Les limites de la connaissance 4) déterminisme et chaos. Première partie.


Les limites de la connaissance 4) déterminisme et chaos.

Première partie) 

fractales



Préambule

La science nous permettra-t-elle un jour de tout savoir? Ne rêve-t-elle pas d’une formule qui explique tout? N’y aurait-il rien qui entrave sa marche triomphale? Le monde deviendra-t-il transparent à l’intelligence humaine? Tout mystère pourra-il être à jamais dissipé?


Hervé Zwirn pense qu’il n’en n’est rien.La science, en même temps qu’elle progresse à pas de géant marque elle même ses limites. C’est ce que montre la découverte des propositions indécidables qui ont suivi le théorème de Gôdel. Ou celle des propriétés surprenantes du chaos déterministe. Ou encore les paradoxes de la théorie quantique qui ont opposé Einstein et Bohr  en mettant en cause toute notre manière de penser.

L’analyse de ces limites que la science découvre à sa propre connaissance conduit à poser une question plus profonde: qu’est ce que le réel?


En exergue:

« Cette époque, où l’on sera obligé de renoncer aux méthodes anciennes, est sans doute encore très éloignée; Mais le théoricien est obligé de la devancer, puisque son oeuvre doit précéder  et souvent d’un grand nombre d’années, celle du calculateur numérique. »        Poincaré [1982]

Les limites de la connaissance 4) déterminisme et chaos. Première partie.


1) Introduction.

RappelOn a vu dans l’article 3) que la possibilité de faire l’édifice des connaissances sur des bases sûres et isolées du reste de la construction est un leurre. La connaissance est un vaste réseau d’énoncés  étroitement imbriqués qui ne sont testables que de manière collective. On a montré que qu’il est impossible de prouver qu’une théorie décrive toute la réalité empirique de son champ d’application (qu’elle soit ce qu’on donne pour le vrai), mais on peut en trouver une qui ne soit jamais contredite par l’expérience. Selon la thèse de la sous-détermination des théories, on peut en trouver une autre incompatible avec elle et partageant les mêmes qualités. Or il est impossible que soient simultanément vraies deux théories contradictoires. Il est donc nécessaire d’abandonner aussi la notion intuitive de vérité. Mais alors, le concept de réalité semble aussi s’estomper (voir à ce sujet les différentes conceptions philosophiques dans les article à venir sur la physique quantique). En attendant, il faut considérer que les objets physique et les forces (censés constituer la réalité au sens habituel du terme) sont des entités intermédiaires postulées pour la commodité et la brièveté du discours. Comme le dit Quine, leur statut épistémologique est du même ordre que celui des dieux grecs ou des centaures. Il n’en diffère que par leur degré d’efficacité. »

Du temps d’Aristote (384-322 av. J.C), on pensait que le monde terrestre, sublunaire, n’était pas régi par des lois précises, contrairement au monde céleste, réputé parfait et immuable. Les irrégularités de notre monde terrestre, imprévisibles et incompréhensibles, étaient considérées comme la manifestation des caprices des divinités qui le gouvernaient, il n’y avait pas d’ordre.

Progressivement les hommes apprirent que les régularités existent et qu’elles obéissent à des lois, les mêmes que celles qui régissent les cieux, lois qui nous sont accessibles. 

La révolution de Galilée et Newton découvrirent ainsi la loi unique et universelle de la gravitation. Les lois s’expriment sous forme d’équations différentielles. Elles sont telles que si on connait à un instant  « l’état d’un système » (par exemple la position et la vitesse), celles-ci sont alors déterminées de manière unique pour tout instant ultérieur. c’est ce qui a conduit Laplace à déclarer: « nous devons envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état antérieur et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui pour un instant donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l’analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger des atomes: rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir comme le passé seraient présent à ses yeux. » C’est le paradigme du déterminisme classique. Même si la difficulté technique des calculs empêche d’arriver à un résultat explicite, nous sommes capables en principe, selon cette conception, de prédire l’état futur de tout système physique pourvu qu’on connaisse son état à un instant donné. On est passé de la vision chaotique du monde, selon laquelle ce qui se produit n’est dû qu’aux caprices imprévisibles de forces qui nous échappent, à une vision d’ordre parfait où tout est régi par des lois qui nous sont accessibles. Cette conception comporte deux caractéristiques qui furent attribuées aux systèmes physiques et qui reçurent une confiance accrue. La première est la conviction que des lois simples engendrent des comportements simples et donc que les comportements complexes sont dus à des lois ou à des systèmes complexes. La deuxième est que de petites modifications de l’état initial d’un système se traduisent par des modifications également petites de son évolution. Afin de justifier l’apparente liberté qui est la notre ou le fait qu’on ne sache pas prédire réellement ce qui va se passer, il il est facile de faire appel à l’impossibilité matérielle de faire des calculs (jugés trop complexes) ou de connaître l’état de l’univers (jugé trop vaste pour nos moyens humains). Nos savons maintenant la fausseté de cette vision du monde, révolutionnée par d’une part la vision déterministe du chaos, et d’autre part par la vision quantique (probabiliste) de l’univers.


