Les limites de la connaissance 5) déterminisme et chaos. Deuxième partie: Le chaos déterministe.


Les limites de la connaissance 5) déterminisme et chaos. 

deuxième partie: le chaos déterministe

 

fractale: ensemble de Julia
fractale: chou romanesco

 

 

 

Préambule

La science nous permettra-t-elle un jour de tout savoir? Ne rêve-t-elle pas d’une formule qui explique tout? N’y aurait-il rien qui entrave sa marche triomphale? Le monde deviendra-t-il transparent à l’intelligence humaine? Tout mystère pourra-il être à jamais dissipé?


Hervé Zwirn pense qu’il n’en n’est rien.La science, en même temps qu’elle progresse à pas de géant marque elle même ses limites. C’est ce que montre la découverte des propositions indécidables qui ont suivi le théorème de Gôdel. Ou celle des propriétés surprenantes du chaos déterministe. Ou encore les paradoxes de la théorie quantique qui ont opposé Einstein et Bohr  en mettant en cause toute notre manière de penser.

L’analyse de ces limites que la science découvre à sa propre connaissance conduit à poser une question plus profonde: qu’est ce que le réel?



Les limites de la connaissance 5) déterminisme et chaos. 

deuxième partie: le chaos déterministe

Idées générales de l’article:

Le paradigme de la possible mathématisation de la nature doit être revu. Quels que soient les moyens théoriques ou techniques dont on disposera, quel que soit le temps qu’on acceptera de passer sur une prédiction, il existera toujours un horizon temporel infranchissable dans les prédictions

L’univers ne peut plus être considéré comme une grande machine dont il est possible de prévoir le comportement au moyen de formules mathématiques, même complexes.  L’équivalence entre déterminisme et prédictibilité est morte. On peut croire que le monde dans lequel nous vivons est déterministe (ce que nuance la physique quantique, voir le prochain article), il n’en n’est pas moins non-prédictible. C’est ce que signifie l’expression « chaos déterministe ».

1) Présentation du problème.

Afin d’effectuer des prédictions sur les grandeurs physiques, on utilise les lois qui en régissent l’évolution et la considération du système est indissociable de celle de celle de ces lois. Se donner la description d’un système correspond à modéliser la réalité. Un « modèle » est l’ensemble constitué par la spécification d’un système physique et la donnée des lois auxquelles il obéit. Il est utilisé pour décrire une portion du monde. 

Comme on l’a vu dans l’article 3), le déterminisme des lois est habituellement toujours associé à la prédictibilité. Il est légitime de s’attendre à ce qu’on puisse prédire les états futurs en appliquant à l’état initial la fonction déterministe qui transforme cet état en l’état à un instant t ultérieur quelconque. On est parfois obligé de procéder par approximations en raison de la trop grande complexité des résultats, mais ces approximations sont suffisamment précises pour que l’incertitude sur les prédictions soit maîtrisée et limitée. Négliger une quantité inférieurs à une certaine valeur se traduit par une incertitude du même ordre de grandeur sur le résultat et de petites modifications entraînent de petits effets. On peut prouver que les systèmes régis par des équations différentielles linéaires adoptent toujours ce comportement agréable. Jusqu’à une date récente, le sentiment dominant était que la majeure partie des systèmes dynamiques se comportait de cette manière. En fait, on avait toujours privilégié l’étude des systèmes intégrables. Mais avec la mécanique céleste, les travaux de Poincaré on montré que cet espoir était vain. On découvrit petit à petit que cette difficulté, loin d’être exceptionnelle, était le règle pour de très nombreux systèmes dynamiques non linéaires. Un petite erreur sur l’état initial s’amplifie de manière exponentielle, et l’évolution, bien que parfaitement déterministe est imprévisible! Poincaré était conscient de ces limites qui signifient l’échec de la méthode analytique et l’impuissance des mathématiques à calculer le comportement d’un système physique aussi simple que celui de trois corps en interaction gravitationnelle. 

Devant son impuissance à calculer exactement les trajectoires, il s’intéressa à leur représentation dans l’espace des phases. 

Les physiciens ont l’habitude de travailler dans ce qu’on appelle « l’espace des phases« , qui est un espace imaginaire, ici à 4 dimensions (les 2 coordonnées de dimension des positions et la quantité de mouvement = produit masse X vitesse). A chaque instant, l’objet observé (une boule par exemple), a une certaine position (Qx, Qy) et une quantité de mouvement (Px, Py), son état est don déterminé par ces 4 coordonnées, 2 de position et 2 de vitesse. On dit que le système a 2 degrés de liberté et on lui associe un point de coordonnées (Qx, Qy, Px, Py) dans l’espace des phases à 4 dimensions. D’une manière générale, l’état d’un système est déterminé par N coordonnées de position et N coordonnées de vitesse, soit N degrés de liberté.

