Gödel: mon article 2) La réalité des objets immatériels, le platonisme de Gödel


Penrose, Platon et les mathématiques: Le monde platonicien des idées et les mathématiques
La métaphysique de la Lumière : Sohravardî et Sadrâ Shîrâzî; La Lumière discutée en rapport avec la thèse du substancialisme transcendantal
1) Rappel de l’article 1
Je relis avec attention le livre de Pierre Cassou-Noguès et j’en donne ici « ma lecture », car mon questionnement sur les dangers de l’intelligence artificielle et les crises que l’humanité est en train de vivre, avec en particulier, la crise sanitaire qui s’est déclenchée en 2020 m’amènent à me réinterroger sur la signification des théorèmes de Gôdel et de sa folie dont on a tant parlé. (voir aussi l’article de mon blog « Le cerveau numérique et le danger du transhumanisme » et l’avis de Philippe Guillemant dans NEXUS « La principale finalité de la vaccination n’est pas sanitaire« ).
Dans cet article 2 consacré à Gödel, je rappelle quelques points que nous avons vu dans l’article 1.
C’est un danger invisible mais intrinsèque aux intelligences artificielles : il est impossible de savoir avec certitude si elles feront bien ce qu’on leur a appris. Théorisée grâce aux travaux du logicien Kurt Gödel, cette « indécidabilité » menace, selon Roman Ikonicoff, l’avenir même des IA[…] Le théorème d’incomplétude de Gödel (photo) démontre que la plupart des systèmes formels peuvent formuler des énoncés corrects qui ne sont ni démontrables ni infirma-bles dans le système : des énoncés « indécidables »
Dans la première partie de son livre; Pierre Cassou-Noguès présente Gödel comme le « logicien fou ». Il prend place à une époque où la logique est déjà mathématique en y produisant des résultats d’une portée exceptionnelle qui prennent un sens qui dépasse le seul domaine de la logique mathématique.

2) L’œil pinéal. 

« On perd la raison comme on perd la perception sensible »

Pour commencer, évoquons Wang_Hao_(logicien) qui a longuement parlé de Gödel dans ses livres Réflexions sur Kurt Gödel et « a logical journey » (de Gödel à la philosophie). Wang Hao un logicienphilosophe et mathématicien sinoaméricain  « Il a inventé à la fin des années 1950 un modèle de calculabilité similaire à la machine de Turing : La machine de Wang, où le graphe d’état a été remplacé par une suite d’instructions (l’idée a été publiée en 1936 par Emil Post). […] Il est également connu pour avoir été le premier à programmer un ordinateur pour faire des démonstrations mathématiques. Enfin il a été le dernier logicien à fréquenter Kurt Gödel à la fin de sa vie, et il a publié un livre de philosophie rédigé d’après les notes de ses entrevues avec Gödel: A logical journey: From Gödel to philosophy. Il était le seul homme présent aux obsèques de Gödel, aux côtés de la veuve, et d’une amie].
« Gödel conjecture qu’un organe physique est nécessaire pour le maniement des impressions abstraites (par opposition aux impressions sensibles). Et, puisque nous avons une faiblesse dans le maniement des impressions abstraites, à laquelle nous remédions en nous appuyant sur des impressions sensibles pour percevoir les impressions abstraites, cet organe doit être étroitement lié au centre neuronal du langage. Mais nous n’en savons pas encore assez. « On perd la raison comme on perd la perception sensible »  nous dit la phrase en exergue à ce paragraphe. Pour Cassou Noguès, il faut prendre l’analogie au pied de la lettre: la raison suppose une sorte d’œil, organe dans le cerveau destiné à percevoir les concepts abstraits, les objets mathématiques par exemple, comme l’œil perçoit les objets sensibles. L’argument de Gödel, pour le localiser, dérive de sa conviction qu’il y a une intuition mathématique, une expérience directe des objets abstraits. Mais alors, pourquoi avons nous besoin d’un papier et d’un crayon pour nous en donner une représentation sensible de ces objets qui sont d’un tout autre ordre? C’est comme si, devant un paysage qui s’étend devant nous, nous avions besoin d’en faire d’abord un tableau. de le dessiner avant de pouvoir l’observer. Il n’y a qu’une seule  solution: c’est que « l’œil mathématique » soit lié aux centres cérébraux de la perception, comme branché sur eux? C’est l’hypothèse de Gödel: l’existence d’un organe de la raison, d’un organe de la perception qui n’est pas tourné vers le domaine sensible, mais qui ouvre sur un autre domaine, celui des objets mathématiques, des concepts, et d’êtres qui n’ont pas de place dans le domaine sensible. Cependant Gödel voit dans cet organe de la raison cet œil pinéal, deux sortes de troubles. D’abord un risque d’hyperactivité de cet œil qui peut être comme fasciné par les mouvements, le ballet des anges, qui n’est pas forcément la contemplation calme qu’on peut imaginer pour les objets mathématiques. Il oublie sa fonction première, qui est de diriger les actions de façon raisonnable. En deuxième lieu, il peut y avoir un trouble inverse, dont Gödel parle à Wang: l’œil mathématique peut se fermer, tout comme l’œil sensible, ou sont acuité peut diminuer, comme celle de la vue ou de l’ouïe.