2) Représentation et compréhension du monde.

          

          a) Les systèmes et les états.

Un système est un morceau de réalité, selon l’expression de David Ruelle, qu’on isole par la pensée. La description physique doit préciser les entités corps matériels, champs, etc…) et ses propriétés physiques qu’il faudra décrire et prédire, avec différents niveaux de précision (par exemple une boule en métal aimantée se déplaçant sur un billard, en considérant que la boule est assez petite pour être un point matériel et le champ magnétique trop faible pour influencer le mouvement). La représentation adoptée sera celle d’un point matériel M de masse m glissant sur une surface plane dont les seules propriétés considérées sont la position et la vitesse à chaque instant. Si on veut étudier ce que les joueurs de billard appellent les « effets », il faudra prendre le rayon R et la vitesse de rotation de la boule ainsi que son frottement sur le tapis et éventuellement inclure le champ magnétique dans le système s’il est notable.

 Ainsi, le même objet physique, dans la même situation, peut conduire à adopter des représentations constituées de systèmes différents avec des grandeurs physique qui peuvent être différentes (un point matériel glissant sur une surface plane, une boule de rayon R, une boule aimantée de rayon R soumise à des forces électromagnétiques…). Dans chaque cas, ce que l’on cherche à décrire, c’est l’évolution des propriété physiques retenues comme faisant partie du système (la position et la vitesse de la boule…). La donnée des valeurs de chacune des grandeurs physiques appartenant à un système constitue « l’état  » du système à cet instant. Cette notion d’état est fondamentale. En physique classique, il semble aller de soi qu’à tout instant un système est dans un état bien défini, les grandeurs physiques qui lui sont attachées possèdent des valeurs déterminées précisément. Un boule possède une position et une vitesse parfaitement définies, même si nous ne les connaissons pas. Il y  a une correspondance parfaite entre la boule réelle et sa description par la donnée de son état. On peut ainsi associer à la boule une trajectoire qui est l’ensemble de ses positions successives au cours du temps. 

Les physiciens ont l’habitude de travailler dans ce qu’on appelle « l’espace des phases« , qui est un espace imaginaire, ici à 4 dimensions (les 2 coordonnées de dimension des positions de la boule et la quantité de mouvement = produit masse X vitesse). A chaque instant, la boule a une certaine position (Qx, Qy) et une quantité de mouvement (Px, Py), son état est don déterminé par ces 4 coordonnées, 2 de position et 2 de vitesse. On dit que le système a 2 degrés de liberté et on lui associe un point de coordonnées (Qx, Qy, Px, Py) dans l’espace des phases à 4 dimensions. D’une manière générale, l’état d’un système est déterminé par N coordonnées de position et N coordonnées de vitesse, soit N degrés de liberté.

Afin d’effectuer des prédictions sur les grandeurs physiques, on utilise les lois qui en régissent l’évolution et la considération du système est indissociable de celle de celle de ces lois. Se donner la description d’un système correspond à modéliser la réalité. Un « modèle » est l’ensemble constitué par la spécification d’un système physique et la donnée des lois auxquelles il obéit. Il est utilisé pour décrire une portion du monde. 


          b) Modèle et explication.

