régulé des concepts de vérité et de fausseté »]. Ils ne concernent que le langage. Le paradoxe du menteur est un paradoxe attribué à Eubulide de Milet et qui remet en cause le fait qu’un énoncé est soit vrai, soit faux. Il concerne des propos tenus par le poète Épiménide. Ce dernier aurait en effet déclaré: « Les Crétois sont des menteurs ». Le problème, c’est qu’Épiménide était lui-même Crétois. Par conséquent, si ce qu’il dit est vrai, c’est un menteur, et donc ce qu’il dit est faux. Si au contraire sa phrase est fausse, alors il ment, et la phrase dit bien la vérité! Le paradoxe du menteur remet en cause l’idée qui voudrait que toute phrase doive être soit vraie, soit fausse. Si un énoncé vient à affirmer sa propre fausseté, alors il ne peut logiquement être ni vrai, ni faux ». Ces paradoxes ont été résolus par la définition précise des langages. Il suffit de poser qu’en mathématiques la vérité des formules ne se vérifie pas dans ce langage mais dans un métalangage. Le menteur ne peut pas dire: « je mens » ou « la proposition que je viens d’écrire est fausse »  mais seulement: « cette formule du langage L est fausse », ces énoncés appartenant à un autre langage, le langage L, l’excluant ainsi du paradoxe. La définition de la vérité et la thèse que la vérité d’une formule d’un langage ne se définit pas dans ce langage sont en général attribuées à Tarski, ce dont Gödel revendique également la paternité. C’est dit Cassou Noguès, en réalité l’origine du théorème d’incomplétude. Gödel s’est d’abord aperçu qu’à cause de ce type de paradoxe, la vérité des formules d’un langage ne peut se définir dans ce langage, alors que si le langage contient suffisamment d’arithmétique, la démontrabilité peut s’y définir. Les deux notions, vérité et démontrabilité doivent donc être différentes. Or, si le langage est consistant, les phrases démontrables doivent être vraies, il faut donc qu’il existe des phrases vraies non démontrables: le langage est donc incomplet. Deuxième espèce de paradoxe: Les paradoxes extensionnels. (L’axiome d’extensionnalité est l’un des axiomes-clés de la plupart des théories des ensembles, en particulier, des théories des ensembles de Zermelo, et de Zermelo-Fraenkel (ZF). Il énonce essentiellement qu’il est suffisant de vérifier que deux ensembles ont les mêmes éléments pour montrer que ces deux ensembles sont égaux). Ces paradoxes peuvent être résolus par la répartition des ensembles selon une des hiérarchies: celle des types de Russel ou la hiérarchie cumulative de Zermelo. On part d’un domaine d’objets (espace dans lequel les objets sont définis), les individus. Le premier niveau est constitué par l’ensemble des objets formés avec ces individus, puis au deuxième niveau, des ensembles formés d’ensembles de ce premier niveau et ainsi de suite. Dans cette hiérarchie, chaque ensemble doit être formé d’éléments qui s’inscrivent dans les niveaux qui le précèdent, de façon que qu’un ensemble n’appartienne à lui-même. Et dans cet univers, on ne peut pas former l’ensemble des ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes, mais seulement parmi ces derniers, celui de niveau i qui n’appartiennent pas à eux-mêmes (et cet ensemble, de niveau i+1 n’appartient pas à lui-même). Ainsi, on peut considérer que les paradoxes extensionnels sont résolus.  Nous avons, du côté des extensions, une théorie des ensembles, il nous manque une théorie des concepts (A voir: Un nouveau livre sur la théorie des concepts?). Il est impossible, puisque les concepts s’appliquent à eux-mêmes, de résoudre les paradoxes intensionnels en s’inspirant des hiérarchies mises en place du côté des ensembles. Ils restent un problème ouvert. Nous ne savons pas (encore?) donner de lois satisfaisantes qui autorisent l’application d’un concept à lui-même et écartent les paradoxes intensionnels. C’est pourtant de cette théorie du concept que semblent dépendre, selon Gödel, le développement des mathématiques avec une révolution qui produira un nouvel édifice auquel ne s’appliqueront plus les théorèmes d’incomplétude. Gödel semble renvoyer ce développement à différentes propriétés de réflexivité. « Réflexivité » des concepts, qui s’appliquent à eux-mêmes. « Réflexivité » de l’esprit, qui, à la différence de la machine, mais en un sens difficile à préciser, doit pouvoir reconnaitre la consistance du système dans lequel il travaille, ou « comprendre » son propre mécanisme ». « Réflexivité » de l’esprit ou plus exactement de la raison qui, comme on l’a vu avec la lettre à Tillich au chap. 8, est reconnue capable d’une connaissance de soi essentielle. Ces propriétés ne s’appliquent pas aux mêmes objets et n’ont pas le même sens, pourtant, il les fait intervenir trois fois dans ses notes. La question est de savoir si ces propriétés sont liées et ne renvoient pas à celle plus fondamentale, la connaissance de soi, dont dépend la capacité à reconnaitre sa propre consistance et à « comprendre son propre mécanisme ». La réflexivité des concepts pourrait exprimer cette possibilité d’un retour sur soi de la pensée. C’est sans doute ce que pense Gödel dans sa correspondance avec Gothar. Günther où il met en relation la réflexivité des concepts, le fait qu’ils s’appliquent à eux-mêmes, avec la possibilité de la réflexion, donc à la connaissance de soi. Il y voir « dans l’analyse de celle-ci un moyen de découvrir les axiomes propres de la théorie des concepts ». Les remarques de Gödel sur cette théorie des concepts restent énigmatiques, mais il est clair qu’il en attend une révolution qui transforme l’édifice des mathématiques et les rapproche de cette réalité qu’elles ne reflètent pas (que cette réalité soit dans un monde en soi, ou dans une raison sous-jacente à l’ego et qu’il reste à ramener à la conscience). Il semble que cette révolution doive s’appuyer sur une propriété de l’esprit, sa réflexivité, que nos sciences avec leurs préjugés matérialistes tendent à ignorer. Cette révolution mathématique serait la reconquête de l’esprit par lui-même, réduction de cet autre, altérité qui, on l’a vu, fait peur à Gödel, une connaissance de soi « essentielle » qui déborde la connaissance qui intervient dans la machine de Turing.