2) Comportement des systèmes mécaniques.

          a) Premier exemple: L’espace des phases et le pendule sans frottement.


 

Poincaré fera un grand usage de cet espace pour introduire desraisonnements géométriques en mécanique céleste et pour étudier le problème des trois corps. Ces études seront à la base de la théorie du chaos.

Concrètement, dans l’exemple d’un gaz constitué de N particules, l’espace des phases sera à 6N=2M dimensions. On aura 3N coordonnées de position et 3N coordonnées de quantité de mouvement  . Ces coordonnées sont dites généralisées car elles peuvent correspondre à différents systèmes de coordonnées cartésiens, sphériques, hyperboliques etc…

Plus généralement, les coordonnées généralisées   et   représentent des variables conjuguées d’un système mécanique arbitraire. Dans le cas d’un gyroscope, d’une toupie ces coordonnées seront des angles dans le premier cas et des moments cinétiques dans le second.

La trajectoire d’un système mécanique est donc représentée par celle d’un point à 2M coordonnées dans l’espace des phases. Si l’on considère différentes conditions initiales, on aura différentes courbes dans cet espace. Dans le cadre de la mécanique statistique cela permettra d’étudier le comportement moyen d’un ensemble de systèmes mécaniques identiques sous la forme d’un fluide de particules. En théorie du chaos, l’espace des phases permet de visualiser que les trajectoires de systèmes non-linéaires avec différentes conditions initiales se retrouvent  parfois proches de certaines formes géométriques dans cet espace. On parle alors d’attracteur étrange car tout se passe comme si ces formes étranges attiraient les points représentant un système mécanique pour les forcer à rester dans leur voisinage.

Considérons maintenant le système physique constitué par un pendule de longueur l supposé sans frottement. Son état est défini par l’angle θ

\ddot{\theta} + \omega_0^2 \sin\theta = 0  avec  \omega_0^2 = \frac{g}{l} et \ddot{\theta} = \frac{d {\dot{\theta}}}{d t}

 

 pour de petites oscillations, on peut confondre sin(θ) avec θ. On obtient alors l’équation :
\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0 avec   \omega_0^2 = \frac{g}{l}

Cette équation se résout (s’intègre) et sa solution est:

\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega_0 t)\, ; de période  T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt\frac{l}{g} .

On a donc remplacé l’étude de l’équation qui représente exactement le mouvement du pendule, mais qui est difficile à résoudre, par une équation plus simple à résoudre, mais qui ne représente qu’approximativement le mouvement. Liapounov a montré en 1895 que c’était justifié pour de petits angles, et d’autant meilleure que l’angle est petit. L’espace des phases est ici un espace à 2 dimensions avec pour coordonnées l’angle θ et la vitesse angulaire d θ/dt.

Ecarté de la verticale, le pendule va osciller  de part et d’autre. Le mouvement sera périodique et la trajectoire dans l’espace des phases sera une ellipse (l’équation du mouvement est sinusoïdale). Pour un angle différent, l’ellipse aura la même forme mais sera à l’intérieur de la précédente si l’angle est plus petit, ou à l’extérieur pour un angle plus grand. Si on imprime une vitesse initiale, il existe un seuil au-delà duquel, le pendule va dépasser la verticale et tourner autour de son axe, mais l’équation du mouvement devient non linéaire et non explicite en fonction du temps, l’approximation des petits angles ne convient plus, il faut faire appel aux fonctions elliptiques. Alors que faire? Dans le cas du pendule, la méthode permettant de connaître toutes les trajectoires dans l’espace des phases est fondée sur le fait que l’énergie du système est conservée au cours du mouvementLes trajectoires sont donc des courbes d’équation E = constante. L’ensemble de toutes les trajectoires dans l’espace des phases, valable pour toutes les conditions initiales, est donné par le graphique suivant appelé « portrait de phase » du pendule. La limite, la ligne ondulée, représente les mouvements pour lesquels le pendule tourne autour de son axe.