La construction d’un modèle est une tâche à la fois progressive et continuelle. Thomas Kuhn a suggéré qu’il peut être incommensurable aux modèles antérieurs lorsqu’il se produit  « une révolution » entraînant un changement de paradigme. En fait, dans tout modèle, un écart entre prévision et observation impose soit une nouvelle description du système, soit une modification des lois. Le but de la physique classique (celle de la fin du 19e siècle) est double: Il consiste d’une part à prédire le comportement futur du système qu’on étudie (prédire ses états futurs à partir de son instant à l’état initial)  et d’autre part, à comprendre pourquoi le système se comporte de cette manière, c’est à dire expliquerLe « pourquoi » était encore un des buts de la physique alors que maintenant on a coutume de dire qu’elle n’est concernée que par le « comment ». Cette conception est conforme à la conception Popérienne: on fait une hypothèse de modèle, puis on le teste en le confrontant avec l’expérience. Lorsque le modèle échoue, on doit le modifier. Par contre, si un grand nombre de tests réussissent, il est de mieux en mieux corroboré et lorsque la confiance est suffisante, il peut être considéré comme explicatif. 


          c) Illustration: le mouvement des planètes.

Une des premières explications en vigueur chez les grecs était: les planètes et les étoiles sont fixées sut la voûte céleste qui tourne autour de la terre en 24 heures, chaque étoile y accomplit un cercle parfait autour de la terre. Le système était constitué par le soleil, les planètes, la terre et la voûte céleste; la grandeur physique étudiée était la position de chacune des planètes. Cette vision était en accord avec le paradigme et les idées théologiques du moment attribuant aux corps célestes la nécessité de d’un mouvement parfait, donc circulaire. La loi générale attribuant à chaque corps céleste un mouvement circulaire permet de prédire, avec la précision des mesures de l’époque, la position d’un astre à partir de sa position à un moment donné. La représentation associée, est, elle, intuitive: si les planètes sont fixées sur une sphère rigide, leur mouvement est alors parfaitement compréhensible. 

L’astronome grec Hipparque, après une analyse précise des données dont il disposait, fut le premier, semble-t-il, à constater au 2è siècle avant notre ère, que le mouvement des planètes n’a nullement la régularité circulaire parfaite qu’on lui supposait: elle inversent leur course a certains moments (Des civilisations antiques, notamment celle de l’Egypte ce celle du continent disparu dans « le grand Cataclysme » savaient tout cela selon Albert Slosman dans « la Grande hypothèse). Il proposa un correction de modèle tout en conservant toute son importance au mouvement circulaire. Le mouvement des astres y est décrit comme résultant de la combinaison de deux mouvements circulaires: un grand cercle centré sur la Terre, le déférent, et un petit cercle se déplaçant sur le déférent, l’épicycle. Ce modèle abouti à de nouvelles prévisions, fut perfectionné par Ptolémée, mais restait dans la continuité du précédent. 

C’est Copernic qui, au 16è siècle, proposa une nouvelle loi, plus efficace pour représenter le mouvement des planètes, mais surtout elle représenta une véritable révolution conceptuelle et un « changement de paradigme » au sens de Kuhn. Le mouvement apparent des planètes résulte de la combinaisons des deux mouvements circulaires autour du soleil, celui des planètes et celui de la terre. Cependant Copernic restait encore prisonnier du mouvement circulaire uniforme. Puis, travaillant sur les données accumulées par Tycho BrahéKépler énonça ses 3 lois (1604-1618), en révolutionnant le paradigme de la perfection du mouvement circulaire par l’introduction du mouvement elliptique. Mais pourquoi la loi des aires et in temps mis pour parcourir la trajectoire égal à la puissance 3/2 du grand axe? Ces règles sont encore empiriques sans qu’on en sache la raison profonde. Avec Kepler l’astronomie a rempli son rôle d’accoucheuse de la science en révélant des lois empiriques dont la forme est mathématique. Le modèle associé peut être dit « instrumentaliste » (La science n’a pour but que de prédire le résultat des observations et n’est donc qu’un ensemble de recettes qu’il est dénué de sens de vouloir interpréter comme une description de la réalité en soi. La prédiction ne sert alors plus de support à l’explication) .