10) Le logiciel est-il humain?

« Il y a une apparente contradiction dans mon propre usage de l’esprit humain  également comme concept. Ce qu’il faut éviter est d’utiliser ce concept d’une manière autoréférentielle. Nous ne savons pas le faire. Mais je ne fais pas un usage autoréférentiel du concept d’esprit humain. »

Cet énoncé, à propos de paradoxes et de la réflexivité, qui a été donné par Gödel à Wang est plutôt surprenant. Quand l’esprit humain raisonne sur le concept d’esprit humain, ce concept qui fait l’objet du raisonnement semble bien devoir s’appliquer au sujet du raisonnement. C’est bien un usage autoréférentiel du concept d’esprit humain. Cette note, sans doute peu claire, pose deux questions. Quelle difficulté y a-t-il à utiliser le concept d’esprit humain de façon auto-référentielle et comment Gödel peut-il éviter de le faire? Est-ce à dire qu’il n’est pas lui-même un esprit humain du moins en tant que logicien?La première question exige de faire un détour par la métaphysique. L’esprit humain et chaque individu sont définis par des concepts. Chaque Je (voir la conscience a t-elle une origine? de Michel Bitbol) est déterminé par un certain système de propriétés caractéristiques, qui détermine de façon précise sa place dans le monde et, par conséquent, l’ensemble des objets que le Je peux percevoir et penser. Dans la monadologie de Gödel, ces objets qu’il pense, qui constituent l’expérience du Je, les choses qu’il perçoit, forment un ensemble, strictement corrélatif du concept de ce Je. Comme il y a une correspondance bijective entre les concepts possibles des Je et les ensembles possibles de leurs expériences, on peut donc identifier le concept du Je à l’ensemble des objets dont le Je fait l’expérience. Et, finalement, c’est un Je qui se pense lui-même, donc c’est un ensemble qui appartient à lui-même. Le concept d’esprit humain est un système de propriétés caractérisant un esprit humain. Or je suis un esprit humain (esprit plutôt que corps ou corps lié à l’esprit). Donc ce concept de l’esprit humain s’applique à cet autre concept, le Je. Comme on associe au concept Je un ensemble, l’ensemble des objets de l’expérience du Je, on peut associer au concept d’esprit humain l’ensemble des objets dont les esprits humains font l’expérience. réunion des ensembles associés à chacun des esprits humains. Par un raisonnement similaire, on montre que puisque le concept d’esprit humain appartient à l’ensemble qui lui est associé dans la correspondance entre concepts de sujet Je et ensembles d’objets dont les esprits humains font l’expérience, cet ensemble appartient à lui-même. On pourrait formuler autrement ce raisonnement logico-métaphysique, mais on aboutirait à nouveau à un ensemble qui appartient à lui-même.Au total, (parler quand on est un esprit humain et que l’on pense ce que l’on dit) de l’esprit humain, c’est poser un ensemble qui appartient à lui-même. Or, on ne sait pas traiter ces ensembles. Il faut donc éviter de parler de l’esprit humain quand on est un esprit humain. On peut retenir que chaque Je est un concept et que le concept du sujet détermine l’ensemble des objets dont le sujet fait l’expérience. Un point reste énigmatique dans la formule de Gödel mise en exergue de ce chapitre, c’est de savoir comment il peut éviter de d’utiliser le concept d’esprit humain de façon autoréférentielle en parlant de l’esprit humain? Cela veut-il dire qu’il ne s’applique pas ce concept à lui-même quand il parle, et qu’en tant que logicien il s’exclut de l’esprit humain? Cela semble être la seule façon de le comprendre. Gödel, en tant qu’il parle de l’esprit humain, n’est plus un esprit humain. De la même manière, Turing a brièvement fait ce genre d’analyse dans sa définition des machines. En effet, pour établir que les calculs que le mathématicien peut accomplir sont également susceptibles d’être réalisés par une machine de Turing, il lui faut commencer par analyser le calcul, tel que peut le faire le mathématicien, avec son corps, son esprit, son langage etc. Gödel conjecture que de telles analyses interviendront également dans d’autres concepts, en particulier celui de preuve, qui implique une réflexion « concernant la psychologiede l’être qui fait des mathématiques », être qui, dans la cosmologie de Gödel n’est pas nécessairement un esprit humain. Cette ambition de saisir dans la pensée humaine la pensée en général se retrouve également chez Husserl, dont Gödel s’inspire: dans « les idées directrices pour une phénoménologie et une philosophie pures », Husserl maintient qu’en vertu de l’a priori de la corrélation, la réflexion phénoménologique peut isoler des vécus nécessaires à l’appréhension d’un objet et que tout être, y compris Dieu, qui perçoit cet objet doit lui-même éprouver. Mais, il ne faut pas oublier que dans la cosmologie de Gödel, il y a outre Dieu, toute une série d’esprits capables de mathématiques dont, à l’heure actuelle, nous ignorons tout. Alors, l’analyse de Turing vaut elle pour le calculateur humain seulement ou pour tout calculateur qui serait incarné et en quelque sorte, branché sur le cerveau? Ainsi, Wang écrit: « Par esprit, Gödel entend quelque chose qui est supposé vivre indéfiniment et rester tout le temps connecté à un cerveau de taille donnée (Gödel ajoute: [avec à sa disposition une quantité de papier illimitée]. Ce quelque chose pourrait-être en particulier humain ou pourrait être certaines forces de vie partagées par des formes de vie autres qu’humaines ». Gödel parle de « formes de vie » d’esprits non bornés (avec une infinité de neurones?). S’il peut parler de l’esprit humain on a vu qu’il ne peut pas encore parler de la pensée ou de l’esprit en général puisqu’il reste de ce point de vue surhumain, un esprit. Pour en parler en tant qu’esprit, il faudrait avoir résolu les paradoxes intensionnels, ce qui semble devoir conditionner la révolution mathématique.