 

 Mais il faut remarquer que cela s’est fait au détriment de la possibilité de décrire ces mouvements en fonction du temps. Bien que l’équation du mouvement soit non linéaire, le pendule a un comportement conforme au paradigme classique (si on part de deux conditions initiales proches, les trajectoires seront voisines l’une de l’autre et une petite erreur sur leur détermination aura comme comme conséquence une petite erreur sur les trajectoires). Un tel système sans frottement est « non dissipatif ». Son énergie totale reste constante lors de son évolution, il est dit « conservatif » ou « hamiltonien ». On dit alors que l’énergie est une intégrale du mouvement. De plus, on constate que toutes les trajectoires sont périodiques. 

Cette méthode utilisée pour le pendule sera aussi applicable pour des systèmes décrits par des équations non intégrables. Elle consiste à examiner le portrait de phases, ensemble des trajectoires possibles dans l’espace des phases du système. Dans le cas du pendule, la conservation de l’énergie permet de le tracer aisément. Dans le cas général, on peut procéder par extrapolations successives. En effet, en chaque point de l’espace des phases, l’équation fixe l’orientation de la tangent à la trajectoire. On peut ainsi tirer des enseignements sur le comportement du système, mais au détriment de la dépendance directe en fonction du temps qui n’est plus accessible. Cela conduit à se concentrer sur le comportement à long terme, qu’on appelle « comportement asymptotique ». La réponse à cette question est donnée par la forme asymptotique des trajectoires dans l’espace des phases (des trajectoires à très long terme). Dans la cas du pendule sans frottement, à chaque condition initiale correspond une trajectoire différente, un ellipse ou une ligne ondulée dans l’espace des phases.

           b) Le pendule amorti et l’oscillateur de Van Der Pol.

Un pendule sans frottement n’est que théorique, un pendule réel, soumis à des forces de frottement, n’est pas périodique et finit toujours par s »arrêter. L’énergie ,’est pas constante mais décroît. Ce n’est pas un système non dissipatif conservatif, mais un système dissipatif amorti. 

L’équation qui le décrit est:  avec . L’énergie varie selon la loi dE/dt = –λd \theta\,/dt (avec λ = amortissement). Si λ  > 0 le pendule oscille de manière d’autant plus réduite que sa vitesse est grande, pour s’immobiliser à la verticale, au point 0 (angle et vitesse nulle) de l’espace des phases. Les trajectoires de phases sont des spirales aboutissant à ce point 0, « appelé attracteur point fixe ». Il caractérise le comportement à long terme du pendule, la forme asymptotique des trajectoires de ces oscillations amorties.

Modifions la forme des équations avec un terme qui joue un rôle d’amortissement pour les grandes amplitudes, mais d’amplification pour les petites amplitudes. On aura alors un « oscillateur entretenu » ou de « Van Der Pol ». Son équation est: 


Intuitivement on peut voir qu’il va osciller de manière régulée. Quand l’amplitude des oscillations est grande, le facteur complémentaire joue le rôle d’un amortisseur, et celui d’amplificateur quand elles sont petites. Le comportement à long terme tend vers une trajectoire fermée unique et stable autour de l’origine, appelée « cycle limite » par Poincaré. Ce cycle limite est donc un attracteur, comme le point fixe « 0 » vu précédemment. Dans cet exemple, le comportement du système à long terme reste encore périodique et donc prédictible. C’est une des caractéristiques des systèmes dont l’espace des phases est à 1 ou 2 dimensions: leurs mouvements sont réguliers et en fait leurs équations sont toujours intégrables. 


             c) Les trajectoires quasi périodiques

La configuration d’un système à N degrés de liberté est défini par N variables de position pi (p correspond à xi et qi correspond à mvi) et N variables de quantité de mouvement qi. Son espace des phases est à 2N dimensions et peut être décrit par  un ensemble de 2N équations différentielles, ce sont les équations de Hamilton. Intégrer le système, quand c’est possible, revient à trouver un changement de variables permettant de découpler les 2N équations pour les ramener à N ensembles, non liés de deux équations représentant chacun un système à un degré de liberté. Les nouvelles coordonnées deviennent (I,\theta\,), appelées « actions » et angles » et le hamiltonien ne dépend plus que de les variables d’action: H = H(I). Les N systèmes  de deux équations du mouvement deviennent simples et peuvent être intégrés. On aboutit à des trajectoires périodiques (cercles), parcourues à fréquence constante dans les sous-espace de phase correspondant. On a donc un produit de cercles, chacun avec une fréquence propre. La trajectoire du système est alors contenue dans un tore de dimension N qu’on note Tn . (Le produit de deux cercles revient à à faire effectuer à un des cercles un mouvement de rotation en suivant l’autre cercle. Le résultat ressemble à un pneu ou à une chambre à air). Chacune des variables d’action H(I) est une constante du mouvement. Pour un système linéaire, on peut toujours trouver un tel changement de variables (il est donc intégrable). Mais c’est beaucoup plus rare quand le système n’est pas linéaire. Il es résulte que lorsqu’un système à N degrés de liberté est intégrable, il existe N constantes de mouvement. En revanche, s’il est impossible de trouver N constantes de mouvement, le système n’est pas intégrable. (c’est la méthode découverte par Liouville et dont Poincaré a montré qu’elle ne s’appliquait pas au problème de trois corps).