C’est Newton qui, en 1867, répondra en introduisant un nouveau changement radical à la fois dans les lois régissant le mouvement des planètes et dans l’explication de ce mouvement. Ce faisant, il unifiera la physique céleste de Képler et la physique terrestre de Galilée. Sa théorie repose sur la célèbre loi de la gravitation. Elle permet à la fois de prédire précisément les trajectoires des planètes mais donne une explication aux lois empiriques de Kepler en les englobant dans une vision bien plus générale. Elle unifie les raisons qui font qu’un corps lâché d’une certaine hauteur tombe et que la terre tourne autour du soleil. L’idéal cherché est atteint par le donnée d’une loi qui permet de prédire le mouvement des astres et de l’expliquer par l’existence d’une force à distance, concept absent du modèle de Kepler. Newton ne croyait pas vraiment à cette force, mais la précision des prédictions est telle que qu’elle en renforcé la croyance pendant deux siècles et demie. Ce modèle n’est pas un simple perfectionnement continu du modèle grec, mais un changement révolutionnaire de paradigme qui a introduit la science moderne et une nouvelle vision du monde.

Mais l’histoire ne s’arrête pas là. Uranus fut découverte par Herschel en 1871  puis Le Verrier et Adams proposèrent l’hypothèse d’une nouvelle planète qui était le cause des perturbations du mouvement constaté pour Uranus. Sa position fut calculée et Neptune fut ainsi découverte conformément aux prédictions. La transformation du modèle s’était effectuée non par un changement de loi, mais par un élargissement du système. Avec l’augmentation de la précision des mesure, la même histoire s’est répétée et Percival Lowell proposa l’existence d’un nouvelle planète observée par Clyde Tombaugh en 1930.

Cependant, la constatation d’une anomalie dans la trajectoire de Mercure, ce qu’on appelle « la précession de son périphélie » a amené Le Verrier à postuler une nouvelle planète, Vulcain. Mais celle-ci ne fut jamais observée (des difficultés apparemment semblables ne se règlent pas toujours de la même façon),. Il revint à Einstein, en 1915, d’en donner la raison et de fournir avec sa théorie de la relativité générale, les lois et les explications qui sont en vigueur de nos jours. C’est un nouveau paradigme qui est né et qui a radicalement changé encore une fois notre vision du monde. Les concepts d’espace et de temps newtoniens ont été remplacés par un concept unique, celui d’espace-temps. La force de gravitation postulée par Newton est devenue  un effet de la courbure de l’espace-temps provoqué par la présence de masses. On peut dire que ce nouveau changement de paradigme est particulièrement révolutionnaire.


          d) évolution du concept de compréhension.

A chaque époque, les explications, liées aux lois acceptées, ont été différentes et on mesure le fossé qui existe entre une représentation du monde qui postulait que que les astres sont fixés sur une voûte céleste rigide tournant autour de la terre et celle qui découle de la relativité générale, avec un espace-temps courbe à 4 dimensions. 

La première représentation des Grecs est intuitive et constitue une explication en ce sens qu’elle identifie le mouvement des planètes à quelque chose de familier dont on a l’expérience (une boule). Le mouvement de la boule est certes inexpliqué, mais il reste en dehors du phénomène qu’on cherche à expliquer: le mouvement des planètes et d’elles seules. L’introduction des épicycles ne fait que compliquer l’image intuitive sans en changer la nature. Avec les lois de Kepler, on abandonne le domaine du familier représentable par des images. Les lois deviennent de nature purement mathématique (bien que la notion d’ellipse, elle, puisse être traduite en images).  Il n’est plus possible de prétendre comprendre, tout au plus peut-on constater que les planètes respectent ces lois purement empiriques, sans pour autant qu’on sache pourquoi. La théorie de Newton semble apporter une nouvelle compréhension en ce qu’elle donne une loi unique de laquelle découlent les lois de Kepler. Mais est-il possible de dire qu’on comprend le mouvement des planètes? Galilée rejetait avec horreur le concept d’attraction à distance ([…] je ne peux croire à des causes occultes et autres futilités de ce genre). Pour Descartes, seules les actions de contact sont de nature intelligible. Newton lui-même a avoué avoir les plus grandes difficultés à admettre cette force à distance, ce qui le conduisit à sa formule célèbre « je ne feins pas d’hypothèses« , signifiant par là qu’il ne cherche pas d’explication à la force de gravitation. De nos jours, nous nous sommes habitués à à cette idée qui ne nous semble plus aussi étrange. 