11) Une petite halte dans ce chapitre sur l’incomplétude.Je continue de lire avec délices le livre de Pierre Cassou Noguès « Pierre Cassou Noguès« ,   Les démons de Gödel. Le livre est passionnant. Il  me permet d’approfondir ma connaissance du personnage énigmatique qu’est Gödel. Ses craintes et sa folie me paraissent compréhensibles et presque du domaine de la raison. Je me sens souvent plutôt proche de lui autant par mon questionnement philosophique sur les questions du sens (de l’existence d’abord) que par mon besoin d’approfondir mes connaissances.J’en donne ici « ma lecture » dans mon blog, lecture plutôt maladroite d’un néophyte qui éprouve le besoin de partager ses découvertes sur internet. Ici, le sujet est difficile et dépasse certainement mes possibilités de compréhension, mais je sens un intérêt grandissant pour ces questions sur l’incomplétude qui atteignent sans doute les limites actuelles du savoir humain. Il me semble qu’on est dans le même registre que le questionnement que Michel Bitbol interroge dans son livre « la conscience a-t-elle une origine?« , pour « une plongée dans les abymes de la conscience... ».Dans mon prochain article « Gödel: mon article 3) L’incomplétude partie 2« , nous achèverons « ma lecture » de la partie III du livre de Pierre Cassou Noguès sur l’incomplétude. Nous commencerons par le chap. 11 du livre « les démons de Gödel », Il sera encore question de l’esprit et le cerveau. Wang pense que c’est dans un autre monde qu’il faut envisager le développement des mathématiques auquel aspire Gödel. Mais celui-ci évoque une intuition … Mais comment une telle intuition est-elle possible? … Un réveil est-il possible dans cette vie? Dans le chap. 12, Il sera question de la vie après la mort. Dans le chap. 13, ce sera l’incomplétude, le mal et le diable. Dans le chap. 14, on verra un fou dans un monde de machines, ce qui terminera cette partie III sur l’incomplétude.