Le point qui représente l’état du système à un instant se déplace dans le temps en combinant les deux mouvements de rotation possibles, ce qui aboutit à le faire s’enrouler en spirale autour du tore. Si le rapport f1/f2 des fréquences de rotation est est rationnel, la trajectoire complète est périodique et le point revient exactement à son point de départ (par ex: 2/5 donne 2 tours sur le 1e cercle et 5 tours sur le 2e). Mais si ce rapport est irrationnel, jamais le système ne reviendra à son point de départ, mais il repassera arbitrairement près de ce point si on attend assez longtemps (cela résulte d’une propriété des nombres rationnels dans l’ensemble des nombres réels appelée « densité », à savoir qu’un nombre réel peut être approché arbitrairement près par un nombre réel)La trajectoire n’est plus périodique, elle couvre de façon dense la surface du tore en repassant arbitrairement près de son point de départ, c’est pour cette raison qu’on appelle quasi périodique ce type de mouvement.

Résumé: tout système conservatif à N degrés de liberté, lorsqu’il est intégrable (ce qui est loin d’être toujours le cas), adopte un comportement périodique ou quasi périodique dont la trajectoire s’inscrit dans un tore de dimension N. Si le rapport des fréquences est rationnel, le mouvement est périodique et la trajectoire s’inscrivant sur le tore. Sinon le système est quasi périodique et la trajectoire couvre le tore de façon dense.

          d) Trajectoires périodiques, quasi périodiques et prédictibilité.

La démonstration de Poincaré montre que tous les systèmes conservatifs ne sont pas forcément intégrables, ceux qui le sont étant plutôt l’exception. Pour le problème des trois corps, Poincaré a prouvé qu’il n’existe pas de constante de mouvement autre que l’énergie et les projections du centre de masse et du moment cinétique sur les 3 axes, soit 7 constantes du mouvement. Si le problème était intégrable, il comporterait 9 quantités conservées puisque le système a 9 degrés de liberté. Comment faire alors pour pour traiter le problème? 

Dans le cas de la mécanique céleste, bien qu’il ne soit pas intégrable, le problème en est proche car la perturbation qu’apporte chaque planète au mouvement des autres est faible devant l’effet gravitationnel du soleil. On peut alors encore trouver des coordonnées (I,\theta\,)  pour lesquelles  H(I, ) Ho(I) + εΗ1(I,) avec ε petit–>0Le mouvement régi par le hamiltonien Ho(I) est intégrable puisqu’il ne dépend que de I. Il représente le mouvement Képlérien des planètes. Le hamiltonien  εΗ1(I,) représente les perturbations et est petit devant H. La méthode des perturbations revient à trouver de nouvelles coordonnées (I‘,‘) sous forme de séries par rapport à ε et telles que le hamiltonien ne dépend plus que de I‘. La difficulté n’est liée qu’à la complexité des calculs, qui est accrue pour chaque terme complémentaire. 

Cependant, la méthode semblait créer des anomalies dans les résultats. La raison en est que ces séries ne sont pas convergentes et leur utilisation n’a qu’une portée limitée. Au-delà d’un certain nombre de termes, les calculs s’éloignent du vrai résultat et les conclusions sont alors fausses: la méthode analytique trouve ici ses limites. Comme on l’a vu précédemment, Poincaré a développé des méthodes plus qualitatives, mais avec l’impossibilité de d’obtenir la dépendance explicite des coordonnées en fonction du temps. Cela conduit à se limiter à l’étude de la forme des trajectoires dans l’espace des phases et à ne s’intéresser qu’à leur forme asymptotique. Mais même ainsi, le problème reste en général trop complexe. Pour cette raison, Poincaré fut amené à développer des méthodes de simplification permettant d’obtenir des renseignements sur les trajectoires (présence de périodicité, stabilité) sans avoir à manipuler leurs équations complexes.

           e) Section de Poincaré.