*
.Dans le reste de ce chapitre, Gödel en parle en commentant son emploi du temps d’une une de ses journées. « C’est le matin, je me suis réveillé tard. Le  jour passe à travers les persiennes. Je reste au lit. Je pense à tout ce que je dois faire aujourd’hui et je n’ai pas envie de le faire. Je dois vouloir essayer de me rendormir. Bizarrement, je sens bien quelque chose comme un œil qui se ferme, dans ma tête, mais je garde les yeux ouverts. Oui, j’ai bien senti comme le clignement d’une paupière, et, pourtant, mes yeux sont ouverts. Je ne m’en préoccupe d’abord pas outre mesure. J’ai toujours en tête le programme de la journée, une liste avec des phrases qui -c’est vrai- ne me semblent rien vouloir dire. […]. »
Puis il se lève, prend son petit déjeuner en écoutant le radio d’une oreille distraite, sans comprendre ce qui ce dit. Il ressent une impression étrange de silence, aussi bien autour de lui que dans sa tête. Puis il va  la boulangerie. Il accomplit tous les gestes comme à l’habitude, converse normalement, mais il répond mécaniquement, sans y penser du tout. C’est alors en payant, comme tous les matins, qu’il s’aperçoit que quelque chose ne va pas. Alors qu’il obéissait à des automatismes; c’est au moment de payer qu’il réalise… Il y a des pièces au fond de son porte-monnaie. Il sait qu’il doit en sortir, mais lesquelles? Elles portent un chiffre qu’il faut combiner d’une certaine façon, mais comment faire? Il se souvient qu’il y a une autre ressource: ce bout de papier vert, avec un autre chiffre, qu’il tend à la boulangère, laquelle lui rend toute une poignée de pièces.
De retour chez lui, alors qu’il repense à toutes ces scènes, chacun de ses gestes, chaque mot qu’il prononce devient problématique. Qu’est-ce qu’une pièce? que veut dire le mot pièce? Impossible de le dire et pourtant, tout à l’heure ils se sont associés avec ces petits ronds colorés. Alors qu’il dans le square, il sent que sa perception s’est modifiée. Il voit bien ces formes colorées, ce vert gigantesque qu’il ne saurait plus nommer… Ce n’est pas que les couleurs se mélangent, elles semblent plutôt flotter autour d’elles-mêmes et de lui sans jamais se regrouper en ces ensembles qu’on appelle des choses. Il a donc perdu le concept de chose. Une chose est un ensemble de phénomènes sensibles, défini par un certain concept et par conséquent, déjà de l’abstrait. Ainsi, c’est en gardant son œil pinéal fermé qu’il ne saisit plus les impressions sensibles, obéissant seulement à l’habitude. Il arrive enfin chez lui. Sa femme est rentrée. Il lui répond mécaniquement à des choses qu’il ne comprend pas, étant réduit à un stade purement animal. Elle regarde alors fixement, mais en fermant son œil pinéal, il a évidemment perdu le langage, ou plus exactement, il a gardé l’habitude d’entendre et de prononcer certains groupes de sons. Ici, Gödel note que « si nous ne pouvions percevoir aucun concept, nous ne pourrions comprendre aucun énoncé singulier ». C’est maintenant son cas, il ne comprend rien, se contente de répéter des phrases toutes faites que son corps a gardées en mémoire. En réalité il en est réduit à un stade purement animal. La différence véritable entre l’homme et l’animal réside, pour Gödel dans l’intuition des essences, qui passe par l’œil pinéal, et le sien s’est fermé.
Gödel consulte un premier docteur, puis un spécialiste et suppose t-il toute une série de médecins, jusqu’au Dr Hesselius, qui est un personnage de l’écrivain irlandais Sheridan Le Fanu. Celui-ci défend, comme Gödel, l’existence d’un œil ouvrant sur un domaine immatériel, pour ainsi dire invisible. Cet œil serait sensible au thé vert, qui l’excite et le fait s’ouvrir en grand. Il note toutefois qu’un « thé fort donne des rêves désagréables » , mais sans lier ceux-ci à l’œil pinéal.
Puis, pendant sa convalescence, sa femme s’occupe de lui. Cuisinière distraite, elle laisse le mélange du Dr Hesselius infuser trop longtemps. Le thé a un goût très désagréable, mais il le boit pourtant jusqu’à la dernière goutte. C’est alors qu’après une demi heure, il sent ce même clignement de paupières dans sa tête. Son œil pinéal s’est ouvert d’un seul coup et il le sent même grossir. Il retrouve instantanément l’usage du langage, le sens des mots. Et des faits qui tiennent du merveilleux se produisirent: « Je m’étonne même que nous utilisions un langage aussi imparfait et je réfléchis à une réforme complète de la grammaire. cela m’amène à des considérations logiques: sur les langages, l’incomplétude. Je résous plusieurs problèmes d’importance, qui ne sont plus pour moi que des jeux d’enfant. Je domine le monde mathématique, un peu comme les paysages nuageux qu’on survole en avion. Je vois des combinaisons merveilleuses. J’écoute aussi les anges qui s’approchent de moi et me parlent d’égal à égal. Ou plus exactement, les anges me parlent sans utiliser de mots, par une sorte de suggestion silencieuse […]. Dans cette situation merveilleuse, Gödel ne sent pas de danger, il reste dans son lit, fasciné. Une voix sensible, avec des mots humains, celle-ci, lui demande comment il se sent. Il essaie de décrire ce qu’il voit du paysage mathématique et ce qu’il entend. Mais les paroles des anges et leurs raisonnements mathématiques ne se laissent pas traduire dans le langage humain. Et (comble de malheur ou conséquence?), il a tout oublié dès que l’infusion cesse de faire effet. Il sait qu’il faut garder l’œil pinéal seulement entrouvert et que l’homme tient le milieu entre une bêtise animale et et une folie angélique, mais quel dommage pour toutes ces évidences logiques et ces démonstrations qu’il lui semblait avoir résolus. ¨
3) Le platonisme.
Dans le chapitre 2 (le platonisme), Cassou Noguès va essayer d’étayer l’hypothèse que Gödel aurait entendu les anges avant de voir les objets mathématiques. C’est en 1936, année qu’il considérera comme la pire de son existence, après avoir lu toute une série d’ouvrages sur les maladies nerveuses… Entendait t-il les voix des anges lorsqu’il faisait des mathématiques, comme nous le décrivait Cassou Noguès dans le chapitre précédent? Avait-il peur de de les entendre ou en soupçonnait-il seulement l’existence? En tout cas, il admettait la possibilité d’une communication de l’esprit humain avec des êtres bizarres hors de notre monde. Ainsi, il aurait eu l’expérience  ou le pressentiment d’une telle « communication » entre des êtres de natures différentes, l’homme et l’ange, ce qui l’aurait conduit à accepter l’intuition mathématique (qui est également une relation entre des êtres de natures différentes.
En effet, en mathématiques, on s’occupe d’un domaine d’objets qui, à première vue, ne figurent pas dans le monde sensible, ce que l’on voit avec les yeux, qu’on touche avec les mains… On y raisonne sur les nombres, les nombres entiers qu’on peut compter, les nombres rationnels obtenus par division des précédents, les nombres réels associés aux points de la droite (qu’on ne peut distinguer sur cette dernière et qu’on n’a en général aucun moyen de construire), les nombres complexes. On raisonne aussi sur des ensembles arbitraires, constitués d’éléments indéterminés, on examine leurs propriétés… Ces objets ont-ils une une existence indépendante (un monde à part), un ciel d’idées au-dessus du monde sensible (monde platonicien) ou bien sont-ils seulement inventés, créés par l’esprit humain? Gödel penche pour la position platoniste. Il écrit en 1951: « La position platoniste est la seule qui soit tenable. Par là, j’entends la position selon laquelle les mathématiques décrivent une réalité non sensible qui existe indépendamment aussi bien des actes que des dispositions de l’esprit humain et qui est seulement perçue de façon très incomplète par l’esprit humain. »  Ici, Gödel soutien que cette réalité est indépendant, que l’esprit humain la perçoit sans pouvoir la changer. Dans d’autres textes, il est beaucoup nuancé. Ses arguments ne visent pas, en général, à établir la position platoniste, mais un énoncé plus faible qui laisse ouvert un éventail de positions possibles. En outre, les arguments de Gödel peuvent s’appliquer à toutes sortes d’objets, aux objets sensibles, aux objets mathématiques, et aussi … aux anges ou aux démons.  comme si ces arguments étaient destinés à prouver du même coup l’existence d’êtres bizarres et celle des objets mathématiques.
Pierre Cassou Noguès semble être intrigué et aimerait savoir ce qui a fait basculer Gödel dans ce réalisme platonique qui l’a conduit à poser ce second plan de réalité et la possibilité d’une communication avec les esprits. En effet, les premiers textes sont très prudents. Il dit avoir adopté ce réalisme dès 1925 dès sa première rencontre avec la logique. Mais ce souvenir n’est pas qu’une construction rétrospective? Alors ne l’est-il devenu qu’en 1936 avec sa grande crise et ses lectures autour des « maladies nerveuses » et ce pressentiment qu’aucune lecture ni aucun psychanalyste n’a jamais pu lui ôter d’une communion avec ces êtres extraordinaires?
4) Différentes sortes d’objets.
Cependant, cette préoccupation pour la question de la réalité mathématique n’est pas propre à Gödel. Elle semble accompagner le travail mathématique même comme le rappelle Cassou Noguès: « Le grand mathématicien britannique Geoffrey H. Hardy lance par exemple ce défi: Celui qui pourrait donner une explication (an account) de la réalité aurait résolu beaucoup des problèmes les plus difficiles de la métaphysique. S’il pouvait inclure de surcroît la réalité physique dans cette explication, il les aurait tous résolus ». Or, c’est bien le projet de Gödel, déterminer le statut de la réalité mathématique, et cela dans une analyse avec des arguments qui puissent s’appliquer à toutes sortes d’objets et ceci en toute généralité. Il ne parle pas volontiers de ses démons, mais ceux-ci sont pourtant sous-jacents aux arguments qu’il développe. Cassou Noguès prend pour exemple, un argument des années 1950 sur les objets mathématiques étendu aux démons et à d’autres objets dont il accepte l’existence beaucoup plus facilement que celle des démons: les objets littéraires pour lesquels le problème se pose de la même manière que pour les objets mathématiques. On parle d’eux comme des personnages fictifs, on raisonne sur eux dans le roman, mais aussi dans les conversations ou dans les suites que l’on imagine comme les nouvelles aventures de Sherlock Holmes (que multiples romanciers ont prétendu retrouver). Ces personnages ont-ils été inventés ou bien ont-ils, en un sens ou en un autre, une réalité, une existence qui précède le récit et le détermine? Alors qu’on peut penser que les nombres existent indépendamment de nos calculs et ne sont pas seulement sortis de l’entendement de Pythagore, on dira généralement que Sherlok Holmes n’existe que dans l’imagination de Arthur Conan Doyle ou du moins que celle-ci lui a donné naissance. Mais quelle raison a t-on d’établir cette différence de statut et pourquoi reléguer les objets fictifs dans notre imagination alors qu’on projette les objets mathématiques sur un autre plan de réalité? Les objets mathématiques semblent susciter une difficulté supplémentaire: ils ne situent pas dans l’espace et le temps et ne s’inscrivent pas dans le monde sensible. Cela n’a pas de sens de dire que le nombre 2 se trouvait le premier mai à Paris. Les nombres appartiennent seulement à un monde d’idées où d’une certaines façon ils ne nous dérangent pas. En revanche, peut-on dire qu’il est vrai que dans une de leurs aventures, le Dr Watson et Sherlok Holmes soient passés à la gare de Waterloo le 7 février 1898 comme cela a pu être écrit dans le roman? Si on pouvait avoir interrogé les voyageurs qui ont pris le train ce jour-là, il est probable qu’aucun n’aurait vu nos deux compères et que nonobstant l’anachronisme, si on avait quadrillé la gare de caméras de surveillance, on n’aurait probablement pas pu voir Holmes avec sa casquette, son manteau et sa célèbre pipe. Une autre solution serait d’admettre que les personnages littéraires ont une réalité et que les phrases des romans sont vraies, mais dans un autre monde. Le roman serait faux rapporté à notre monde, mais vrai dans ce monde possible (théorie développée par D. Lewis « Truth in Fiction » dans Papers in Metaphysics and Epistemology). Mais cette perspective, de prime abord séduisante, présente plusieurs difficultés. La première est de savoir comment le romancier peut connaître les aventures de Holmes il celui-ci est dans un autre monde sans rapport avec le notre. La seconde est que, réciproquement, les personnages des romans parlent des choses de notre monde, ce qui suppose qu’ils appartiennent bien à notre monde. Cassou Noguès cite par exemple Holmes qui se plaint du style qu’emploie Watson en racontant leur première aventure dans « une étude en rouge« . « Il se réfère » dit-il « au livre que j’ai moi-même dans ma bibliothèque et non pas, dans un autre monde, à un autre livre dont il faudrait qu’il soit identique au mien ». Le sens des reproches à Watson implique que ceux-ci se réfèrent au livre que chacun peut lire (dans notre monde), et non à un double dans un autre monde, livre dont nous ne pourrions jamais être certains qu’il est identique à celui que nous connaissons.
En conclusion, si nous donnons une réalité aux objets littéraires, il faut les placer dans notre monde où, apparemment ils ne sont pas. Les objets mathématiques ne donnent pas lieu à cette difficulté, car ils s’inscrivent dans le monde des idées. Cependant cette difficulté ne saurait, à elle seule, conduire à nier la réalité des objets littéraires, qui semblent poser un problème plus complexe que les objets mathématiques. En fait il faudrait plutôt trouver une parade. C’est ce que nous allons examiner au chapitre suivant.
5) Le mathématicien et le docteur Watson.
C’est Marianne Gödel, la mère du logicien qui va introduire ce chapitre, alors qu’elle se plaint d’un livre sur Einstein qu’elle ne comprend pas. .Alors Kurt lui répond: « Ce livre sur Einstein est-il vraiment si difficile à comprendre? Les préjugés contre et l’anxiété devant tout ce qui est « abstrait » jouent aussi, je crois un rôle. [Il faut d’abord] essayer de le lire comme un roman (sans vouloir comprendre tout à la première lecture) […]. 
Les sciences se laissent-ils comme un roman? Avant de discuter du statut des objets mathématiques et des objets fictifs, Cassou-Noguès va montrer que les mathématiques, ou l’image que les logiciens en donnent, copient le roman policier en prenant pour exemple les aventures de Sherlock Holmes. On évoque souvent  la proximité des problèmes des mathématiciens avec ceux des détectives. En mathématiques; on demande par exemple de trouver un nombre entier possédant telle ou telle propriété. Au détective, on demande de trouver l’homme qui a commis ce meurtre. Il va examiner la scène du crime à la loupe… Mais il ne peut pas passer en revue tous les habitants de Londres (pour le détective, le Londres est en pratique infini, comme l’ensemble des entiers naturels pour le mathématicien). Tout comme la mathématicien doit trouver l’entier qui vérifie les propriétés demandées, il doit trouver de construire, en un sens, son coupable.  Tout comme la mathématicien doit trouver l’entier qui vérifie les propriétés demandées, il doit trouver de construire, en un sens, son coupable. Une autre analogie concerne la structure des textes, de l’article ou du livre de mathématiques et du roman policier. De ce point de vue, ce sont plutôt les mathématiques et l’image que la logique moderne en donne qui sont calquées sur le roman policier. Un article de mathématiques raconte … les origines, le contexte, le but de sa recherche. Il parle à la première personne (je ou nous). Il donne ensuite les éléments de démonstrations pour les théorèmes en y intercalant des commentaires; éléments qui ne sont pas nécessaires à la preuve et qui ne s’expriment pas dans le même langage. Il y a donc en fait deux personnages différents, celui qui raconte et celui qui démontre. Les logiciens exigent que les démonstrations doivent pouvoir être formalisées, c’est à dire transformées en une suite de formules qu’enchainerait une certaine machine dite machine de Turing (voir aussi machine de Turing universelle). Le mathématicien est celui qui raconte l’histoire, les origines et les circonstances de sa découverte, ce n’est pas la machine qui démontre; il ne fait que rapporter les démonstrations d’une machine qu’il a en lui. Il raconte en y ajoutant des commentaires et en la résumant la démonstration qui serait trop fastidieuse pour un lecteur humain si elle était présentée par la machine. C’est bien ce que fait Watson: retracer en les embellissant les déductions d’une machine qui serait Sherlock Holmes: « Vous êtes vraiment un automate – dit franchement Watson à Holmes -, une machine à calculer. Il y a parfois quelque chose de positivement inhumain en vous » ou, s’adressant au lecteur « Holmes est, je crois la plus parfaite machine à observer et à raisonner que le monde ait connu« .
Cassou Noguès fait un parallèle entre Les aventures de Sherlock Holmes et le Dr Watson avec un article de mathématiques. La structure des textes est en principe identique. On pourrait donner un nom au narrateur mathématicien qui commente les démonstrations de sa machine et qui pourrait ainsi être distingué du mathématicien réel qui signe l’article. Le récit qui est fait du contexte de la découverte peut ne pas être un récit adéquat de la réalité et peut même ne pas viser à l’être. Le mathématicien réel peut bien s’inventer un personnage qui lui sert de narrateur et qui n’est pas tout à fait lui. C’est ce narrateur qui est à la place de Watson avec la machine qui démontre à la place de Holmes. Le mathématicien avec le nom que lui a donné l’état civil est à la place de Conan Doyle. Un autre fait distingue l’article mathématique des aventures de Sherlock Holmes: l’analogie précédente ne prend pas en compte le contenu véritable des enquêtes de Holmes. Celles-ci ne sont pas, en réalité, des déductions mathématiques. Elles n’ont rien de mécanique (que ce soit au sens courant ou au sens de Turing). Les déductions de Holmes ne se laissent pas formaliser. Inversement, si les démonstrations mathématiques doivent pouvoir être formalisées, c’est d’une toute autre façon que le mathématicien les invente et les expose. On ne peut donc pas dire que le roman policier soit mathématique, mais seulement qu’il y a une analogie entre l’image que donnent les logiciens des mathématiques et la structure posée dans le roman policier. Dans les deux cas, il s’agit, en principe, du récit par un narrateur humain des déductions d’une certaine machine. On serait tenté de croire que cette structure a été modelée sur celle des mathématiques, comme Holmes nous y engage en comparant ses enquêtes à des démonstrations mathématiques, que Watson a maladroitement déformées: « Je ne peux pas vous féliciter [à propos d’Une étude en rouge[le premier récit que donne Watson d’une enquête de Holmes] La détection est, ou devrait être, une science exacte, et il faut en traiter de la même manière, froidement et sans émotions. Vous avez essayé de la teinter de romantisme, ce qui produit le même effet que si vous introduisiez une histoire d’amour dans la cinquième proposition d’Euclide ». Watson, note ici justement Cassou Noguès, semble en savoir plus sur les mathématiques que Holmes et la plupart des mathématiciens de son temps, car ils ne se contentent pas de déduire froidement, mais ajoutent souvent cette touche de romantisme en commentant leurs démonstrations. En effet, le texte de Conan Doyle date du début des années 1890, alors que la transformation de la logique  qui lui donnera sa forme actuelle, n’est pas encore achevée. e paraît l’article de Turing qui permettra une caractérisation du formel (enchaînement de formules susceptibles d’être écrit par un certain type de machines, machine de Turing). On ne sait donc pas, au moment où Conan Doyle écrit; qu’un texte de mathématiques est, ou devrait être, ce récit par un narrateur des déductions d’une machine. Doyle a pu s’inspirer de certaines analyses, de Charles Babbage en particulier et Turing a pu lies des histoires de Holmes.
Il reste cependant, dans la structure des textes une différence fondamentale, liée à la relation du narrateur et des objets. Dans le roman, Watson, le narrateur, vit dans le même monde est en quelque sorte, de la même nature que le détective et les objets qu’il recherche. Dans le texte mathématique, en revanche, le narrateur se décrit comme un être humain, de notre monde, où ne figurent pas les objets mathématiques, les nombres, qui s’inscrivent sur un autre plan de réalité. Le narrateur est séparé de ce monde logique, sorte de ciel où semblent se trouver ses objets (mathématiques) alors que dans le roman, il peut être le coupable que le détective cherche (voir le tour d’Agatha Christie dans « le Meurtre de Roger Acroyd) ». Aucun mathématicien n’est la solution des équations qu’il décrit alors que celle(s)-ci est un (sont des) nombres, donc des objets de nature différente. Le texte mathématique est en fait une véritable énigme qui est plus la possibilité du récit que son objet. En effet, comment le narrateur peut-il parles d’objets qu’il semble considérer comme dotés d’une réalité différente de la sienne? Comment a t-il accès à ce plan de réalité? Et comment pouvons-nous le croire lorsqu’il parle de ces objets?
6) L’argument de Gödel
Gödel a plusieurs arguments que Cassou Noguès passe en revue dans Gödel and the question of the Objective Existence of Mathematical Objects. Mais il revient presque toujours, à partir des années 1950 au même argument qu’il formule dans la plus grande généralité. L’idée est la suivante: un objet qui possède des propriétés que nous ne connaissons pas ne pas avoir été créé par nous de façon consciente à partir de rien. Nous connaissons ce que nous créons à dessein. Par conséquent, un objet que nous ne connaissons qu’imparfaitement suppose soit un matériel extérieur à partir duquel nous l’avons conçu mais qui lui donne une réalité indépendante, ou bien il renvoie à des processus de création dans une partie inconsciente de notre esprit. L’argument apparait pour la première fois en 1951:

 « Le créateur connait nécessairement toutes propriétés de ses créatures, puisque ses créatures ne peuvent avoir d’autres propriétés que celles qu’il leur a données. [ce qui implique, puisque les nombres par exemple ont encore des propriétés que nous ne connaissons pas], que les objets et les faits mathématiques (ou du moins, quelque chose en eux) existent objectivement et indépendamment de nos actes mentaux, de toute décision que nous pouvons prendre. […] Nous ne créons pas les machines à partir de rien, mais nous les fabriquons à partir d’un matériel donné. Si la situation est similaire en mathématiques, alors ce matériel, ou base de nos constructions, serait quelque chose d’objectif et nous obligerait à accepter un point de vue réaliste, alors même que certains autres ingrédients dans les mathématiques seraient notre propre création. Il en serait de même si nous utilisions certains un instrument en nous mais différent de notre ego (tel qu’une « raison », quelque chose comme une machine pensante). Car les faits mathématiques exprimeraient alors (au moins en partie) les propriétés de cet instrument, qui auraient une existence objective. »

Cet argument peut s’appliquer à tour objet, mathématique ou non. Or un objet, c’est en avoir une connaissance pleine dans touts ses propriétés.et inversement, un objet qui nous demeure étranger en ce sens, avec des propriétés que nous ne connaissons pas ne peut pas avoir été créé par nous. On observe seulement deux restrictions à ce principe.  D’une part, nous pouvons avoir créé l’objet à partir d’un matériel préexistant, et les objets ne reflètent pas adéquatement la réalité, mais s’y enracinent. D’autre part, nous pouvons avoir produit l’objet de façon inconsciente, dans une partie de notre esprit à laquelle la conscience, l’EGO n’a pas accès. Nos objets se rattachent encore ici à une réalité, cet inconscient indépendant de nous (de notre EGO). Ici, Cassou Noguès précise que lorsque Gödel parle de propriétés que nous ne connaissons pas, il n’entend pas seulement des propriétés que l’esprit humain ne pourra jamais connaitre, mais de celles que nous pourrons déterminer après un certain effort d’élucidation. Or, un tel effort a été réalisé en mathématiques et par conséquent, le fait qu’après la réflexion sur le fondement des mathématiques (au cours du 20è siècle), après le travail d’axiomatisation, il reste des problèmes ouverts en théorie des nombres, cela suffit à établir la réalité de ces objets. La force de l’argument de Gödel, s’est qu’il s’applique à toutes sortes d’objets possibles. Pour les objets sensibles, que nous donne la perception, ils possèdent aussi des propriétés que nous ne connaissons pas et ce n’est pas pour Gödel, qu’ils existent tels que nous les percevons car notre perception n’est pas adéquate au monde réel (qui est un ensemble de monades). Le monde tel que nous le voyons, les objets de notre perception sont seulement formés à partir d’impressions que nous recevons passivement . Mais il y a une réalité à partir du monde sensible. Et il en est de même pour le monde mathématique. Puisque nous ne démontrons tous les théorèmes que nous pouvons formuler et que certaines propriétés des objets mathématiques nous restent inconnues, c’est qu’il y a une réalité mathématique. Mais cela ne signifie pas que nos mathématiques la reflètent, elle peut être bien différente. C’est cette réalité autre qu’il reste à découvrir. Nous y avons certes accès dans une intuition, mais […] il faut noter que l’intuition mathématique ne doit pas forcément être conçue comme une faculté offrant une connaissance immédiate des objets en question. Il semble plutôt que , comme dans le cas de l’expérience [sensible], nous formions également nos idées de ces objets sur la base de quelque chose d’autre qui est alors immédiatement donné. »  Cette réalité, qui est plus la réalité à la racine des objets que celle de nos objets satisfait entièrement au platonisme de Gödel. Mais la réalité mathématique et son monde ne comportent pas seulement comme des objets morts que sont les nombres mais aussi comme des êtres vivants, des esprits, des anges, des démons. Pour Gödel, la réalité des ces êtres bizarres peut être tirée du même argument. Imaginons; Je rêve, un ange me parle… Je me réveille alors, stupéfait par cette voix qui a gardé tout un côté mystérieux. L’argument de Gödel implique que la voix qui me parlait, ou bien a une réalité (elle n’est peut-être pas identique à celle que j’entendais), ou bien a été imaginée dans une part de mon esprit, un inconscient auquel je n’ai pas accès. Bien entendu, on sera peut-être tenté de ne leur reconnaitre que cette réalité de l’inconscient, alors même que l’on donne aux objets mathématique une réalité objective. En réalité, Importe t-il que les objets s’enracinent dans une réalité objective ou dans une réalité subjective? Ils ont en fait une réalité qui ne dépend pas de nous.
Pour finir, après les objets sensibles, les fées et les anges, les réalités mathématiques Considérons, les objets fictifs qui, eux-aussi, ont des propriétés que nous ne connaissons pas, les personnages de roman. Par exemple, quelle est la date de naissance de Sherlock Holmes? Elle ne semble pas mentionnée dans les textes de Conan Doyle. Cassou Noguès montre longuement que nous ne pouvons pas la choisir arbitrairement  pour maintenir la cohérence logique du récit mais aussi pour d’autre types de cohérence. Il faudrait chercher dans les textes ou imaginer à partir des textes des renseignements qui nous permettraient de déterminer cette date en tenant compte des lois que vérifient le monde de Holmes (en particulier des lois logico-mathématiques) et de la cohérence particulière aux objets fictifs. Et il se peut que nous ne réussissions pas à fixer une date suffisamment cohérente. Un autre exemple qui ne laisse aucune place au choix concerne la question: Holmes serait-il capable de faire arrêter son frère Mycroft si celui-ci se révélait coupable d’un meurtre? Il est possible la aussi que nous n’obtenions jamais de réponse satisfaisante et même que nous ne réussirons jamais à construire une situation, à imaginer une histoire et une réponse à la question qui soient aussi convaincantes que les autre aventures de Holmes.
Donc, les personnages fictifs possèdent, comme les objets mathématiques et les êtres « mystérieux », des propriétés que nous ne connaissons pas. Ils ont donc une réalité, qui peut, dans l’argument de Gödel, se penser de 3 façons différentes. 1) Il y a a quelque part, dans notre monde ou dans un monde possible, un homme, nommé Sherlock Holmes. 2) Le personnage de Sherlock Holmes est imaginé à partir d’une réalité autre, ce qui peut signifier qu’il a un modèle. 3) Le personnage de Holmes est sorti de l’inconscient de Doyle et c’est pourquoi il est resté, autant pour Doyle que pour nous un inconnu, un être que nous pouvons  approcher, mais qui, au fond, nous échappe toujours. Ces façons correspondent aux 3 principales théories concernant le statut des objets fictifs: 1) la théorie des mondes possibles qui a été remise en vogue par David Lewis. 2) Le réalisme (le réalisme scientifique ou réalisme scientifique, un problème épistémologique central ou qu’est-ce que le réalisme scientifique?) 3) Les théories de l’inconscient qui se rapprochent de la création littéraire du rêve, depuis Robert L. Stevenson. L’argument de Gödel, qui semble ici mieux s’appliquer aux objets fictifs et aux être bizarres  qu’aux objets mathématiques, s’appuie en particulier sur un sens du mot « création » étranger à la philosophie mathématique.(Voir la note 24 P. 268 de Pierre Cassou Noguès dans « Les démons de Gödel« : on peut opposer l’usage par Gödel du terme « création » à celui qu’en font L. J. E. Brouwer et Dedekind -voir « on Gödel’s platonism« ). Cela tient-il comme l’explique Cassou Noguès dans le chapitre suivant à propos de Descartes, à ses sources?
7) Descartes et la psychanalyse.
     