https://strange-univers.over-blog.com/article-les-mysteres-de-la-vie-apres-la-mort-7-46833527.html Les mystères de la vie après la mort


liens:https://journals.openedition.org/rgi/1126 : La phénoménologie des objets mathématiques chez Desanti: Inversion du sens de l’épochè husserlienneL’être en soi et l’idéalité en questionL’objet et le remplissement en questionLa conscience constituante en question
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_d%27incompl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del Théorèmes d’incomplétude de Gödel Le premier théorème d’incomplétude établit qu’une théorie suffisante pour y démontrer les théorèmes de base de l’arithmétique est nécessairement incomplète, au sens où il existe des énoncés qui n’y sont ni démontrables, ni réfutables (un énoncé est démontrable si on peut le déduire des axiomes de la théorie, il est réfutable si on peut déduire sa négation). On parle alors d’énoncés indécidables dans la théorie. Le second théorème d’incomplétude est à la fois un corollaire et une formalisation d’une partie de la preuve du premier. Il traite le problème des preuves de cohérence d’une théorie : une théorie est cohérente s’il existe des énoncés qui n’y sont pas démontrables (ou, ce qui revient au même, si on ne peut y démontrer A et non A) http://ll.univ-poitiers.fr/llappli/wordpress/le-theoreme-de-godel/ Le théorème de Gödel ll a remarqué qu’une fois la théorie fixée, tout énoncé mathématique et même toute démonstration peut se coder de façon systématique par un simple nombre entier. Gödel décrit précisément comment passer des énoncés aux codes et vice-versa. Il parvient ensuite à jouer avec ces codes pour créer un énoncé G qui affirme «G n’est pas démontrable», en parlant de son propre code.Si l’on pouvait démontrer G, on tomberait sur une contradiction, puisqu’il affirme justement que c’est impossible.
Et comme le contraire de G est «G est démontrable», on ne peut pas non plus le montrer!
Du coup la théorie est forcément incomplète : ni G, ni son contraire ne peuvent être démontrés.
Cette astuce rappelle les phrases paradoxales comme « cette phrase est fausse».https://fr.wikipedia.org/wiki/Codage_de_G%C3%B6delcodage de Gödel (ou numérotation de Gödel) est une fonction qui attribue à chaque symbole et formule bien-formée de certains langages formels un entier naturel unique, appelé son code de Gödel, ou numéro de Gödel. Le concept a été utilisé par Kurt Gödel pour la preuve de ses théorèmes d’incomplétude. (Gödel 1931)
http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./t/thmgodel.html Ikonicoff, Le théorème d’incomplétude de Gödel https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_compl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del  En logique mathématique, le théorème de complétude du calcul des prédicats du premier ordre dresse une correspondance entre la sémantique2 et les démonstrations d’un système de déduction en logique du premier ordre.https://www.persee.fr/doc/intel_0769-4113_2009_num_51_1_1732Le continu et les intuitions mathématiques. Problèmes liés à l’intuition mathématique dans la pensée de GödelPierre Cassou-Noguèshttps://www.amazon.fr/Lexp%C3%A9rience-lincompl%C3%A9tude-scientifique-th%C3%A9ologien-dOrigine/dp/2249621306l’expérience de l’incomplétude, le scientifique et le théologien en quête d’originehttps://excerpts.numilog.com/books/9782081330085.pdf LA CONSCIENCE A-T-ELLE UNE ORIGINE ? Des neurosciences à la pleine conscience : une nouvelle approche de l’espritmonblogdereflexions.blogspot.com/2021/01/une-approche-de-la-  conscience.html#.YLDEPb4zbDfUne approche de la conscience
programme de HilbertDavid Hilbert   la logique mathématique ou métamathématiqueprédicatsVon Neumannarchitecture de Von NeumannAlonzo ChurchEmile PostAlfred TarskiThéorème de Tarski (On ne peut définir dans le langage de l’arithmétique la vérité des énoncés de ce langage.)thèse de Church (calculabilité)lambda calculBolzano ouvre la conception de l’infini

https://journals.openedition.org/labyrinthe/200 Le cercle de Vienne La philosophie n’a rien à dire sur le monde. ;
œil ¨                  ë  ï   ∀a  x  x2y2
https://www.futura-sciences.com/sciences/dossiers/physique-singularites-trou-ver-voyage-spatiotemporel-614/page/5/ relarivité générale l’univers de Gödel et la solution de Kerr
https://www.techno-science.net/glossaire-definition/Voyage-dans-le-temps-page-3.html Gödel voyage dans le temps 
https://www.universalis.fr/encyclopedie/rene-descartes/8-la-veracite-divine-et-le-probleme-de-l-erreur/#:~:text=La%20v%C3%A9racit%C3%A9%20de%20Dieu%2C%20fondement%20de%20la%20science&text=Supposer%20que%20Dieu%20est%20trompeur,distinctes%2C%20notre%20pens%C3%A9e%20est%20infaillible Descartes et la véracité divine
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