L’espace des phases permet d’obtenir des informations sur le comportement à long du système terme sans résoudre explicitement les équations du mouvement. Malheureusement, il est en pratique extrêmement complexe, voire totalement impossible d’y étudier directement les trajectoires.  Dans le cas du problème à 3 corps, il est déjà à 18 dimensions (3 corps avec pour chacun 3 coordonnées d’espace et 3 pour la quantité de mouvement). On commence par s’intéresser au comportement asymptotique (à long terme) en laissant de côté les comportements transitoires. Ensuite, au lieu d’étudier une trajectoire dans l’espace des phases complet, on s’intéresse aux intersections avec un plan qui la coupe. On obtient dans ce plan un ensemble de points qui forme « une section de Poincaré ».
Pour représenter intuitivement cette description, plaçons nous dans un espace des phases à 3 dimensions. Une trajectoire périodique simple sera par exemple une courbe fermée revenant à son point de départ après un tour. Pour une telle trajectoire, notée [P(0)] sur le schéma, la section de Poincaré sera réduite au point 0, intersection de la courbe fermée avec le plan. Une trajectoire périodique qui fait 3 tours avant de revenir à son point de départ aura 3 une section constituée de 3 points [x, P(x), P2(x)] sur le schéma. Une telle simplification ne permet certes pas de connaître la forme précise de la trajectoire, mais elle permet d’obtenir des renseignements qui seraient inaccessibles par l’étude directe. Pourquoi? On vient de voir qu’une trajectoire périodique était caractérisée par une section de Poincaré constituée d’un ensemble fini de points. Or, dans certains cas, il est possible de calculer explicitement la transformation (dite « application du premier retour ») qui permet de passer d’un point à un autre dans la section de Poincaré. De cette manière il est alors possible de savoir si la trajectoire est périodique. C’est ainsi que Poincaré s’y est pris pour le problème des 3 corps. La section de Poincaré sera en effet l’intersection du tore que couvre de façon dense la trajectoire quasi périodique avec le plan de coupe (courbe fermée continue). 

          f) Les comportements chaotiques.

Pour certaines conditions initiales, les trajectoires correspondantes d’un système non intégrable ont une section de Poincaré qui n’est ni réduite à un point, ni analogue à une courbe fermée continue, mais semble remplir toute une région de manière aléatoire. Elles n’ont aucune régularité et apparaissent chaotiques. Dans la démonstration de Poincaré, toute loi de conservation supplémentaire aurait permis de contraindre les trajectoires à se trouver sur les courbes analytiques ayant une forme lisse. Il suffit alors de trouver une trajectoire qui ne respecte pas cette contrainte pour montrer qu’il n’existe pas d’autre loi de conservation. Or Poincaré montra qu’il existe une infinité de trajectoires qui ne se trouvent pas sur une telle courbe (dans ce qu’on appelle l’enchevêtrement homocline). Dans une version simplifiée du problème des 3 corps (problème restreint de hill), on considère que le 3è corps a une masse négligeable devant celles des 2 autres. Les 2 corps massifs se déplacent dans un plan sur des ellipses ayant un foyer commun. On suppose que le 3è corps se déplace sur une droite perpendiculaire au plan et passant par le foyer commun. Sa vitesse et sa position sont représentées par un point dans un plan qui est un sous-ensemble de l’espace des phases complet. On prend ce plan comme section de Poincaré. Ainsi, en étudiant ce qui se passe au voisinage d’une trajectoire périodique matérialisée par un point unique, on obtient une figure qui a une complexité telle qu’elle a fait dire à Poincaré « …je ne cherche même pas à l’expliquer… ». 

Comme on s’est placé dans l’espace des phases, la signification de ce résultat est la suivante: Si les conditions initiales d’un système à 3 corps sont telles que celui-ci adopte un mouvement périodique, une modification infime de ces conditions amène le système à adopter un comportement chaotique. Comme par ailleurs il n’est pas possible de connaître avec une précision infinie les conditions initiales d’un système physique réel, il deviendra impossible de prévoir le comportement asymptotique du système. 

3) Le chaos dans la nature.

 a) Un détour par la météorologie.