     7-1 A propos de l’argument de Gödel
L’argument de Gödel, que nous venons de voir en détail rappelle l’une des preuves de l’existence de Dieu dans les méditations métaphysiques que selon Cassou Noguès, Descartes tient de la scholastique médiévale. Nous avons dit-il l’idée d’un être infini. Cette idée, véritable paradoxe, comment aurions-nous pu la tirer de nous-mêmes qui sommes des êtres finis? Il faut qu’elle ait été mise en nous par un être lui-même infini. Or il est impossible à un être fini de créer l’idée de l’infini, car l’infini nous échappe, nous ne le comprenons pas. Descartes précise: « Il se rencontre en Dieu une infinité de choses, dit que je ne puis comprendre, ni peut-être même atteindre par la pensée, car il est dans la nature de l’infini que ma nature, qui est finie et bornée, ne le puisse comprendre. » Pour Gödel, cette non-compréhension de l’infini est un indice de son existence réelle, un indice de ce que notre idée de l’infini n’est pas une fiction, mais le reflet d’une réalité extérieure à nous. Pour Descartes, si nous ne comprenons pas l’infini, c’est dans la mesure où il donne lieu à des paradoxes comme l’hôtel de Hilbert et le paradoxe de l’infini: la moitié d’une grandeur infinie, une demi droite, l’ensemble des entier pairs par exemple, est également infinie (le tout serait égal à une partie?) Comment cela est-il possible? Pourtant, remarque Leibniz l’argument de Descartes suppose que l’idée de Dieu [l’idée de l’infini] est possible et n’implique pas de contradiction (voir nouveaux essais sur l’entendement humain). Dans un autre exemple, nous ne pourrions pas déduire la réalité du mouvement perpétuel de ce que nous pouvons en parler, car nous en avons l’idée, sans pouvoir la comprendre. Celle-ci est contradictoire, car elle s’oppose aux lois de la physique et en cela, nous ne la comprenons pas, mais la contradiction montre la non-existence du mouvement perpétuel. On ne peut donc pas tirer l’existence du mouvement perpétuel de ce que l’idée en est contradictoire. L’argument de Descartes suppose ce qu’on appelle maintenant la consistance de l’idée en question et en même temps, dans le cas de l’infini, il s’appuie sur le fait que l’idée de l’infini donne lieu à des paradoxes. Cet argument comporte dans l’esprit du XVIIè siècle, quelques difficultés. Voir ci-après le concept d’infini et son historicité en sciences et en mathématiques.
Mais dans les mathématiques du XXè siècle, ce n’est plus une difficulté.  L’infini est-il paradoxal en mathématiques? Pour résoudre le paradoxe du tout et des parties et affronter l’hypothèse du continu, notre idée de l’infini actuel doit évoluer ; aujourd’hui encore, nous découvrons de nouveaux infinis. Le fait qu’une grandeur infinie puisse être égal à une de ses partie constitue en fait une définition de l’infini. C’est le philosophe et mathématicien tchèque Bernard Bolzano (1781-1848) qui, affrontant ce paradoxe de la réflexivité, ouvre vraiment la voie à ce qui est aujourd’hui notre conception de l’infini. L’un de ses apports essentiels consiste à récuser le caractère paradoxal des paradoxes de l’infini : ils n’existent que tant que l’on tente d’appliquer des concepts finitistes à l’infini. Au contraire, Bolzano énonce que les propriétés considérées comme paradoxales doivent être utilisées pour définir l’infini. Il propose ainsi d’utiliser la propriété apparemment la plus paradoxale, celle de la réflexivité, comme la caractéristique des totalités infinies (ce qui revient à abandonner, pour les totalités infinies, le principe du tout et de la partie). Un argument utilisé jadis pour réfuter l’infini devient ainsi la propriété définissant les ensembles infinis! « La solution du paradoxe de la réflexivité est rendue parfaitement claire par le fait que la relation ensembliste « est contenu dans » ne doit pas être confondue avec la relation « avoir une taille plus petite que ». Les nombres carrés sont contenus dans les nombres entiers, mais en tant que totalité, ils ont la même taille. Il est bien vrai que si l’ensemble A est contenu dans l’ensemble B, alors la taille de A ne peut être supérieure à celle de B, mais si A et B sont infinis, leurs tailles peuvent être égales… Dans ces conditions, c’est alors le fini qui est défini de manière privative, par le fait qu’il ne possède pas cette propriété de réflexivité. » Nous supprimons ainsi l’aspect paradoxe. Notre idée de l’infini, nos idées mathématiques ne semblent plus donner lieu à aucune contradiction, mais pouvons-nous dire que nous comprenons l’infini? Peut-être, cependant nos théories restent incomplètes. Les objets mathématiques gardent des propriétés que nous ne connaissons pas, et en ce sens, continuent à nous échapper. ce qui permet que Gödel puisse s’inspirer du texte de Descartes pour poser qu’un objet dont nous ne réussissons pas à. déterminer les propriétés ne peut pas avoir été créé par nous. Cet argument laisse cependant supposer, comme nous l’avons vu précédemment, la consistance de nos idées, de nos théories mathématiques (Une théorie est dite dans ce sens cohérente ou consistante quand elle n’a pas pour conséquence tous les énoncés du langage dans lequel est exprimé la théorie, ou, de façon équivalente (car d’une contradiction on déduit n’importe quoi), quand elle ne permet pas de démontrer à la fois un énoncé et sa négation. Une telle théorie est dite également non-contradictoire).Il établit donc la réalité de leurs objets sans que l’on puisse s’appuyer en retour sur cette réalité pour justifier nos théories et leur consistance, retour que Gödel n’accomplit pas. En Fait, Cassou Noguès dit qu’il n’y a pas, à sa connaissance, de texte où Gödel rattache de façon explicite son argument à l’argument de Descartes. C’est une hypothèse qui n’explique qu’une moitié du critère de Gödel pour la réalité des objets. L’autre possibilité  est, que, comme nous l’avons vu, ces objets que nous ne connaissons qu’imparfaitement aient été créés de façon inconsciente dans une partie de notre esprit que nous ne pouvons ni analyser, ni contrôler. Il faut lui chercher une autre source que dans le texte cartésien, car elle n’y apparait pas …
     7-2) Chez le psychanalyste de Gödel.
C’est à New York chez le Dr Hulbeck que Gödel a l’habitude d’aller consulter. Hulbeck n’est qu’un nom d’emprunt choisi par le Dr Richard Huelsenbeck pour exercer aux Etats-Unis après avoir émigré en 1939 pour fuir le nazisme [… Il s’installe à Long Island, New York, en 1939 et ouvre un cabinet de médecin-psychiatre (tendance Karl Jung7 sous le nom de Charles R. Hulbeck. Durant cette période il fut à la fois le psychanalyste et l’ami de Kurt Gödel comme le rapporte Pierre Cassou-Noguès8]. Cet ancien Dadaïste, qui se décrit comme le tambour de Dada (voir Gödel et le tambour de Dada) publie dans les années 1920 des poèmes (Les Prières fantastiques). Il renie par la suite le côté politique de Dada tout en voulant fidèle au mouvement artistique. Il a terminé ses études dans ces années 1920, exerce d’abord dans la marine, sur les paquebots. Il voyage, se fait psychiatre et psychanalyste, d’inspiration jungienne. Inquiété par les nazis, il cherche à émigrer et c’est apparemment grâce Einstein qu’il obtient un visa pour les Etats-Unis en 1936. On peut supposer que c’est par Einstein qu’il a connu Gödel.
C’est ainsi qu’il arrive, habitude qui peut paraître surprenante entre un analyste et son patient, que Hulbeck vienne à Princetown déjeuner chez les Gödel, le dimanche midi, en famille; avec sa femme et son fils. Gödel, qui aime les films surréalistes avec « une symbolique abstraite » se prend d’intérêt pour l’art contemporain nous dit Cassou Noguès. Il est difficile de ne pas y voir  l’influence de Huelsenbeck. S’exerce t-elle jusque dans la philosophie mathématique de Gödel? En tout cas, à la suite de Jung, il met l’accent sur le rôle de l’inconscient comme « force créatrice »: « L’écart » écrit-il, « par rapport à la perspective de Freud, tient justement à ce que l’inconscient n’est plus seulement un « réservoir » de fantasmes et de désirs refoulés, mais un aspect véritable de la personnalité et le fond sur lequel s’appuis la force créatrice. L’inconscient ne répète pas seulement un traumatisme enfantin, il crée. C’est à l’inconscient qu’il faut faire remonter les véritables créations de l’art humain ».
L’hypothèse de Pierre Cassou Noguès: Gödel aurait exposé à Huelsenbeck sa théorie au cours d’une séance ou d’un déjeuner dominical sur la preuve qu’un objet a une réalité propre est qu’il nous échappe. Le objets mathématiques ont des propriétés propres qu’on ne connait pas. Ils forment un monde à part. Ces voix dont Gödel pressent qu’on peut les entendre quand on fait des mathématiques, surprennent: c’est qu’elles ne viennent pas de nous mais appartiennent à des anges qui vivent parmi les objets mathématiques. Huelsenbeck accepte peut-être l’idée de Gödel de traiter de la même façon les mathématiques et les voix, c’est à dire les nombres qui sont les anges pour son patient. Mais il objecte, dit Cassou Noguès, que ce qui échappe à l’EGO conscient peut aussi bien sortir de ce fond inconscient sur lequel l’EGO s’appuie et qui fait la personnalité qui déborde l’EGO. C’es là qu’il faut chercher l’origine de toute œuvre, nouvelle et durable. Même si Gödel prend la réponse de son psychanalyste eu sérieux, rétablit sans cesse la réalité de ses objets. Il veut sans doute montrer que rapporter nos objets à un inconscient véritable leur donne une réalité indépendante. Il suffit que cet inconscient soit radicalement inconscient, à la fois étranger et commun, à nous tous: c’est l’esprit de Dieu avec lequel nous sommes en contact.
8) Borges, les rêves et la réalité des fictions.
Il est remarquable que ce génie de la fiction face à la complexité du monde utilise le même critère que Gödel pour déterminer la réalité: un être réel nous échappe, il nous surprend et nous ne le comprenons pas. (voir dans wikipedia: « une des influences majeures du réalisme magique latino-américain, Borges est aussi un écrivain universel […]. Mais il y a une différence: Borges semble exclure la possibilité d’une productivité de l’inconscient alors que Gödel la laisse pour le moins ouverte. Les rêves dit Borges, ne produisent rien par eux-mêmes, sinon des « fantômes » auxquels on « répète des choses déjà dites et qui le savent et qui répondent de façon mécanique« . S’il peut y avoir création, ça n’est pas dans le rêve inconscient, comme délire, mais au contraire dans un rêve maitrisé, travaillé, rêve les yeux ouverts, tel celui des « Ruines circulaires« . Le dormeur rêve en solitaire sans jamais rencontrer  un autre qu’il n’aurait pas créé et pourrait le surprendre […] « .Avec soulagement, avec humiliation, avec terreur, il comprit que lui aussi était une apparence, qu’un autre était en train de le rêver. »  Le critère de réalité (est réel ce qui nous échappe) peut alors intervenir à l’intérieur du rêve pour y distinguer ce qui, précisément, n’est pas rêvé. Ici apparait le thème de « l’autre« , second thème de la métaphysique de Gödel, le voyage dans le temps. Extraite du livre de sable, Elle narre l’histoire de Borges lui-même. Dans cette sorte de «conte fantastique», il évoque que lors d’une promenade, il fait la rencontre d’un homme qui s’avère être lui-même, mais beaucoup plus jeune. « Nous sommes en 1969, Borges s’est étendu sur un banc devant le fleuve Charles. Un jeune homme s’assied à côté de lui, sifflotant un air argentin. Borges le reconnait bientôt: C’est lui-même, plus jeune, un jeune Borges qui pense être à Genève. Evidemment, si Borges plus âgé pence à évoqué certains détails de sa vieut sans difficulté se reconnaitre plus jeune, il reste à convaincre le jeune Borges que ce vieil homme à côté de lui est bien lui-même, plus âgé. Le vieux Borges commence par évoquer devant le jeune Borges certains détails de sa vie que lui seul peut connaitre: les livres de sa bibliothèque, une « certain fin d’après-midi au premier étage ». Donc le jeune Borges sait qu’il ne parle pas  à un inconnu. Il peut encore penser qu’il ne fait que rêver ce vieil homme ». Il lui dit: « Si je suis en train de rêver, il est naturel que vous sachiez ce que je sais ». Cela signifie peut-être qu’il n’y a pas dans le rêve de véritable scission (sujet-objet?): le sujet, qui produit le rêve, se retrouve tout entier dans chacun de ses personnages. C’est dans cette perspective que se place le vieux Borges (qui est en position de narrateur) pour s’efforcer de prouver au jeune Borges qu’il ne rêve pas. « Je veux te prouver immédiatement, lui dis-je que tu n’es pas en train de rêver de moi. Ecoute bien ce vers que tu n’a jamais lu, que je sache. Il déclame le vers célèbre: l’hydre-univers tordant son corps écaillé d’astres. Le vieil homme sentit la stupeur presque terrifiée du jeune homme qui lui avoua: « c’et vrai […]  Je ne pourrais jamais écrire un tel vers, moi]. Hugo les avait réunis.
Ainsi, c’est en lui montrant quelque chose qui lui échappe, un vers plus beau que les siens, que le vieux Borges convainc le jeune qu’il n’est pas qu’il n’est pas un simple fantasme. Le sujet rêveur est le même que le sujet éveillé, avec les mêmes facultés et la même impuissance. Il n’y a pas dans le rêve borgésien cette raison inconsciente, qui pourrait produire un énoncé, un être qui transcenderait l’EGO. Donc, celui qui peut réciter devant le jeune Borges ce vers que ce dernier ne pourrait pas écrire n’est pas rêvé par ce même jeune Borgesé qui, on l’apprendra, est pourtant en train de rêver. Un être réel s’est introduit sans le savoir: le vieux Borges, qui n’est pas lui-même rêvé. L’esprit Borgesien, pour lequel le rêve spontané est stérile, semble ne pas pouvoir, dans une partie de lui-même, produire ce qu’une autre partie, l’EGO ne reconnaitrait pas. Gödel par contre, admet cette scission de l’esprit. Si son double se contentait de réciter un vers ou de démontrer un théorème, le logicien pourrait encore se penser rêvant et son esprit, alors dominé par cette raison caché resterait alors inaccessible à l’EGO. Pourtant, entre Borges et Gödel, l’écart est mince. En effet, s’il doit pouvoir produire les objets mathématiques; l’inconscient gödelien doit universel et partagé par tous et en même temps absolument inaccessible. C’est comme l’esprit d’un Dieu, enfoui sous l’ego personnel, mais qui en déborde pour toucher tout homme. Ici, Borges accepterait-il de renvoyer la création à ce Dieu caché en nous? L’écrit-il dans ce poème intitulé « l’autre » (comme la précédente) à propos de la création littéraire: « L’impitoyable Dieu jamais nommé  Donne aux élus le parfait instrument […]. Ce qu’il y a de véritable dans les vers peut ainsi être produit ce Dieu, un autre en nous, tout comme les mathématiques par cette « raison » qui sous-tend l’égo. en conclusion, peut-on dire avec Cassou Noguès que Borges semble se trouver au plus près de l’argument de Gödel et la question est sans doute de savoir dans quelle mesure ce Dieu qui crée en-deçà de l’EGO peut-être dit appartenir à l’esprit humain. Gödel, devant son double pourrait croire ne faire que rêver, mais il lui faudrait alors accepter que ce rêve et ce double lui sont envoyés par un tel Dieu, caché en lui mais qui le dépasse.
9) Les mathématiques comme rêve. 
On a vu que Gödel prend au sérieux l’hypothèse que les objets mathématiques sont constitués de façon inconsciente dans une partie de l’esprit à laquelle l’ego n’a pas accès. Ce serait une sorte de rêve qui se déroule devant nos yeux, que nous savons avoir produite, mais que nous ne maitrisons pas et dont nous ne comprenons pas les ressorts. C’est en fait le monde dans lequel se déroule le rêve, monde dont le rêveur se souvient au réveil et qu’il cherche à retrouver. Notre raison inconsciente pose un cadre: les lois mathématiques et les axiomes, qu’ils puissent ou non s’énoncer dans nos langages. Elle fait naitre l’univers mathématique sans que nous saisissions les mécanismes selon lesquels elle procède. Et l’ego, la partie consciente de notre esprit, donc nous-mêmes, cherche à comprendre quelles sont les propriétés de ces objets qu’il a devant les yeux, en particulier pourquoi des axiomes lui semblent évidents. « En mathématiques la question est de découvrir ce que nous avons peut-être produit inconsciemment ». La « raison », dans cette perspective, est un inconscient, une région fermée à l’ego, qui ne l’observe que de l’extérieur. C’est un instrument en nous mais différent de notre ego. Notre esprit est donc fait de ces deux composantes. Mais d’où vient cette raison, ce quelque chose dans l’esprit qui est fermé à l’ego et pourquoi cette raison reste-t-elle inconsciente? Cassou Noguès note ici qu’une difficulté est due au fait que la plupart de ces notes datent des années 1950, qui représentent la période la moins bien connue du développement intellectuel de Gödel. Les cahiers philosophiques renseignent sur les années 1940 avec son passage de la logique à la philosophie et à l’épistémologie, Les conversations avec Wang (a logical journey), dans les années 1970 concernent la dernière période de sa philosophie. En revanche, les années 1950, en l’état actuel des archives, restent une zone obscure « je ne rends publiques que les parties de ma philosophie qui se prêtent le moins à controverse » a t-il écrit ». Cet inconscient mathématique n’en fait peut-être pas partie. On peut néanmoins, dit Cassou Noguès en éclairer la nature par deux séries de remarques.
En premier lieu, Gödel évoque un appareil conceptuel constitué dans l’enfance et dont l’origine est ensuite oubliée: « L’appareil conceptuel/intellectuel que, dans notre culture, nous acquérons dans les quinze premières années de notre vie et qui n’est jamais élargi mais seulement appliqué d’une façon de plus en plus complexe par la science aujourd’hui« . Selon Gödel, l’enfant possède donc déjà le système de concepts qui lui permettra de devenir mathématicien ou qui formera la base de ce qui lui permettra de les développer les maths. Seulement, l’adulte mathématicien a oublié les processus par lesquels il a formé ce système de concepts qu’il applique maintenant et qui lui apparait simplement évident, sans qu’il puisse en retrouver le fondement: « Il est pensable que, quand on apprend une théorie du monde dans la plus jeune enfance, (que soit par un enseignement ou de façon automatique), et que l’on utilise beaucoup, alors dans la vie adulte des conséquences complexes de cette théorie semblent immédiatement évidentes, sans que l’on puisse en donner une justification […]        quelle est la méthode à utiliser pour les fondements de la connaissance? »  … (Psychanalyse). Dans cette perspective, fonder les mathématiques suppose un retour sur l’enfance, qui réactualise ce processus de constitution. Le fondement des sciences se rapprocherait de la méthode psychanalytique. Ici, Gödel opère un rapprochement étonnant entre Freud et Husserl, entre la psychanalyse et la phénoménologie [Elle fait de la philosophie l’étude systématique et l’analyse de l’expérience vécue, des contenus de conscience et des structures des faits de conscience comme étant eux-mêmes des phénomènes de la pensée qui se pense elle-même et pense le monde]. « La phénoménologie entend également développer une méthode réflexive permettant de réactualiser, dont l’origine est oubliée et s’est « sédimentée » selon les mots de Husserl [note 45 « l’origine de la géométrie » dans La Crise des sciences européennes et la Phénoménologie Transcendantale. Ne peut-on dire que Husserl préfigure Gödel?: Selon Husserl, la « méthode scientifique » reposerait sur un fondement subjectif caché et oublié (depuis l’enfance?)1. Husserl reconnaît en Descartes, « l’initiateur des temps modernes »; avec lui, « la philosophie porte en elle l’idée directrice d’une fondation de toutes les sciences Comme science universelle, la philosophie doit fonder la scientificité de toutes les sciences » écrit Emmanuel Housset. Le philosophe, face à la crise actuelle sur le fondement ultime des sciences, s’interroge sur le « motif originel » « qui donne son sens depuis Descartes à toutes les philosophies modernes […] (motif originel), que l’on ne peut obtenir que si l’on s’enfonce dans l’unité de l’historicité de la philosophie moderne dans son ensemble, […] (à savoir la question), de l’ultime source de toutes les formations de connaissance, c’est l’auto-méditation du sujet connaissant sur soi-même et sur sa vie de connaissance, dans laquelle toutes les formations scientifiques qui valent pour lui ont lieu « téléologiquement », sont conservées comme un acquis et sont devenues librement disponibles », ].