Le concept de compréhension donc est passé du stade où il signifiait « ramené au familier » au stade où il signifie « prédit par une loi simple ». Avec l’intrusion de plus en plus grande des mathématiques et du formel, comprendre l’évolution de l’état d’un système signifie maintenant qu’on puisse le modéliser par un formalisme mathématique cohérent. On atteint un sommet avec la relativité générale. Peut-on dire qu’on comprend le mouvement des corps grâce à cette théorie? On donne souvent l’analogie d’une surface plane en caoutchouc qui se déformerait sous l’influence de boules massives. L’espace-temps de la relativité générale courbé par la présence des masses serait l’analogue de ce plan en caoutchouc  déformé par les poids qu’on y a déposés. On peut ainsi, sans connaître le formalisme mathématique, avoir l’impression de comprendre le mouvement en l’ayant ramené à quelque chose de familier. Mais c’est une illusion trompeuse, car ramener à un concept familier dont on a l’expérience ce qu’est un espace-temps courbe passe totalement sous silence un aspect irréductible de l’espace-temps qui est le mélange intime entre l’espace et le temps et que nulle analogie ne peut rendre de manière satisfaisante. Encore moins est-il possible de comprendre en ce sens ce qu’est la courbure du temps. Si compréhension il y a, c’est la simple capacité de prédire de manière cohérente et et unique les mouvements de l’ensemble des corps dans toutes les conditions possibles. Elle est donc réduite au maniement du formalisme et se confond avec la capacité d’utilisation de ce formalisme à des fins de prédictionToute compréhension fondée sur l’utilisation d’images intuitives ou de représentations mentales familières doit être abandonnée

Doit-on adopter nécessairement une position instrumentaliste et abandonner le réalisme épistémique? Non car il est possible de penser que les concepts mathématiques ont leurs correspondants réels même s’il est impossible de s’en forger une image familière. C’est la position  du « réalisme mathématique » qui confère une existence réelle aux objets mathématiques eux-mêmes. Mais la thèse de l’intelligibilité  de la nature doit être affaiblie car la compréhension qui lui est associée n’est plus immédiate et familière que celle du réalisme métaphysique initial. Cela signe la mort du programme cartésien qui souhaitait se laisser guider par les images familières. 


3) Le déterminisme mis à mal.

          a) Le déterminisme et les équations différentielles.

Les équations qui décrivent les mouvements des corps soumis exclusivement à la gravitation newtonnienne sont des équations différentielles (équations qui relient une fonction à ses dérivées). Exemple: df(x)/dx – f(x) = 0 dont les solutions sont f(x) = Ce(puissance x, ou Cexp(x)). La loi de la gravitation stipule que qu’entre deux corps de masses respectives m et M situées à une distance d, s’exerce une force attractive d’intensité proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance: F = GmM/d(puissance 2) où G est une constante, la constante de gravitation. Newton a aussi « prouvé » que qu’un corps de masse m soumis à une force F subit une accélération y proportionnelle à la masse: y = F/m. 

Ces deux lois suffisent pour décrire le système d’équations décrivant le mouvement d’un nombre arbitraire de corps soumis à leur seule interaction gravitationnelle. Par exemple, pour un corps au repos m attiré par un corps M l’équation qui décrit le mouvement est: d(carré)/dt(carré) = GM/x(carré) où x est la distance entre les deux corps sur l’axe qui les relie. La caractéristique de ce type d’équation est que pour chaque valeur de x et de dt/dx (la vitesse) à un instant initial to, l’équation fixe de manière unique  leurs valeurs à tout autre instant. Si le système solaire est décrit par un système d’équations différentielles, son passé et son futur sont entièrement inscrits dans son présent. Comme le dit Ekeland, on peut avoir l’impression que l’éternité est enfermée dans l’instant présent. C’est ce qui a conduit Laplace à écrire sa phrase célèbre. 

L’évolution d’un système est dite « déterministe » si son état à un instant donné est détermine précisément et de manière unique son état à tout instant ultérieur. Les mouvements d’un ensemble de corps soumis à la loi de la gravitation sont décrits par un système d’équations différentielles et sont donc parfaitement déterministes. 


          b) Les difficultés de la mécanique céleste et la théorie des perturbations.