Cela débute en 1960 quand le météorologue Edward Lorenz s’intéresse aux équations de la convection atmosphérique. Ce sont des équations différentielles issues de la théorie de la dynamique des fluides. Elles sont extrêmement complexes et l’on ne sait pas les résoudre explicitement. Lorenz, après les avoir simplifiées le plus possible, cherche alors quel est le comportement prédit par ces équations et procède par approximations successives grâce à un ordinateur. La description de l’atmosphère est donnée à un instant par la température, la pression, la vitesse de l’air… en différents lieux, et la suite de ces nombres représente l’état du système. On rentre l’état initial et on laisse la machine calculer les états suivants qui sont uniques à chaque instant puisque le système est déterministe. On obtient ainsi de proche en proche l’évolution temporelle et donc la description de la convection. En 1961, Lorentz veut prolonger sur une durée plus longue une simulation faite sur une certaine période. Plutôt que de repartir sur le même état initial et pour gagner du temps, il introduit l’état obtenu à la moitié de sa simulation précédente. Mais, à sa grande surprise, l’ordinateur n’a pas répété les résultats de la deuxième moitié de la simulation précédente. Les résultats ont progressivement divergé pour bientôt ne plus rien avoir de semblable. Que s’est-il passé? En fait, l’ordinateur garde en mémoire des nombres à 6 chiffres dont seules 3 décimales sont imprimées. Lorenz a rentré dans la simulation les nombres imprimés, arrondis à 3 chiffres. De même que pour le problème des 3 corps, une petite erreur sur l’état initial a été amplifiée de telle sorte qu’elle a produit un résultat divergent pour l’évolution (c’est le phénomène de « sensibilité aux conditions initiales »que nous avons vu précédemment). Cette propriété est devenue célèbre sous le nom « d’effet papillon« . 

Il faut bien comprendre que le système évolue de façon déterministe et qu’à partir d’un état initial précis, l’évolution est bien unique mais, aussi minime soit l’imprécision sur cet état initial, il arrive un moment où l’erreur de prédiction est du même ordre de grandeur que la prévision elle-même, la rendant inutilisable. On retrouve cet aspect dans le phénomène de turbulence pour lequel David Ruelle et Floris Takens proposèrent en 1971  un nouvelle façon de comprendre la turbulence en faisant appel à un concept nouveau, celui d’attracteur étrange

           b) Les attracteurs étranges.

Attracteur de Lorenz


Le systeme de Lorenz s’écrit 

Il comporte 3 variables dynamiques . On peut visualiser son évolution dans un espace à 3 dimensions, mais il n’est pas intégrable et on ne peut donc expliciter une solution donnant (x,y,z) en fonction du temps. Pour calculer les trajectoires, on procède de proche en proche, à partir d’un point initial en calculant avec un ordinateur le point suivant, suffisamment proche pour qu’on puisse identifier la trajectoire et sa tangente. Et on recommence à partir du point obtenu. Le résultat est un objet constitué de deux anses qui tournent autour de deux points fixes. A partir d’un point O1, la trajectoire commence par faire par exemple 2 tours autour de l’anse 1, puis 1 tour autour de l’anse 2 pour revenir faire 3 tours autour de l’anse 1 etc… Si on part d’un point O2 proche de O1, on s’attend à une trajectoire très voisine de la première. En réalité les deux trajectoires se séparent très vite. La deuxième peut faire aussi 2 tours autour de l’anse 1, mais 3 tours autour de l’anse 2, là où la première n’en faisait qu’un. A partir de là, les deux trajectoires seront  déconnectées. Pour un point Oon obtiendra une nouvelle trajectoire différente des deux premières. Cependant, si on  laisse tourner l’ordinateur assez longtemps, l’allure globale des trajectoires obtenues est identique quel que soit le point de départ: un objet avec deux anses. En effaçant le début des trajectoires, on obtient la même figure. Cela signifie que quelles que soient les conditions initiales du système, celui-ci finit toujours par évoluer le long d’une trajectoire unique. Ce type de trajectoire qui les attire toutes a été appelé un « attracteur ». Dans les cas précédents, l’attracteur était un point fixe (pendule sans frottement) ou un cycle limite (oscillateur de Van Der Pol). L’attracteur de Lorenz est beaucoup plus étrange, d’où son nom d’attracteur étrange. Ce n’est pas une courbe ni une surface lisse, mais un objet fractal. Un exemple d’objet fractal est l’ensemble triadique de Cantor, qui est purement mathématique. Le premier exemple physique plus concret est a été donné par Hadamard sur les géodésiques (lignes de plus courte longueur qui joignent un point à un autre) de surfaces à courbure négative. Il montra en effet qu’aussi près qu’on se place sur une géodésique qui reste à distance finie, il existe une géodésique qui part à l’infini. Cela signifie que si on se donne la position initiale d’un point sur une telle surface, aussi petite soit l’incertitude sur cette position, on sera dans l’impossibilité de prédire si le point restera à distance finie ou s’il s’éloignera à indéfiniment. Les progrès dans l’étude des systèmes dynamiques réels ont montré que non seulement de tels systèmes existent, mais qu’ils constituent la généralité, les systèmes périodiques ou quasi périodiques étant l’exception. la distance entre deux trajectoires initialement aussi proches qu’on veut finiront toujours par se séparer; la distance entre elles croît exponentiellement en exp(λt) où λ est le coefficient de Lyapunov. « Le temps caractéristique » est le temps nécessaire pour que les écarts initiaux soient multipliés par 10. 


          d) Conséquence sur les limites de la prévision du temps.