Gödel semble commencer à lire les écrits de Husserl autour de 1959. En 1961, il rappelle le rôle que joue, selon lui, l’enfance dans la constitution des concepts scientifiques, constitution que la phénoménologie doit éclairer. Elle prend la même fonction que la psychanalyse dans le paragraphe précédent, qui date des années 1940. La phénoménologie ne remplace pas la psychanalyse dans l’esprit de Gödel, mais les deux se rencontrent.
En second lieu; une autre série de remarques conduirait à donner une autre interprétation de la « raison » inconsciente qui accompagne ‘l’ego« . Gödel envisage ici de reprendre la thèse Leibnizienne de l’univers mathématique d’abord réalisé en Dieu. Est-ce une autre forme du rêve? Dieu pense, en quelque sorte, les mathématiques, imagine tous les objets et en démontre tous les théorèmes. Il n’est plus besoin de poser qu’elles décrivent un monde à part,  un monde d’idées (platoniciennes). Elles décrivent et reproduisent ce qui leur donne leur réalité, la pensée de Dieu: « Les idées et les vérités éternelles sont des pièces de la substance divine. Il ne s’ensuit pas que Dieu les ait crées (Dieu ne s’est pas créé lui-même) [.. ..] ». Si les objets mathématiques sont les idées de l’entendement divin plutôt que des entités indépendantes dans un monde à part (platonicien), l’intuition mathématique est un accès à l’entendement de Dieu, sorte de télépathie qui ouvre à sa pensée. L’ego, dans la mesure où il entre en contact avec elle, joue bien le rôle de cette raison inconsciente; il prend ses évidences dans l’entendement divin, mais sans pouvoir saisir les mécanismes de cette pensée et de façon incomplète, sans comprendre ce qui les justifie. C’est cette perspective qu’il envisage dans les années 1970 et 1980 en reprenant par exemple avec Wang le mot de Josia Royce: « La raison signifie une communication avec l’esprit divin« . [Josiah Royce est, au tournant du XIXe et du XXe siècle, l’un des principaux représentants anglophones de l’idéalisme d’esprit hégélien, « absolu » et « objectif ». Nombre de ses idées sont élaborées en réponse aux défis lancés par son ami et collègue William James, grande figure du pragmatisme, ainsi que pour répondre aux critiques de Charles Peirce, précurseur lui aussi de la philosophie pragmatiste.] Dans cette deuxième interprétation, Gödel donne aux mathématiques la même réalité qu’en la rapportant à un monde à part (platonicien). Il y a les idées que nous formons nous-mêmes, celles qui nous viennent de la perception sensible et il reste une troisième chose, dit-il: « quelque chose comme un esprit objectif qui représente alors un aspect ou un plan de réalité objective« .
Maintenant, faut-il opposer ces deux interprétations de la raison, la raison comme souvenir de notre enfance versus la raison comme pensée divine? Il n’apparait pas de texte qui les mette en relation explicitement, ni pour les concilier, ni pour les opposer, comme une alternative. La raison sous-jacente à l’ego peut donc recouvrir à la fois les premiers efforts de l’enfant pour mettre en ordre le monde environnent, efforts que l’adulte refoule pour s’en assurer la stabilité et d’un autre côté l’esprit de Dieu avec lequel l’ego reste toujours en contact et dans lequel l’enfant a d’abord puisé ces concepts. Cette ambiguïté (la raison est-elle l’esprit de l’enfant et/ou celui de Dieu?) s’accorde avec l’hypothèse de l’influence de la psychanalyse. Celle-ci dit à Gödel que ces objets qui échappent à l’ego peuvent aussi bien renvoyer à un travail de l’inconscient que l’ego ignore et à la constitution d’une certaine structure au cours de l’enfance. Il prend l’argument au sérieux et en même temps il veut maintenir la réalité de ses objets. Il le fait en réinterprétant cette raison inconsciente qui nous vient de l’enfance pour en faire une pensée objective, la pensée divine. Celle-ci donne en effet à des objets le même degré de réalité qu’une existence dans l’extériorité.
10) Retour sur l’œil de la pensée.
Le platonisme de Gödel est marqué par 3 thèses:
1) On peut indifféremment considérer que les objets mathématiques soient dans une réalité à part, un ciel d’idées se superposant au monde sensible ou dans une raison sous-jacente à l’ego, donc inconsciente.
2) Le monde mathématique (soit intérieur à la raison, soit dans l’extériorité) est peuplé d’anges et d’êtres bizarres qui sont dans les idées comme nous sommes dans la matière. 
3) Le monde mathématique nous est donné dans une intuition, différente de l’intuition sensible; mais supposant comme elle un organe particulier.
L’existence des anges et la position d’un œil de la pensée ont été largement évoqués dans les chapitres précédents. Les anges dans le monde de Gödel semblent allier la vie et la conscience à un mode d’être qui les rapproche des concepts. Ils constituent une forme d’être plus haute que celle des concepts qui ne vivent pas, et plus haute que la nôtre, nous qui vivons dans le monde matériel: « La vie est une haute forme de l’être (celle de la vie), et l’âme est par là en un sens quelque chose de plus haut que les concepts (qui sont quelque chose de mort). Mais il y a d’abord les anges et Dieu qui sont une forme d’être encore plus haute ». 
Gödel a voulu prouver à partir de la relativité générale, que le temps n’a pas de réalité objective mais seulement un caractère subjectif: voir dans ce lienConfondant, comme le dit cruellement Mosterín, relativité et subjectivité du temps, il y présentait ce caractère subjectif comme une conséquence de la théorie de la relativité). Mais son modèle d’univers n’est pas considéré comme une solution physiquement acceptable des équations d’Einstein).
L’univers de Gödel « est aussi le premier exemple où l’on voit une connexion entre le voyage dans le temps et l’existence d’une rotation associée à l’espace-temps. Probablement inspiré par cette découverte, par de nombreuses discussions avec Albert Einstein (dont il était le collègue et l’ami à Princeton) sur l’espace, le temps et leurs relations avec la physique et la philosophie, le grand logicien Kurt Gödel stupéfia le monde en 1949 en exhibant une solution des équations d’Einstein décrivant un univers en rotation. Ce qu’elle avait d’étrange était qu’il existait à l’intérieur de celle-ci des trajectoires permettant à un voyageur de remonter dans son propre passé! ». Pour Gödel, le temps n’est qu’une forme subjective d’appréhension des phénomènes qui est propre aux êtres du monde sensible. Il peut donc opposer la temporalité de la vie humaine à l’immobilité des concepts et celles-ci à celles des anges qui sont de la nature du concept mais ont également part à la vie. Les anges s’incarneraient dans les idées comme nous nous incarnons dans la matière (« les idées sont-elles aux anges ce que la matière est pour nous? ». Difficile à imaginer? Ce monde pourrait nous être donné dans l’intuition, qui est pour Gödel « un fait psychologique ». Elle a lieu, comme on l’a vu dans cet organe particulier, sorte d’œil situé dans le cerveau, à proximité de la zone consacrée au langage. La position d’un œil mathématique est « l’une des thèses les plus stables » de la métaphysique de Gödel. Il faut reconnaitre qu’il conduit à un certain nombre de difficultés que Gödel discute peu et c’est à son propos qu’il parlait à Wang de sa prudence.
11) Diverses spéculations – intuition et perception sensible – la raison comme 6è sens
La psychose angélique de Gödel (Lacan et le théorème de l’incomplétude)
« Supposons que quelqu’un possède un sixième sens qui ne lui donne que quelques perceptions et celles-ci sans connexion causale avec les autres sens. Il pourrait incorporer ces perceptions dans un petit nombre de règles.[des axiomes…]. Cela, dans mon opinion, exprime très bien la relation de la raison aux sens ». Ce sens nous montrerait une réalité complètement séparée de l’espace et du temps et si régulière qu’elle puisse être décrite par un nombre fini de lois. Pour Gödel, cela nous approche de la situation réelle, sauf que la raison n’est pas comptée comme avec les sens parce que ses objets sont bien différents de ceux des autres sens. Cela donne à ce sixième sens deux particularités. D’une part, ses données sont si simples, si « régulières » qu’on peut les résumer en quelques axiomes qui permettent de prédire nos perceptions ultérieures. D’autre part, elles sont dépourvues de relations causale avec celles de nos cinq sens habituels, elles ouvrent donc sur un monde à part. Mais alors, dans quelle mesure peut-on parler d’un sens. Si on suit Cassou Noguès, on peut penser que c’est l’expérience vécue de l’intuition mathématique qui la rapproche de la vision, de l’audition, d’un véritable sens et l’expérience vécue d’une similitude de la raison avec les sens qui justifie la position de cet organe de la raison. Comme s’il éprouvait (dans sa chair? » que l’intuition des objets et des anges fonctionne comme la vision sensible alors qu’elle ouvre sur une réalité autre. Mais cette hypothèse pose deux difficultés majeures.
La première s’éclairera dans le prochain article sur le théorème de complétude. En bref, Gödel décrit le cerveau comme une machine (de Turing) de sorte que les théorèmes qu’elle peut produire sont incomplets. On peut formuler dans leur langage des propositions qui ne seront ni démontrées ni réfutées. Or Gödel en appelle à l’intuition précisément pour compléter nos théories. Pourquoi alors la rattacher à un organe situé dans le cerveau puisque pour fonder des théories complètes (en quel sens?), il faut qu’il échappe aux mécanismes régis par le cerveau? Le même difficulté ressurgira à propos du temps. L’intuition mathématique est « instantanée », elle n’a pas de durée. Mais les processus dans le cerveau en ont une. Comment ce qui a une durée peut-il fonder ce qui n’en n’a pas? L’œil de l’intuition, l’œil pinéal, tout en étant posé comme un organe dans le cerveau, doit constituer une sorte de parenthèse, de suspension comme en parle longuement Michel Bitbol dans « la conscience a t-elle une origine?« , un genre de zone franche où s’interrompent les mécanismes du cerveau et les lois de la matière.
La seconde difficulté est métaphysique. Les objets mathématiques sont d’une autre nature que les impressions sensibles. Il y a une différence entre l’idéel et le matériel. Comment l’un peut-il agir sur l’autre? Gödel nous dit que ces esprits « qui n’ont pas de corps » peuvent nous influencer. On peut accepter (en théorie?) que ces anges agissent sur notre esprit mais pas qu’il modifient l’état de notre cerveau. C’est pourtant bien ce qui doit se passer si l’œil qui capte les objets mathématiques et les anges sont de même nature. Mais comment un ange (sans corps) pourrait-il « toucher » cet œil dans le cerveau. Cet organe de l’intuition de la métaphysique de Gödel pose le même problème que la glande pinéale dans celle que Descartes pensait avoir découverte  au milieu du cerveau et qui, elle, doit assurer une incompréhensible communication entre les deux substances, de nature différente, la pensée (l’âme) et l’étendue (le corps). Il faut aussi rajouter H.G.Wells qui, dans une nouvelle invoque un œil pinéal mettant en rapport l’individu avec des âmes errantes (comme des anges?) avec un corps…gazeux, imperceptible à l’œil nu.
Pourquoi Gödel ne discute-t-il pas des difficultés métaphysiques auxquelles conduit sa conjecture sur l’existence d’un organe de l’intuition? Pense-t-il l’avoir résolue dans le cadre de sa monadologie, difficulté qui dans le cadre de la monadologie de Leibniz motive le recours à l’harmonie préétablieIl se contente de faire remarquer qu’il faut rester prudent et ne pas divulguer ce qui est sujet à controverse. Que craignait-il? 
12) De soudaines illuminations. Hypothèses de Pierre Cassou Noguès.
Pourquoi Gödel rattache-t-il la sixième sens, faculté d’intuition à un organe corporel? Parce qu’elle est liée à la faculté du langage qui suppose l’incarnation? Mais cet argument l’entraine dans des difficultés métaphysiques avec la position de l’œil pinéal. Cassou Noguès dit ne voir à ces questions d’autre réponse que celle de l’expérience vécue. A l’autre question: quel est le rôle de ce sixième sens? Gödel décrit le monde sensible comme un rêve et se demande dans quelle mesure un « réveil dans cette vie est possible ». Est-ce l’œil pinéal qui s’ouvre plus grand et qui révèle non seulement les êtres mathématiques et les êtres qui l’entourent mais aussi le monde sensible tel qu’il est ou les concepts qui le caractérisent en réalité? Gödel note aussi que « la raison est l’unique organe avec lequel l’homme peut percevoir les choses même, pas seulement en image« . L’expérience vécue correspond-t-elle à ces expériences d’illumination qui le fascinent et qui révèlent aux philosophes le monde en réalité. Parmi ces expériences il y a bien sûr les songes de Descartes, qui « nous apprend que le 10 novembre 1619, s’étant couché tout rempli de son enthousiasme et tout occupé de la pensée d’avoir trouvé ce jour-là les fondements de la science admirable, il eut trois songes consécutifs en une seule nuit, qu’il s’imagina ne pouvoir être venus que d’en-haut ». Et ce ne furent pas les seuls: « Aussi bien Descartes que Schelling avec sa philosophie de la nature, rapportent explicitement l’expérience d’une illumination soudaine. Ils commencèrent à tout voir dans une lumière différente ». De même, poursuit Gödel, « entre 1906 et 1910, Husserl eut une crise psychologique. Il doutait de pouvoir accomplir quoi que ce soit. Son épouse était très malade. Durant cette période, tout lui devint extrêmement clair, et il est arrivé à une connaissance absolue ». Seulement, et nous le verrons dans le prochain article avec le théorème d’incomplétude, il est impossible d’exprimer dans les langages humains la connaissance absolue, ni de la traduire  en conservant le contenu et en lui donnant cette rigueur sans laquelle une véritable science est impossible. Mais dit-il « on ne peut pas transférer la connaissance absolue à quelqu’un d’autre. On ne peut donc pas la publier« . Il y a autre chose de plus mystérieux qui pouvait pousser Husserl à « voiler » sa découverte (un peu comme pour lui, Gödel?): « Husserl a atteint la fin, il est arrivé à la science de la métaphysique. Mais il a dû cacher sa grande découverte. La philosophie est une science persécutée. S’il n’avait pas caché sa découverte, la structure du monde aurait pu le tuer »
Il y a un secret dans les écrits de Husserl, qui « transparait » dans son œuvre avec « la crise de l’humanité européenne et la philosophie?« , une découverte que le philosophe a cachée sous un texte d’abord « long et difficile« . Cela rend impossible une analyse précise des rapports de Gödel à Husserl et de que Gödel emprunte à la phénoménologie. Il ne nous dit pas ce qu’est cette découverte enfouie dans la phénoménologie et s’il l’a retrouvée, il n’a pas pu nous la communiquer non plus. Il dit que les philosophes sont persécutés et reste persuadé qu’un complot contre Leibniz est dû à une société secrète qui s’attache à détruire ses écrits et aurait réussi à en faire disparaitre certains, parmi les plus importants. Et il y a aussi ce risque qu’il a évoqué à propos de Husserl dans un paragraphe précédent à propos de « la structure du monde« , expression qu’il emploie à propos de ces coïncidences dans l’histoire humaine qui ne sont pas dues au hasard. Que recouvre cette expression? La société secrète qu’il évoque à propos de Leibniz? Les démons? Ce monde lui-même, ainsi fait que la vérité ne doit pas pouvoir s’y dire et que les philosophes qui veulent la dire y sont persécutés? On ne peut savoir, mais Gödel, qui a cru plusieurs fois qu’on voulait l’empoisonner, pouvait craindre de provoquer « la structure du monde« .
Nous avons déjà vu que, comme Husserl, Gödel a connu une « crise psychologique », autour de 1936. Mais dit-il avec Wang, « Je n’ai jamais eu une telle expérience .(d’une soudaine illumination). Pour moi, il n’y a pas de connaissance absolue. Il n’y a que des probabilités ». Pourtant, dans les années 1940, il pressent, espère et redoute à la fois la possibilité d’une telle expérience: « […] la lumière qui donne à tout sens et signification […] Un entendement humain parfait, objectif (libre du péché) peut-il gagner cette évidence sans enseignement [….  Et, dans une note presque illisible, il semble avouer « le sentiment que quelque chose lui a été envoyé« , quelque chose qui peut lui être arraché par le « diable », celui qui donne de fausses évidences, le malin génie. A moins que ce soit par « d’autres hommes à qui le diable en a donné le pouvoir ». 
Pour Gödel, le mal tient d’abord à l’ignorance. La connaissance conduit au bien et à la « sainteté ». Mais tout change avec le théorème d’incomplétude. Les évidences, ces intuitions qui viennent compléter la connaissance humaine, peuvent tout aussi bien être véridiques et sortir de la bouche d’un ange, que trompeuses et comme murmurées par le diable à notre oreille. Mais dans les deux cas, elles relèvent d’une connaissance non humaine (surhumaine), que l’on pourra dire « folle ». La structure du monde dont on a vu que Gödel l’imagine persécutant les philosophes « illuminés » n’est sans doute pour lui qu’un dernier rempart qu’il s’est constitué pour s’interdire la folie nous confie Cassou Noguès. L’œil serait l’organe qui marque dans le corps humain une folie toujours possible. Il serait le point mystérieux où non seulement un esprit mais un cerveau humain peut interrompre son fonctionnement normal pour basculer dans une folie complète.
Pour pouvoir continuer à comprendre la signification de la folie de Gödel, allons vers mon prochain article qui traitera de LA COMPLETUDE.