Mais la résolution des équations différentielles (leur intégration) est souvent ardue, quand elle est possible, ce qui est loin d’être toujours le cas. Par exemple, le problème consistant à prédire l’évolution du système constitué par la Terre, Saturne et le soleil, est redoutablement complexe. Devant la difficulté (aux 18e et 19e siècles, les mathématiciens étaient incapables de prédire si Saturne ne s’échapperait pas dans l’espace…) qu’ils rencontraient à résoudre explicitement (décrire les fonctions solutions) les équations décrivant le système, ils furent amenés à développer de nouvelles méthodes de résolution, dites « perturbatives », en ce qu’elles procèdent par approximations successives par rapport à  des petites déviations d’une trajectoire primaire correspondant à un système simplifié qu’on sait calculer exactement. On commence par calculer dans le système à 2 corps (Terre-Soleil), l’orbite elliptique Képlérienne de la Terre. Si on désire tenir compte de l’attraction de Saturne, le système ne se résout plus. L’idée de base de la théorie des perturbations consiste à calculer le mouvement du système par une perturbation, supposée petite apportée au mouvement idéal du système Terre-Soleil. 

[Dans les équations décrivant un système physique la théorie des perturbations s’utilise lorsqu’une action (perturbation) agissant sur le système peut être considérée comme petite. La méthode consiste à résoudre exactement le problème en l’absence de perturbation et à calculer la correction introduite par la perturbation. Le résultat obtenu peut à son tour servir d’approximation zéro pour le calcul d’une nouvelle correction.. Il en résulte l’expression de la solution cherchée sous la forme d’une série en puissance croissante de la perturbation. Lorsque la perturbation est réellement petite on peut se limiter aux premiers termes de la série. Historiquement la théorie des perturbations a été pour la première fois utilisée en mécanique céleste pour la résolution approchée du problème à trois corps. Ici l’approximation zéro est le problème de l’orbite képlérienne du problème à deux corps. Le troisième corps introduit une perturbation que l’on considère comme petite.. La théorie des perturbations est largement utilisée en mécanique quantique pour la résolution de l’équation de Schrödinger chaque fois que l’interaction peut être scindée en deux termes, un terme principal déterminant essentiellement l’état du système et un terme beaucoup plus petit provoquant une légère modification de cet état.. ]. Cette méthode, utilisée par Le Verrier pour découvrir Uranus a présenté des difficultés: elle a demandé un an à LeVerrier et le double à Adams, et les positions prédites étaient assez éloignées de la planète et les résultats suivants (Hill en 1897) étaient encore différents. Il revint à Poincaré d’en expliquer la raison.


         c) Poincaré et les systèmes intégrables.

   Le système d’équations qui décrit le mouvement est intégrable lorsque la trajectoire est donnée sous forme de fonctions explicite reliant les coordonnées au temps. C’est le cas avec les lois de Kepler qui permettent de donner pour chaque planète, l’équation de sa trajectoire elliptique en fonction du temps. Mais dans le cas de trois corps et plus, il n’a pas été trouvé de solution exacte et les méthodes perturbatives sont extrêmement lourdes et les calculs à mener sont très longs. La situation semble très frustrante, l’évolution du système est parfaitement déterministe, mais faute de disposer explicitement de la fonction, solution des équations, on est obligé de faire des calculs longs et complexes qui ne donnent que des valeurs approchées. Cette question fut posée par le mathématicien Karl Weierstrass comme sujet de concours que lança le roi Oscar II de Suède et de NorvègeHenri Poincaré, en 1899, montra que le problème n’a pas de solution et qu’une telle recherche est vaine dans ses « méthodes nouvelles de la mécanique céleste ». Aucune fonction obtenue par combinaison ou intégration de fonctions calculables (fractions rationnelles, fonctions trigonométriques, exponentielles…) ne peut être solution du problème. De plus, toute tentative pour pour exprimer des solutions sous forme de fonction exprimées par des séries échouera, car celles-ci seront divergentes. Or la méthode des perturbations est basée sur des développements en série de puissances de la perturbation, donc elle ne peur donner de solution exacte. Elle vont tendre vers l’infini ou osciller indéfiniment si on calcule leur somme avec un nombre de termes croissant. Mais Poincaré montre qu’elles sont asymptotiques, ce qui veut dire que les premiers termes donnent une approximation de la vraie valeur même si les termes suivants s’en écartent. On ne peut avoir la valeur qu’avec une incertitude, car ajouter des termes produit un effet inverse. Le problème est de savoir à quel terme s’arrêter pour obtenir la meilleure approximation. De plus, cela interdit de  les utiliser pour tirer des conclusions sur le long terme (et en particulier sur la stabilité du système solaire). 