La preuve rigoureuse de l’existence du chaos dans les équations de Lorenz n’a été apportée qu’en 1995 et a nécessité l’intervention de l’ordinateur. Le preuve mathématique dans un modèle réel est bien hors de notre portée. Mais le phénomène de dépendance sensitive aux conditions initiales est un argument extrêmement fort pour penser que tout modèle plus réaliste y sera aussi soumis. Un question est alors de connaître le temps caractéristique du système dynamique constitué par l’atmosphère. On peut, en utilisant la théorie de la turbulence de Kolmogorov, évaluer la vitesse des perturbations dans l’atmosphère (suite aux nombreuses fluctuations de densité, de vitesse etc…). Ces fluctuations microscopiques échappent à nos moyens d’investigation et imposent une limite à la précision avec laquelle on peut se donner l’état initial: même avec des capteurs répartis et distants de 1 mm les uns des autres (ce qui est infaisable en pratique), on ne pourrait mesurer les fluctuations qui se situent plusieurs ordres de grandeur en dessous (le micron par ex). Or le temps nécessaire pour que des fluctuations microscopiques deviennent macroscopiques (le cm par ex), est de quelques mn. 

Conclusion: comme il est impossible de connaître l’état initial avec une précision supérieure à l’échelle des fluctuations microscopiques, et que celles-ci s’amplifient pour atteindre l’ensemble du globe en moins de 15 jours, toute tentative de prédire le temps au-delà de cet horizon est vouée à l’échec. Nous ne saurons donc jamais le temps qu’il fera le mois suivant (a moins qu’on découvre ultérieurement un processus physique qui supprime de fait le chaos atmosphérique).

  e) Les systèmes chaotiques simples.

On pourrait  penser que le comportement chaotique est lié aux systèmes complexes, il n’en n’est rien. Un espace des phases à 3 dimensions est suffisant pour qu’un comportement chaotique survienne. Un exemple purement mathématique de comportement chaotique  est l’Application logistique simple x_{n+1} = \mu x_n(1 - x_n)~ où μ est une constante fixée entre 1 et 4 et où X0 est  pris entre 0 et 1. Pour  μ compris entre 1 et 3, l’itération mène à une valeur unique quelque soit le point de départ X0. Par exemple, pour  μ = 1,2,  on aboutit après plusieurs itérations à une valeur qui ne change plus, de l’ordre de l’ordre de 0,167 (pour μ =2, on aboutit à une valeur fixe de 0,5). Ces valeurs sont de attracteurs points fixes. Quand on dépasse 3, la valeur limite oscille entre 2 nombres distincts (0,558 et 0,764 pour 3,1). C’est un cycle de période 2. Pour μ =3,5 un cycle de période 4 apparaît (0,5 et 0,875 – 0,383 et 0,827). Pour μ = 3,55 le cycle passe à 8. Puis le doublement de période s’accélère et pour μ = 3,58 la période a doublé un nombre infini de fois. On obtient alors un mouvement chaotique où les valeurs itérés semblent ne plus suivre aucune règle. Pour 3,581 par exemple, la réitération donne une suite de nombres qui paraissent aléatoires (c’est d’ailleurs par des procédés de ce type que les ordinateurs fournissent des nombres aléatoires). Le comportement ultérieur est remarquable car on retrouve des intervalles où l’ordre réapparaît. L’apparition du chaos mathématique n’est donc nullement lié à la complexité.

Un autre exemple de chaos lié à un système simple est fourni par les un billard convexe où des collisions ont lieu avec des obstacles ronds (les chocs sont supposés parfaitement élastiques et les frottements négligeables). Si les boules heurtent une bande, elles rebondiront et les trajectoires, qui font en angle a entre elles, resteront voisines. Mais si elles heurtent un obstacle rond, l’angle de divergence des trajectoires est multiplié par 2 après le rebond. Deux trajectoires voisines divergeront au bout de quelques rebonds et une boule qui heurtera un obstacle pour une trajectoire, l’évitera pour l’autre trajectoire.

3) conclusion.