De plus en plus performante, la pensée scientifique montre néanmoins son incomplétude : « quelque chose lui échappe », le « fond des choses » lui reste « voilé ». De plus, confronté à la complexité, le scientifique rencontre souvent la contradiction et apprend à travailler avec elle. Ce livre met en évidence une analogie entre cette posture de recherche et celle du théologien devant le mystère de Dieu, l’Indicible, et devant le mystère du Christ « vrai homme et vrai Dieu ». Scientifiques et théologiens, chacun dans leur domaine, font ainsi la périlleuse et passionnante « expérience de l’incomplétude ». Celle-ci ne signifie pas une défaite de la raison mais constitue une humble et puissante ouverture au mystère du connaître qui peut renouveler le dialogue entre scientifiques et croyants aujourd’hui !

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Une étude en rouge  Mycroft Mycroft Holmes est un personnage de fiction créé par Conan Doyle. Il est le frère aîné (de sept ans)3 de Sherlock Holmes. Il apparaît pour la première fois dans la nouvelle intitulée L’Interprète grec. Il apparaît dans quatre des aventures de Sherlock Holmes : L’Interprète grec (The Adventure of the Greek Interpreter) et Le Dernier Problème (The Adventure of the Final Problem) dans le recueil Les Mémoires de Sherlock HolmesLa Maison vide (The Adventure of the Empty House) dans le recueil Le Retour de Sherlock Holmes et Les Plans du Bruce-Partington (The Adventure of the Bruce-Partington Plans) dans le recueil Son dernier coup d’archet.