Selon Poincaré, les équations de Newton enferment une part de vérité qui nous échappera toujours, puisque certaines de leurs conséquences nous resteront inaccessibles. L’incapacité d’expliciter les solutions n’est pas due à notre maladresse temporaire, mais est une conséquence inévitable de la forme des équations.


          d) Les échappatoires aux résultats de Poincaré.

Les méthodes de résolution étaient fondées à cette époque sur une méthode due à Liouville qui avait montré comment l’existence de quantités conservées (grandeurs physiques comme l’énergie attachées au système qui conservent la même valeur lors de son évolution. Voir le théorème  en mécanique hamiltonienne), en nombre suffisant, en fait égal au nombre de degrés de liberté, permet d’intégrer les équations. Poincaré avait montré que dans le problème des trois corps il n’y avait pas assez de valeurs conservées. Mais, de fait, un mathématicien suédois, Karl Fritiof sundmann trouva ultérieurement des séries convergentes qui donnaient les coordonnées des corps en fonction de la racine cubique du temps. Malheureusement, elles sont peu utilisables en pratique, car elles convergent beaucoup trop lentement. Il serait nécessaire de calculer un nombre astronomique de termes pour effectuer la moindre prévision utile. La méthode des perturbations, à travers des séries divergentes, produit des résultats approchés beaucoup rapidement.  

Ensuite, Kolmogorov, Arnold et Moser (c’est le célèbre théorème de KAM), montrèrent que, contrairement à ce que pensait Poincaré, ces séries peuvent être convergentes pour certaines conditions initiales proches de celles engendrant des comportements périodiques. Mais ces résultats n’ont rien changé à la conclusion essentielle avait aboutit Poincaré: dans le cas général, il est impossible de prédire avec une erreur aussi faible qu’on le souhaite le mouvement à long terme à long terme de plus de deux corps soumis à leur attraction gravitationnelle. Cette impossibilité est due à une propriété essentielle des équations du mouvement que Poincaré mit en évidence; la sensibilité aux conditions initiales: « une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas voir et nous dirons que cet effet est dû au hasard ». C’est en fait une propriété générale de la majorité des systèmes dynamiques non linéaires. 


          e) déterminisme et non-prédictibilité.     

ensemble de Mandelbrot – fractale

Le déterminisme est habituellement toujours associé à la prédictibilité. Il est légitime de s’attendre à ce qu’on puisse prédire les états futurs en appliquant à l’état initial la fonction déterministe qui transforme cet état en l’état à un instant t ultérieur quelconque. On est parfois obligé de procéder par approximations en raison de la trop grande complexité des résultats, mais ces approximations sont suffisamment précises pour que l’incertitude sur les prédictions soit maîtrisée et limitée. Négliger une quantité inférieurs à une certaine valeur est ce que Benoit Mandelbrot appelle un hasard bénin: une incertitude ou une approximation initiale bornée par une valeur epsilon se traduit par une incertitude du même ordre de grandeur sur le résultat et de petites modifications entraînent de petits effets. On peut prouver que les systèmes régis par des équations différentielles linéaires adoptent toujours ce comportement agréable. Jusqu’à une date récente, le sentiment dominant était que la majeure partie des systèmes dynamiques se comportait de cette manière. En fait, on avait toujours privilégié l’étude des systèmes intégrables. Mais avec la mécanique céleste, les travaux de Poincaré on montré que cet espoir était vain. On découvrit petit à petit que cette difficulté, loin d’être exceptionnelle, était le règle pour de très nombreux systèmes dynamiques non linéaires. Un petite erreur sur l’état initial s’amplifie de manière exponentielle, et l’évolution, bien que parfaitement déterministe est imprévisible! Poincaré était conscient de ces limites qui signifient l’échec de la méthode analytique et l’impuissance des mathématiques à calculer le comportement d’un système physique aussi simple que celui de trois corps en interaction gravitationnelle. 

Devant son impuissance à calculer exactement les trajectoires, il s’intéressa à leur représentation dans l’espace des phases. Ceci nous amène au prochain article consacré à la théorie du chaos déterministe (Les limites de la connaissance 5) déterminisme et chaos. 2èpartie: le chaos déterministe).


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