Pendant des siècles, on a cru en la toute puissance de la méthode analytique. Les mathématiques étaient supposées permettre de calculer le comportement et l’évolution de tous les systèmes physiques si on dispose de des équations correspondantes et de moyens de calcul suffisants. C’est ce qui a conduit Eugène Wigner à parler de « l’efficacité déraisonnable des mathématiques ». Cette belle confiance se révèle fausse puisque non seulement il existe des systèmes pour lesquels toute prévision est impossible mais, de plus, ces systèmes représentent la grande majorité des systèmes physiques. Les mathématiques ne nous permettent pas de plus de prédire l’évolution à l’infini, quelque soit la précision avec laquelle on se donne les conditions initiales. Il faudrait les connaître avec une précision infinie, ce qui est impossible. C’es ce qui permet à Ivar Ekeland de dire: « Plus jamais on ne dira: telle équation représente tel phénomène. Il faudra ajouter: le système est chaotique, son temps caractéristique est tant…si vous voulez calculer telle quantité, utilisez telle méthode plutôt que telle autre. En d’autres termes, on ne pourra plus énoncer une théorie scientifique sans dire ce qui est calculable dans cette théorie et ce qui ne l’est pas, et sans indiquer dans chaque cas les moyens de calcul appropriés…« .

 

Déjà au début du siècle, la démonstration de Hadamard sur les géodésiques des surfaces à courbure négative avait conduit Duhem à à parler « d’une déduction mathématique à tout jamais inutile aux physiciens ». Les travaux ultérieurs on montré que cette situation n’est pas exceptionnelle, mais représente en fait la généralité. Les travaux les plus récents en mécanique céleste ou en météorologie nous montrent même que les limites de notre pouvoir de prédiction touchent des aspects essentiels du monde puisque nous ne pourrons jamais prédire le temps au-delà d’un certain horizon assez proche  ni savoir si la terre changera un jour d’orbite. 

Bien sûr on peut relativiser l’importance de ces résultats en remarquant que l’avenir du système solaire reste prédictible pour quelques dizaines de millions d’années ou que nous pouvons connaître le temps qu’il fera sur une semaine. Notre environnement immédiat n’est pas un univers de chaos imprévisible, la science n’aurait pas pu obtenir les résultats extraordinaires qu’elle a atteints et l’étude même du chaos n’aurait pu être entreprise. La turbulence n’empêche pas les avions de voler ni les turbines de tourner, au contraire. Il s’ensuit que quelque soit la pertinence pratique de ces conclusions, leur pertinence épistémologique et philosophique est claire: dans les cas présentés, le mouvement est imprévisible au bout de quelques dizaines de secondes et des objets très rudimentaires échappent et échapperont toujours à nos calculs! 

Face à notre impuissance il faut souligner que le paradigme de la possible mathématisation de la nature doit être revu. Quels que soient les moyens théoriques ou techniques dont on disposera, quel que soit le temps qu’on acceptera de passer sur une prédiction, il existera toujours un horizon temporel infranchissable dans les prédictions. Cet horizon est variable selon la nature du système et les limites de principe dans la précision qu’on peut obtenir sur les conditions initiales mais il est fini dans tous les cas. 

L’univers ne peut plus être considéré comme une grande machine dont il est possible de prévoir le comportement au moyen de formules mathématiques, même complexes. Au siècle dernier (fin 19e et début du 20e siècle), une telle affirmation aurait paru scandaleuse, et aurait interprétée comme un abandon du déterminisme et de fait ,comme la fin de la science et le retour aux superstitions d’autrefois. Les progrès de la recherche ont montré qu’un échappatoire est possible et qu’un système peut être déterministe et non prévisible. L’équivalence entre déterminisme et prédictibilité est morte. On peut croire que le monde dans lequel nous vivons est déterministe (ce que nuance la physique quantique, voir le prochain article), il n’en n’est pas moins non-prédictible. C’est ce que signifie l’expression « chaos déterministe ».


Remarque: on peut envisager d’augmenter la précision avec laquelle on se donne les conditions initiales et se donner une échelle de temps souhaitée pour l’horizon temporel. On peut alors penser que tout système restera prévisible en principe. Dans le cas de l’atmosphère il reste l’impossibilité pratique de de disposer des moyens de mesure permettant de connaître l’état de chaque molécule d’air. Mais l’objection plus fondamentale est que la mécanique classique n’est plus le cadre adapté et il faut se placer dans le formalisme de la mécanique quantique. Or en raison du principe d’incertitude de Heisenberg, on se trouve face à une limitation de principe sur la mesure des conditions initiales. La conclusion sur la limitation de la prévision est encore valable, mais elle devra être réexaminée dans ce nouveau cadre (voir les articles suivants).


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