liens
http://www.ac-grenoble.fr/PhiloSophie/old2/file/husserl_depraz.pdf Edmund Husserl La crise de l’humanité européenne et la philosophie

https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2017-1-page-19.htm Le livre de sable » de Borges : un Autre insaisissable
https://journals.openedition.org/labyrinthe/200 Le cercle de Vienne La philosophie n’a rien à dire sur le monde.

https://fr.wikipedia.org/wiki/La_Biblioth%C3%A8que_de_Babel La bibliothèque de Babel La nouvelle décrit une bibliothèque de taille gigantesque contenant tous les livres de 410 pages possibles (chaque page formée de 40 lignes d’environ 80 caractères) et dont toutes les salles hexagonales sont disposées d’une façon identique. Les livres sont placés sur des étagères comprenant toutes le même nombre d’étages et recevant toutes le même nombre de livres. Chaque livre a le même nombre de pages et de signes. L’alphabet utilisé comprend vingt-cinq caractères (vingt-deux lettres minuscules, l’espace, la virgule et le point ;  cette dernière précision est insérée dans le texte de la nouvelle sous forme d’une note de l’éditeur, censé en avoir reçu le manuscrit authentique).
https://scienceetonnante.com/2016/12/09/theoreme-godel/ Les théorèmes de Gödel
https://www.erudit.org/fr/revues/philoso/2005-v32-n1-philoso887/011080ar/ Pierre Cassou-Noguès, Gödel, Les Belles Lettres Après un Hilbert plutôt incomplet dont j’ai rendu compte ici (voir Philosophiques, vol. 29, no 2 (Automne 2002), p. 391-392), Pierre Cassou-Noguès nous livre un Gödel plus équilibré et mieux informé
https://centregranger.cnrs.fr/spip.php?article124 Kurt Gödel (1906-1978) est-il le plus grand logicien depuis Aristote, comme le pensait Yon Neumann, ou depuis Archimède, comme préfère le dire G.Kreisel ? Retenons que c’est l’ultime représentant d’une génération de savants universels qui ne dissociaient pas la science de la philosophie
http://aurelien.dumaine.free.fr/20110226135937.pdf Le concept d’infini (Historicité, en mathématiques, en sciences)
http://interlivrehypertexte.over-blog.com/article-la-psychose-de-kurt-godel-l-incompletude-et-lacan-122254429.html  La psychose angélique de Gödel (Lacan et le théorème de l’incomplétude)
https://www.cairn.info/revue-les-etudes-philosophiques-2016-3-page-357.htm Les preuves leibniziennes de l’existence de Dieu : la « voie » du mouvement chap. I. démonstration à partir de ce principe : que rien n’est sans raison. chap. II. démonstration à partir de ce principe, que le mouvement ne peut se produire sans création continuée. chap. III. démonstration à partir de ce principe : que l’origine du mouvement n’est nullement dans les corps. chap. IV. démonstration à partir de ce principe, que l’origine de la consistance n’est nullement dans les corps. chap. V. démonstration de la  probabilité infinie, c’est-à-dire de la certitude morale, que la beauté du monde est née d’un esprit

http://lirephilosopher.canalblog.com/archives/2021/05/12/38967336.html#utm_medium=email&utm_source=notification&utm_campaign=lirephilosopher La monadologie est un résumé de l’ensemble de la philosophie de LEIBNIZ. La monade n’est autre chose qu’une substance simple qui entre dans les composés simples, c’est-à-dire sans parties
https://www.amazon.fr/Shadows-Mind-Missing-Science-Consciousness/dp/0099582112/ref=pd_sim_2?pd_rd_w=g9Vua&pf_rd_p=3cf56746-caca-49ca-a035-b272242b29b5&pf_rd_r=9WSA63XG7XCP3F0BK3P0&pd_rd_r=5eb4add6-cdf8-4118-a920-0ecac0c2d11f&pd_rd_wg=wlWQF&pd_rd_i=0099582112&psc=1  Roger Penrose: Shadows Of The Mind: A Search for the Missing Science of Consciousnes

https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1509/1509.02674.pdf Godel’s Incompleteness Theorems and Platonic Metaphysics Aleksandar Mikovic
https://journals.openedition.org/etudesplatoniciennes/267 Objets et idéalités dans les mathématiques contemporaines

https://saesfrance.org/les-mondes-possibles-a-laube-du-xxi-e-siecle-de-la-theorie-litteraire-a-de-nouvelles-realites-journee-detude-universite-de-pau-et-des-pays-de-ladour/ Les mondes possibles à l’aube du xxi e siècle : de la théorie littéraire à de nouvelles réalités, journée d’étude, Université de Pau et des Pays de l’Adour

https://www.persee.fr/doc/phlou_0035-3841_1952_num_50_27_4404 la notion kantienne d’analyse transcendantale Ce terme qualifie deux choses chez Kant :

  • « transcendantal » se dit de tout ce qui est condition de possibilité. Appliqué à la connaissance (« connaissance transcendantale »), ce terme qualifie donc les conditions de connaissance a priori des objets. Les formes de la sensibilité, les catégories de l’entendement et le sujet (transcendantal) sont les conditions de possibilité de tout savoir scientifique : elles sont ce qui est fondement de son existence (Critique de la raison pure). La liberté est la condition de possibilité de la morale, car sans elle la moralité ne restera qu’une chimère (Critique de la raison pratique).

Husserl, utilise le terme de « transcendantal » dans un sens qu’il qualifie, lui-même, d’« extrêmement large pour désigner le « motif originel », qui donne son sens depuis Descartes à toutes les philosophies modernes […] (à savoir la question), de l’ultime source de toutes les formations de connaissance, c’est l’auto-méditation du sujet connaissant sur soi-même et sur sa vie de connaissance, dans laquelle toutes les formations scientifiques qui valent pour lui ont lieu « téléologiquement », sont conservées comme un acquis et sont devenues librement disponibles […] Cette source a pour titre « Moi-même », avec toute ma vie de connaissance réelle et potentielle […] Il s’agit d’un concept que l’on ne peut obtenir qu’en s’enfonçant dans l’unité de l’historicité de la philosophie moderne »2.

http://michel.bitbol.pagesperso-orange.fr/Preface_Patricia2.pdf Michel Bitbol Théorie quantique et philosophie transcendantale, dialogues possibles Patrícia Kauark-Leite
http://1libertaire.free.fr/godel03.html Gödel et les limites de la logique PRÉSENCE DE L’HISTOIRE par JOHN DAWSON Démonstration des théorèmes d’incomplétude :

George Boolos spécialiste de la logique de la prouvabilité (et donc du théorème de Gödel) a récemment proposé une nouvelle démonstration du second théorème de Gödel. Avec la démonstration dite sémantique du premier théorème on a deux raisonnements qui ne retiennent que l’essentiel des idées originales de Gödel (qui exigent pour être détaillées plusieurs dizaines de pages). On s’appuie sur des propriétés élémentaires faciles à accepter (ou à prouver pour les systèmes utilisés en mathématiques) et sur une partie technique de 11 lignes. Nous présentons ici ces démonstrations pour les personnes que le formalisme et les casse-tête logiques n’effraient pas.
On se donne un système formel S à propos duquel on fera une série d’hypothèses qui permettront de prouver pour S en quelques lignes les deux théorèmes d’incomplétude de Gödel.
Lorsqu’une formule f du système S est démontrable dans S on écrit : |- f
La première hypothèse est :
(i) S est assez riche pour que l’on puisse y exprimer la propriété, notée @ f, qui signifie « il existe une preuve formelle de f dans S ».
Pour obtenir @ f il suffit que le langage du système formel S contienne celui de l’arithmétique (ou celui des ensembles finis). En pratique, la formule @ f code minutieusement la définition de ce qu’est une déduction dans S. Si on devait
écrire @ f ce serait une formule longue. L’existence de @ f est une découverte positive importante de Gödel.
On fait ensuite l’hypothèse que :
(ii) si |- f alors |- @ f
(si f est démontrable dans S alors @ f est aussi démontrable dans S)
Cela signifie simplement que la capacité du système S à faire de l’arithmétique lui permet de démontrer les formules du type @ f lorsqu’elles sont vraies. On établit sans mal la propriété (ii) pour les systèmes usuels utilisés en mathématiques (arithmétique élémentaire, théorie des ensembles, etc.). On suppose ensuite :
(iii) |- @ (f -> g) -> (@ f -> @ g)
(iv) |- @ f -> @ @ f
Comme pour (ii) ces hypothèses signifient simplement que la formule @ f est écrite en suivant de près la définition des déductions dans S et que l’arithmétique de S est assez puissante. L’hypothèse suivante :
(v) S contient la logique propositionnellesignifie que les raisonnements usuels (du type si ((A et B) -> C) et A et que B alors je peux en déduire C) qu’on fait sans cesse dans une démonstration mathématique sont utilisables dans S. Cette hypothèse (que ne satisfaisait pas le système formel de la figure 1, trop élémentaire) est vérifiée par les systèmes usuels des mathématiques. La propriété :
(*) Si |- f -> g alors |- @ f -> @ g
se déduit de (ii), (iii)
et (v) en procédant comme suit : si |- f -> g, d’après (ii) on a |- @ (f -> g). En utilisant (iii) et ce qu’on appelle la règle du modus ponens (vraie en logique propositionnelle) on a : |- @ f -> @ g.
On désignera par faux une formule de S représentant la contradiction. On prend une formule f quelconque, et on pose faux = (f et NON f). Dire que S est consistant, signifie qu’avec S on ne peut pas déduire faux. Cela s’écrit donc : NON |- faux. Une formule du système S exprimant que la théorie S est consistante est donc : NON @ faux. Le second
théorème de Gödel va établir que lorsque S est consistant cette formule n’est pas démontrable dans S.
Une méthode générale
décrite par Gödel permet dans les systèmes formels assez riches de construire une formule g qui exprime sa propre non prouvabilité dans S (là encore il s’agit d’un résultat positif que les philosophes oublient à la faveur des résultats négatifs). Nous ferons l’hypothèse que S permet effectivement d’avoir une formule g telle que :
(vi) |- g <-> NON @ g
Nous supposerons (uniquement pour la démonstration du premier théorème d’incomplétude)
que S satisfait la propriété de :
(vii) correction de S pour les formules arithmétiques
Cette hypothèse signifie que lorsque S démontre une formule portant sur les nombres entiers, alors cette formule est vraie des nombres entiers usuels. La propriété (vii) est vérifiée en particulier si chaque axiome est vrai et si les règles d’inférences ne permettent de déduire que des choses vraies à partir de choses vraies. Dans les systèmes formels pour l’arithmétique, cette propriété est satisfaite car on ne choisit que des axiomes et des règles d’inférences vrais
de toute évidence. L’hypothèse (vii) est la seule hypothèse qui ne puisse se démontrer facilement pour des systèmes plus riches comme celui de la théorie des ensembles. C’est une hypothèse dite sémantique car elle se réfère au concept de formule vraie des nombres entiers usuels. Cette hypothèse est plus forte que l’hypothèse de consistance qui sera seule utile pour le second théorème [L’hypothèse (vii) implique la consistance car si S était inconsistant alors tout serait démontrable dans S et donc, en particulier, la formule arithmétique 0=1 ce qui est impossible si (vii) est vraie. ]. La formule @ f est un énoncé arithmétique, donc si S prouve @ f c’est que ce que dit @ f est vrai, c’est-à-dire : |- f. Autrement dit :
(**) si |- @ f alors |- f
Gödel dans sa démonstration initiale a préféré remplacer l’hypothèse sémantique (vii) par une hypothèse syntaxique (faisant appel uniquement à des considérations formelles) mais difficile à présenter ici et plus forte que l’hypothèse de consistance. [Gödel avait adoptée l’hypothèse d’oméga-consistance : si le S prouve une formule du type () alors pour un entier n au moins, NON |- NON P(n).]

Premier théorème d’incomplétude de Gödel
Montrons à partir de (i)-(vii) qu’il existe une formule g de S au moins telle que ni g ni NON g ne sont prouvables dans S (incomplétude). Comme nos hypothèses signifient à la fois que le système S est assez puissant et qu’il est consistant on traduira cela en disant : un système formel ne peut à la fois être puissant, consistant et complet.
De l’affirmation |- g <-> NON @ g on déduit que |- g -> NON @ g (logique propositionnelle).
Donc de |- g on déduit |- NON @ g. Il en résulte que si g est prouvable alors |- @ g (d’après (ii)) et |- NON @ g et donc le système est inconsistant ce qui contredit l’hypothèse (vii). Dans S on ne peut donc pas prouver g.
Si on suppose que S permet de prouver NON g c’est-à-dire : |- NON g alors de |- g <-> NON @ g (hypothèse (vi)) on déduit |- NON g <-> @ g et donc |- NON g -> @ g d’où on tire |- @ g et donc |- g (d’après (**) qui est une conséquence
de l’hypothèse (vii)). Or c’est impossible d’après ce que nous venons de voir au-dessus.
En résumé S ne peut ni prouver g, ni prouver NON g. La formule g est indécidable dans S.
Cette première preuve est courte mais possède le défaut d’utiliser une hypothèse sémantique. La preuve du second théorème va améliorer très sensiblement la situation : elle va, sous l’hypothèse de consistance (qui remplacera l’hypothèse sémantique (vii)) montrer que la formule exprimant la consistance de S n’est pas prouvable dans S.

Second théorème d’incomplétude de Gödel
La démonstration du second théorème de Gödel que propose Boolos commence par la série des 11 étapes suivantes :
1 |- g <-> NON @ g (hypothèse (vi))
2 |- g -> NON @ g (avec 1 et la logique propositionnelle)
3 |- @ g -> @ NON @ g (propriété (*) à partir de 2)
4 |- @ g -> @ @ g (d’après (iv))
5 |- NON @ g -> (@ g -> faux) (en logique propositionnelle, les formules du type NON q -> (q -> faux) sont démontrables)
6 |- @ NON @ g -> @ (@ g -> faux) (à partir de 5 et (*))
7 |- @(@ g -> faux) -> (@ @ g -> @ faux) (d’après (iii)
–8 |- @ g -> @ faux (logique propositionnelle à partir de 3, 6, 7 et 4)
9 |- NON @ faux -> g (logique propositionnelle à partir de 8 et 1)
10 |- @ NON @ faux -> @ g (d’après (*) et (9))
11 |- NON @ faux -> NON @ NON @ faux
(logique propositionnelle avec 8 et 10)
Donc si |- NON @ faux alors on a à la fois |- NON @ NON @ faux d’après 11 et |- @ NON
@ faux par (ii) et donc |- faux. Par contraposition : si NON |- faux (S est consistant) alors on a NON |- NON @ faux (S ne prouve pas que S est consistant).
Un système formel consistant vérifiant les hypothèses (i)-(vi) ne peut pas prouver qu’il est consistant : un système formel S ne peut être à la fois riche, consistant et prouver qu’il est consistant

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